1.树概念及结构

1.1树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由 n（n >= 0）个有限节点组成的一个具有层次关系的集合。

那么为什么叫 "树" 呢？（节点也可以称结点，建议称结点，和结构体对上）

我们之所以把它成为 "树"，是因为它很像我们现实生活中的树。只是它是倒过来的，根朝上叶子朝下。

① 树有一个特殊的节点，成为根节点，根节点不存在前驱节点。

② 除根节点外，其余节点被分成 M(M>0) 个互不相交的集合 T1、T2、……、Tm，

其中每一个集合 Ti(1 <= i <= m) 又是一颗结构于树类似的字数。

每颗子树的节点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继。

③ 因此，树是递归定义的。因为任何树都会被分成根和子树。

1.2树的相关概念

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；如上图：A的为6

叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点；如上图：B、C、H、I...等节点为叶节点

非终端节点或分支节点：度不为0的节点；如上图：D、E、F、G...等节点为分支节点

双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；如上图：A是B

的父节点

孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；如上图：B是A的孩子节

点

兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；如上图：B、C是兄弟节点

树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；如上图：树的度为6

节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；

( 有些书上规定根节点的层数为0，这样空树就是-1了，所以若没有特殊说明默认规定根节点的层数为 1)

树的高度或深度：树中节点的最大层次；如上图：树的高度为4

节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先

子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙

森林：由m（m>0）棵互不相交的多颗树的集合称为森林；（数据结构中的学习并查集本质就是

一个森林）

注意：树型结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构。

1.3树的表示

以前学单链表时只有一个指针，双链表两个指针，但是树有多少个指针是不确定的，

因为树没有规定一个节点最多有多少个孩子。那我们该如何定义结构呢？

法一：假设说明了树的度为N，才能勉强用

struct TreeNode 
{
    int data;
    struct TreeNode* sub[N]; // 指针数组
};

问题点：

① 可能会存在不少的空间浪费。

② 万一没有限定树的度为多少呢？

法二：vector（C++中这里可以用 vector，但是C里没有）

// 假设我们定义了一个顺序表
typedef int STLDataType;  //顺序表的数据类型
typedef struct TreeNode* SLDataType; // 顺序表中存节点的指针
struct TreeNode //SeqList
{
    STLDataType data;
    SeqList s;  // s为SLDataType* array;
};

即使你没有告诉我度是多少，我有多少个孩子我就存多少个孩子，所以这里不需要关心度的问题。

但是这里 s 的结构相对复杂，s 里面有一个类型为SLDataType* 的数组，

这个数组已经是二级指针了，SLDataType 展开后又是一个 struct TreeNode* 。

法三：双亲表示法

struct TreeNode 
{
    int parenti;
    int data;
};

[ A -1] [ B0 ] [ C0 ] [ D0 ] ...... [ H 3 ]

每一个元素中存的是结构体 struct TreeNode arr[10]

每个元素内只存自己的值和父亲的下标

（A没有父亲是-1，B的父亲下标是0…… H的父亲是D下标为3），可以通过一个值找到自己父亲。

上列的方式各有优缺点，那么有没有最优的方法？

当然有，它就是：左孩子右兄弟表示法

typedef int DataType;
struct Node 
{
    struct Node* _leftChind1;   // 永远指向第一个孩子
    struct Node* _rightBrother;  // 指向孩子右边的兄弟
    DataType _data;
};

解读：无论你有多少个孩子，它都只存两个指针。一个指针永远指向第一个孩子，

另一个指针指向孩子右边的兄弟（亲兄弟）。这个树的度无论为多少，也不需要用顺序表存，

但是你任何一个节点有多少个孩子都能给你表示出来，通过第一个孩子把所有孩子都找出来。

不复杂也没有浪费，只用两个指针就把链接关系都表示出来了，这就是（古人）的智慧。

1.4树在实际中的运用

文件系统的目录树结构、网络拓扑，最短路径问题，搜索引擎、思维导图等

2.二叉树概念及结构

1.1二叉树的概念

定义：二叉树既然叫二叉树，顾名思义即度最大为2的树称为二叉树。

它的度可以为 1 也可以为 0，但是度最大为 2 。

一颗二叉树是节点的一个有限集合，该集合：

① 由一个根节点加上两颗被称为左子树和右子树的二叉树组成

② 或者为空

观察上图我们可以得出如下结论：

① 二叉树不存在度大于 2 的节点，换言之二叉树最多也只能有两个孩子。

② 二叉树的子树有左右之分，分别为左孩子和右孩子。次序不可颠倒，因此二叉树是有序树。

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

1.2 满二叉树

定义：一个二叉树，如果每一层的节点数都达到了最大值（均为2），则这个二叉树就可以被称作为 "满二叉树" 。

换言之，如果一个二叉树的层数为h ，且节点总数是 2^h-1，则他就是一个满二叉树。

层数为N的计算公式：

十亿个节点，满二叉树是多少层？

≈ 10亿多

1.3完全二叉树

定义：对于深度为h的，有 n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为h的满二叉树中编号从 1 至 n的结点一一对应时称之为完全二叉树。

前h-1层是满的，最后一层不满，但是最后一层从左到右是连续的。

完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。

所以，满二叉树是一种特殊的完全二叉树（每一层节点均为2）。

常识：

① 完全二叉树中，度为 1 的最多只有 1 个。

② 高度为的完全二叉树节点范围是

1.4二叉树的性质

四点规则：

① 若规定根节点的层数为 1 ，则一颗非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1)个节点。

② 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是2^h- 1.

③ 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为 n0, 度为2的分支结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1

④ 若规定根节点的层数为1，具有N个结点的满二叉树的深度，h=LogN+1（log以2为底）。

二叉树性质相关选择题：

1. 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（）

A. 不存在这样的二叉树

B. 200

C. 198

D. 199

2.在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（）

A. n

B. n+1

C. n-1

D. n/2

3.一棵完全二叉树的节点数位为531个，那么这棵树的高度为（）

A. 11

B. 10

C. 8

D. 12

4. 一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（）

A. 383

B. 384

C. 385

D. 386

答案解析：

1. n0＝n2＋1

2.假设叶子节点有X个则度为0的节点有x-1个，完全二叉树中度为1的节点为0个或1个

所以X+(X-1)+0或1=2n,所以叶子结点x个数为n

3.具有N个结点的满二叉树的深度，h=LogN+1（log以2为底）。

4.同2 .X+(X-1)+0或1=767 x=384

1.B

2.A

3.B

4.A

1.5二叉树的顺序存储：

顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树

会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，关于堆我们后面的章节会专门讲

解。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

完全二叉树的顺序存储中

若父亲下标是i，则左孩子下标是2*i+1 右孩子下标是2*i+2

若孩子下标是i，则父亲下标是（i-1）/2

像上面左图中C下标为2，左孩子F下标就为2*2+1=3，右孩子G下标为2*2+2=6

D下标为3,E下标为4 则父亲B下标为（3-1）/2=1

1.6二叉树的链式存储：

二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。通常的

方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩

子和右孩子所在的链结点的存储地址。链式结构又分为二叉链和三叉链，当前我们学习中一般都

是二叉链，后面课程学到高阶数据结构如红黑树等会用到三叉链。

// 二叉链
struct BinaryTreeNode
{
    struct BinTreeNode* pLeft;   // 指向当前节点左孩子
    struct BinTreeNode* pRight; // 指向当前节点右孩子
    BTDataType _data; // 当前节点值域
}
// 三叉链
struct BinaryTreeNode
{
    struct BinTreeNode* pParent; // 指向当前节点的双亲
    struct BinTreeNode* pLeft;   // 指向当前节点左孩子
    struct BinTreeNode* pRight; // 指向当前节点右孩子
    BTDataType _data; // 当前节点值域
}