一.前缀和
1.前缀和介绍
前缀和,顾名思义,就是前n项相加之和,和我们高中时候学习的数列中的一个含义
例如一个等差数组=n,那他的前n项和
=
也可知道-
=
2.编程中的前缀和
对于一个数组nums,也可以很容易求出它的前缀和数组
public int[] prefix(int[] nums) {
int[] prefix = new int[nums.length];
prefix[0] = nums[0];
for (int i = 1; i < nums.length; ++i) {
prefix[i] = prefix[i - 1] + nums[i];
}
return prefix;
}prefix数组的含义是: prefix[i]的值为nums数组从0到i的元素之和
其实我们这里的前缀和并不仅仅局限于前几项的和,之后我们还会涉及到乘法前缀和(后缀和),异或前缀和等等......并且还会存在后缀和的情况
二.一维数组的动态和
1.题目描述
给你一个数组
nums。数组「动态和」的计算公式为：runningSum[i] = sum(nums[0]…nums[i])。请返回
nums的动态和。
力扣:力扣
2.问题分析
这道题就是一道典型的前缀和题目,没什么特别之处,数组的动态和计算公式就是前缀和的含义,可以直接写出代码求解
3.代码实现
public int[] runningSum(int[] nums) {
int[] prefix = new int[nums.length];
prefix[0] = nums[0];
for (int i = 1; i < nums.length; ++i) {
prefix[i] = prefix[i - 1] + nums[i];
}
return prefix;
}三.除自身以外数组的乘积
1.题目描述
给你一个整数数组
nums，返回 数组answer，其中answer[i]等于nums中除nums[i]之外其余各元素的乘积 。题目数据 保证 数组
nums之中任意元素的全部前缀元素和后缀的乘积都在 32 位 整数范围内。请不要使用除法，且在
O(n)时间复杂度内完成此题。
力扣:力扣
2.问题分析
这个问题说的很明白,不能用除法来进行,我们的第一想法是使用乘法前缀和来进行计算,但是考虑到不能使用除法和数组中可能存在0,所以这样是不能够满足题意和解答问题的.
因此我们不妨再来设置一个数组,这个数组用来存储乘法后缀和,我们计算res[i]的时候就可以它的前缀和乘以它的后缀和,这样它的结果就可以求出来了
设置前缀和数组left[i]含义为:从nums数组的第0到第i-1项的叠乘所获得的结果
设置后缀和数组right[i]含义为:从nums数组的第i+1到最后一项项的叠乘所获得的结果
最后结果数组res[i]=left[i]*right[i]
3.代码实现
public int[] productExceptSelf(int[] nums) {
int[] left = new int[nums.length];//left[i]:从0-i-1项相乘
int[] right = new int[nums.length];//right[i]:从i+1到最后一项相乘
left[0] = 1;
right[nums.length - 1] = 1;
for (int i = 1; i < nums.length; ++i) {
left[i] = left[i - 1] * nums[i - 1];
}
for (int j = nums.length - 2; j >= 0; --j) {
right[j] = right[j + 1] * nums[j + 1];
}
int[] res = new int[nums.length];
for (int i = 0; i < nums.length; ++i) {
res[i] = left[i] * right[i];
}
return res;
}四.和为 K 的子数组
1.题目描述
给你一个整数数组
nums和一个整数k，请你统计并返回 该数组中和为k的连续子数组的个数 。
力扣:力扣
2.问题分析
这一题我们不妨先暴力思考一下,暴力就是把它的所有子数组的和全部求出来,然后和k进行判断,最后统计出等于k的子数组的数量,至少也进行两层for循环,代码如下:
public int subarraySum(int[] nums, int k) {
int count = 0;
for (int end = 0; end < nums.length; ++end) {
int sum = 0;
for (int start = end; start >= 0; --start) {
sum += nums[start];
if (sum == k) {
count++;
}
}
}
return count;
}
相当于外层循环确定end,内层循环确定开始的位置start的位置
其实我们可以用一个哈希表进行优化,因为它的前缀和每次都是叠加的,其实只要统计它的每个前缀和的次数,然后prefix-k就是它从0到start的前缀和,此时start+1到end的位置就是和为k的子数组,同时map哈希表刚开始的时候还要添加key=0,value=1的键值对,因为当prefix刚好为k的时候,prefix-k=0,表示从0到end的子数组符合条件
3.代码实现
public int subarraySum(int[] nums, int k) {
HashMap<Integer, Integer> map = new HashMap<>();
map.put(0, 1);//此时是从0到i的前缀和
int prefix = 0, count = 0;
for (int end = 0; end < nums.length; ++end ) {
prefix += nums[end];
if (map.containsKey(prefix - k)) {
count += map.get(prefix - k);
}
map.put(prefix, map.getOrDefault(prefix, 0) + 1);
}
return count;
}五.形成两个异或相等数组的三元组数目
1.题目描述
给你一个整数数组
arr。现需要从数组中取三个下标
i、j和k，其中(0 <= i < j <= k < arr.length)。
a和b定义如下：
a = arr[i] ^ arr[i + 1] ^ ... ^ arr[j - 1]b = arr[j] ^ arr[j + 1] ^ ... ^ arr[k]注意：^ 表示 按位异或 操作。
请返回能够令
a == b成立的三元组 (i,j,k) 的数目。
力扣:力扣
2.问题分析
首先我们想的就是需要暴力遍历i,j和k这三个值,这一题是异或前缀和,首先我们把它的异或前缀和数组求解出来,然后用异或前缀和来表达a和b,
前缀和数组prefixArr[i]的含义:nums从0到i-1的异或前缀
a=prefixArr[j]^prefixArr[i]
b=prefixArr[k+1]^prefixArr[j]
a==b 即 prefixArr[k+1]==prefixArr[i]
知道这个之后,我们就可以使用暴力的方法求解出满足条件的三元组的数量了
3.代码实现
public int countTriplets(int[] arr) {
int[] prefixArr = new int[arr.length + 1];
for (int i = 1; i <= arr.length; ++i) {
prefixArr[i] = prefixArr[i - 1] ^ arr[i - 1];
}
System.out.println(Arrays.toString(prefixArr));
int count = 0;
for (int i = 0; i < arr.length - 2; ++i) {
for (int j = i + 1; j < arr.length - 1; ++j) {
for (int k = j + 1; k < arr.length; ++k) {
if (prefixArr[k + 1] == prefixArr[i])
count++;
}
}
}
return count;
}
