一维正态分布

设$X\text{~}N(\mu ,{\sigma }^2)$，则$X$的概率密度为$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$$函数图像：钟形曲线，$x=\mu$为对称轴且为最大值点，最大值为$\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }$，$\sigma$越小图像越尖锐。

• $\mu =1,\sigma =1$：
  
• $\mu =0,\sigma =\frac{1}{2}$：
  
• $\mu =0,\sigma \in (0,5]$：
  
• $\mu \in [-2,2],\sigma =\frac{1}{5}$：
  

标准正态分布$N(0,1)$：设$X\text{~}N(0,1)$，则$X$的概率密度函数记作$$\varphi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}$$$X$的分布函数记作$\Phi (x)$，满足$$\Phi (0)=\frac{1}{2},\Phi (-x)=1-\Phi (x)$$若$X\text{~}N(\mu ,{\sigma }^2)$，则$Z=\frac{X-\mu }{\sigma }\text{~}N(0,1)$。

$X\text{~}N(\mu ,{\sigma }^2)⟹Y=kX+b\text{~}N(k\mu +b,k^2{\sigma }^2)$（其中$b\ne 0$）

$X\text{~}N(\mu ,{\sigma }^2)⟹E(X)=\mu ,D(X)={\sigma }^2,\sigma (x)=\sigma$

中心极限定理：

中心极限定理	条件	结论（当$n$足够大时近似成立）
独立同分布中心极限定理	有有限的数学期望$E(X_k)=\mu$和方差$D(X_k)={\sigma }^2\ne 0$	$\overline{X}\text{~}N\left(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n}\right),\sum _{k=1}^n{X}_k\text{~}N\left(n\mu ,n{\sigma }^2\right)$
棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理	${\eta }_n\text{~}B(n,p)$	$\overline{X}\text{~}N\left(p,\frac{p(1-p)}{n}\right),{\eta }_n\text{~}N(np,np(1-p))$

多维正态分布

n维正态分布

设$\mathbf{V}$为$n$阶正定对称阵，$\mathbf{\mu }=({\mu }_1,{\mu }_2,\cdots ,{\mu }_n)$为$n$维已知向量。记$\mathbf{x}=(x_1,x_2,\cdots ,x_n)\in {\mathbb{R}}^n$。若$n$维随机向量$\mathbf{X}=(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$的概率密度为$$f(\mathbf{x})=\frac{1}{(2\pi {)}^{\frac{n}{2}}|\mathbf{V}{|}^{\frac{1}{2}}}\exp \left\{-\frac{1}{2}(\mathbf{x}-\mathbf{\mu }){\mathbf{V}}^{-1}(\mathbf{x}-\mathbf{\mu }{)}^T\right\}$$则称$\mathbf{X}$服从$n$维正态分布，记作$\mathbf{X}=(X_1,X_2,\cdots ,X_n)\text{~}N(\mathbf{\mu },\mathbf{V})$。

$n$维正态分布的基本性质：
设$\mathbf{X}=(X_1,X_2,\cdots ,X_n)\text{~}N(\mathbf{\mu },\mathbf{V})$，则：
(1) ${\mu }_i=E(X_i)(i=1,2,\cdots ,n)$；
(2) $\mathbf{V}=(v_{ij}{)}_{n\times n}$是$\mathbf{X}$的协方差矩阵，且$D(X_i)=v_{ii}$，$\text{Cov}(X_i,X_j)=v_{ij}(i,j=1,2,\cdots ,n)$；
(3) $X_i\text{~}N({\mu }_i,v_{ii})$；
(4) $X_1,X_2,\cdots ,X_n$相互独立$⟺X_1,X_2,\cdots ,X_n$两两互不相关$⟺\mathbf{V}=\text{diag}(v_{11},v_{22},\cdots ,v_{nn})$；
(5) 若$X_1,X_2,\cdots ,X_n$相互独立，且各$X_i\text{~}N({\mu }_i,{\sigma }_i^2)$，则$(X_1,X_2,\cdots ,X_n)\text{~}N(\mathbf{\mu },\mathbf{V})$，其中$\mathbf{\mu }=({\mu }_1,{\mu }_2,\cdots ,{\mu }_n)$，$\mathbf{V}=\text{diag}({\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2,\cdots ,{\sigma }_n^2)$；
(6) $(X_1,X_2,\cdots ,X_n)\text{~}N(\mathbf{\mu },\mathbf{V})⟺X_1,X_2,\cdots ,X_n$的任一非零线性组合$l_1{X}_1+l_2{X}_2+\cdots +l_n{X}_n$服从一维正态分布；
(7)（正态随机向量的线性变换不变性） 若$(X_1,X_2,\cdots ,X_n)\text{~}N(\mathbf{\mu },\mathbf{V})$，令$$\{\begin{array}{l}{Y}_1=a_{11}{X}_1+a_{12}{X}_2+\cdots +a_{1n}{X}_n\\ Y_2=a_{21}{X}_1+a_{22}{X}_2+\cdots +a_{2n}{X}_n\\ ⋮\\ Y_m=a_{m1}{X}_1+a_{m2}{X}_2+\cdots +a_{mn}{X}_n\end{array}$$则$\mathbf{Y}=(Y_1,Y_2,\cdots ,Y_m)$仍服从多维正态分布。

二维正态分布

$(X,Y)\text{~}N({\mu }_1,{\mu }_2;{\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2;\rho )$，则其概率密度为$$f(x,y)=\frac{1}{2\pi {\sigma }_1{\sigma }_2\sqrt{1-{\rho }^2}}{e}^{-\frac{1}{2(1-{\rho }^2)}\left[\frac{(x-{\mu }_1{)}^2}{{\sigma }_1^2}-2\rho \frac{(x-{\mu }_1)(y-{\mu }_2)}{{\sigma }_1{\sigma }_2}+\frac{(y-{\mu }_2{)}^2}{{\sigma }_2^2}\right]},x,y\in \mathbb{R}$$其中$\rho$就是$X$和$Y$的相关系数，$X\text{~}N({\mu }_1,{\sigma }_1^2)$，$Y\text{~}N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$。

推导过程：
$$\text{Cov}(X,Y)=\rho (X,Y)\sqrt{D(x)}\sqrt{D(Y)}=\rho {\sigma }_1{\sigma }_2$$$$\mathbf{V}=\left(\begin{array}{cc}D(x)& \text{Cov}(X,Y)\\ \text{Cov}(X,Y)& D(Y)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\sigma }_1^2& \rho {\sigma }_1{\sigma }_2\\ \rho {\sigma }_1{\sigma }_2& {\sigma }_2^2\end{array}\right)$$$$\det (\mathbf{V})={\sigma }_1^2{\sigma }_2^2-{\rho }^2{\sigma }_1^2{\sigma }_2^2=(1-{\rho }^2){\sigma }_1^2{\sigma }_2^2$$$${\mathbf{V}}^{-1}=\frac{1}{|\mathbf{V}|}\left(\begin{array}{cc}{\sigma }_2^2& -\rho {\sigma }_1{\sigma }_2\\ -\rho {\sigma }_1{\sigma }_2& {\sigma }_1^2\end{array}\right)$$$$(\mathbf{x}-\mathbf{\mu }){\mathbf{V}}^{-1}(\mathbf{x}-\mathbf{\mu }{)}^T=\frac{1}{(1-{\rho }^2){\sigma }_1^2{\sigma }_2^2}\left[{\sigma }_2^2(x-{\mu }_1{)}^2-2\rho {\sigma }_1{\sigma }_2(x-{\mu }_1)(y-{\mu }_2)+{\sigma }_1^2(x-{\mu }_2{)}^2\right]$$化简得$$(\mathbf{x}-\mathbf{\mu }){\mathbf{V}}^{-1}(\mathbf{x}-\mathbf{\mu }{)}^T=\frac{1}{(1-{\rho }^2)}\left[\frac{(x-{\mu }_1{)}^2}{{\sigma }_1^2}-2\rho \frac{(x-{\mu }_1)(y-{\mu }_2)}{{\sigma }_1{\sigma }_2}+\frac{(y-{\mu }_2{)}^2}{{\sigma }_2^2}\right]$$将以上式子代入多维正态分布的概率密度函数公式，即得$$f(x,y)=\frac{1}{2\pi {\sigma }_1{\sigma }_2\sqrt{1-{\rho }^2}}{e}^{-\frac{1}{2(1-{\rho }^2)}\left[\frac{(x-{\mu }_1{)}^2}{{\sigma }_1^2}-2\rho \frac{(x-{\mu }_1)(y-{\mu }_2)}{{\sigma }_1{\sigma }_2}+\frac{(y-{\mu }_2{)}^2}{{\sigma }_2^2}\right]},x,y\in \mathbb{R}$$函数图像：