1.数理逻辑
2. 集合论
3. 代数系统
4. 图论

图：点+边+边与点的映射函数

连通性与判别

欧拉图与哈密尔顿图

二分图和平面图与欧拉公式

树及生成树

单源点最短路径：Dijkstra算法

对偶图

4. 图论

4.1 图的基本概念

4.1.1 图

一个图G是一个三重组 $<V(G),E(G),\Phi_G>$

V(G)是一个非空的结点集合
E(G)是边的集合
关联函数 $\Phi_G$ ：是从边集E与结点偶对间的映射函数

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4.1.2 图的分类

按边类型分类

有向图：每一条边都是有向边

有向边（弧）：边对应的偶对是有序的，用序偶对 $< a, b >$ 表示
- 有向边的端点：弧的始点与终点

无向图：图中的每一条边都是无向的

无向边（棱）：偶对无序，用偶对 $(a, b)$ 表示

混合图：图中一些边是有向边，一些边是无向边

混合边：两结点间既有有向边，又有无向边，用 $[a, b]$ 表示

结点间的边数

平行边

有向图：两结点间(包括结点自身间)，若同始点和终点的边多于一条，则这几条边称为平行边
无向图：两结点间（包括结点自身间），若多于一条边，则称这几条边为平行边

重数：两结点间互相平行的边的条数称为 [a,b] 的重数。注意有向图需要同始点同终点

多重图：含有平行边的图

线图：不含平行边的图

简单图：无自回路的线图
- 平凡图仅有一个结点的简单图

特殊的图

零图：全由孤立结点构成的图

孤立结点：不与任何结点邻接的结点
含有自回路的图

自回路：关联于同一结点的一条边
赋权图：边或结点上带有信息，用三重组或者四重组表示 $< V, E, g > 或 < V, E, f, g >$
- V：结点集合
- E：边的集合
- f：定义在边上的函数
- g：定义在结点上的函数
如：

4.1.3 邻接关系

点的邻接：两结点间由边

边邻接：几条边关联于同一结点，则边邻接

4.1.4 有向图的底图

把有向图总的每条边都看做无向边，得到无向图，称为底图

4.1.5 结点的次数(度)

出度（引出次数）：有向图中，以结点v为始点的边的条数，记为 $deg^+(v)$
入度（引入次数）：有向图中，以结点v为终点的边的条数，记为 $deg^-(v)$
次数（度数）：结点v的引出次数和引入次数之和称为结点v的条数，记为 $d e g (v)$
- 孤立结点v的次数为零

定理

(n,m)图：n个结点m条边

握手定理：设G是一个(n,m)图，结点集合为 ${v_1,v_2,...,v_n\}$ ，则

度数之和是边数的二倍： $\sum_{i=1}^n deg^+(v_i)+\sum_{i=1}^n deg^-(v_i)=2m$
在图中，次数为奇数的结点必为偶数个

正则图：各结点次数均相同的无向图，记为 k-正则图

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如上图为3-正则图

4.1.6 图间的同构关系

图的同构：设 $G =< V, E >$ 和 $G^{'} =< V^{'}, E^{'} >$ 是两个图，若存在 V到V’ 的双射函数 $\Phi$ ，使对 $\forall a,b\in V,[a,b]\in E$ 有 $[\Phi(a),\Phi(b)]\in E'$ ，并且 $[a,b]与[\Phi(a),\Phi(b)]$ 有相同的重数

同构的必要条件：

结点数相等
边数相等
度数相同的结点数相等

但不能作为充分条件，如：

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4.1.7 图的运算

设图 $G_1=<V_1,E_1>,G_2=<V_2,E_2>,G_2=<V_3,E_3>$

$G_1\cup G_2$ ： $V_3=V_1\cup V_2,E_3=E_1\cup E_2$

$G_1\cap G_2$ ： $V_3=V_1\cap V_2,E_3=E_1\cap E_2$

$G_1- G_2$ ： $E_3=E_1- E_2,V_3=(V_1- V_2)\cup \{E_3中边所关联的顶点\}$

$G_1\oplus G_2$ ： $G_3=(G_1\cup G_2)-(G_1\cap G_2)$

删去图中一个结点v：删去结点v与v关联的所有边

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4.1.8 子图

子图

设 $G =< V, E >, G^{'} =< V^{'}, E^{'} >$ 是两个图

子图：如果 $V'\subseteq V且E'\subseteq E$ ，则称G’是G的子图

真子图：如果 $G'\neq G$ ，则称G’是G的真子图

生成子图： $V'=V且E'\subseteq E$

由边集E’导出的子图 $G [E^{'}]$ ：子图G’中没有孤立结点，G’由E’唯一确定

由结点集V’导出的子图 $G [V^{'}]$ ：子图G’中，对V’中的任意两结点u,v，当 $[u,v]\in E且[u,v]\in E'$ ，则G’由V’唯一确定

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4.1.9 完全图与补图

完全图

在n个结点的有向图 $G =< V, E >$ 中，如果 $E=V\times V$ ，则G是有向完全图
在n各结点的无向图 $G =< V, E >$ 中，如果任何两个不同结点间都有一条边，则称G是无向完全图

补图

设线图 $G =< V, E >$ 有n个顶点，线图 $H =< V, E^{'} >$ 也有同样的顶点，而E’是由n个顶点的完全图的边删去E所得，则图H称为G的补图

4.2 图的矩阵表示

设 $G =< V, E >$ 是一个有向线图。定义一个n阶方阵 $A(a_{ij})$ 为G的邻接矩阵，其中
$a_{ij}=\begin{cases} 1\quad <v_i,v_j>\in E\\ 0\quad <v_i,v_j>\notin E\\ \end{cases}$
特殊图的邻接矩阵

零图：零矩阵，元素全为0

每个顶点都有自回路而无其他边：单位矩阵

G的逆图 $\widetilde{G}$ ：图G的矩阵A的转置矩阵 $A^T$

4.2.1 性质

若为有向简单图，则

A(G)不一定是对称的
对角线为0
第i行中值为1的元素数目等于 $v_i$ 的出度，第j列中值为1的元素数目等于 $v_j$ 的入度

$\sum_{j=1}^na_{ij}=deg^+(v)\quad \sum_{i=1}^na_{ij}=deg^-(v)$

若G为无向简单图

A(G)是对称的
对角线为0
第i行中值为1的元素数目等于 $v_i$ 的度，第j列中值为1的元素数目等于 $v_j$ 的度

$\sum_{j=1}^na_{ij}=deg^(v)\quad \sum_{i=1}^na_{ij}=deg^(v)$

4.2.2 矩阵运算的意义

$AA^T$

令 $B=[b_{ij}]=AA^T$

从结点 $v_i$ 和 $v_j$ 两者引出的边，如果能共同终止于一些结点，则这些终止结点的数目就是 $v_{ij}$ 的值

对角线上元素的值是各结点的出度

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i=2,j=3， $b_{23}=1$ 说明从 $v_2$ 和 $v_3$ 引出的边能共同终止与同一结点的只有一个
i=2,j=2， $b_{22}=2$ ，说明 $v_2$ 的出度为2

$A^TA$

令 $B=[b_{ij}]=A^TA$

从一些结点引出的边，如果同时终于 $v_i$ 和 $v_j$ ，则这些结点的数目为 $b_{ij}$ 的值

对角线上元素的值就是结点的入度

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i=2,j=1， $b_{21}$ 说明以 $v_2$ 和 $v_1$ 为终点的边的共同始点只有一个
i=2,j=2， $b_{22}$ 说明 $v_2$ 的入度为2

$A^{(n)}$

$A^{(n)}=a_{ij}^{(n)}$ 表示从 $v_i$ 到 $v_j$ 的长度为n的不同路径的数目

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设矩阵 $Br=A+A^{(2)}+...+A^{(r)}$ ， $b_{ij}$ 表示从 $v_i$ 到 $v_j$ 的长度小于和等于r的不同路径总数

又由于简单有向图中，基本路径长度不超过 n-1，基本回路长度不超过n，则
$\begin{aligned} &路径：B_{n-1}=A+A^{(2)}+...+A^{(n-1)}\\ &回路：B_{n}=A+A^{(2)}+...+A^{n} \end{aligned}$
$b_{ij}$ 表明了结点间的可达性

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4.3.3 可达矩阵

设 $G =< V, E >$ 是一个有向线图， $\mid V \mid = n$ ，n阶方阵 $P_{ij}=(p_{ij})$ ，其中

$\begin{aligned} p_{ij}&=\begin{cases} 1\quad从v_i到v_j至少存在一条非零长度的路径\\ 0\quad从v_i到v_j不存在一条非零长度的路径 \end{cases}\\\\ P&=A\vee A^{(2)}\vee ...\vee A^{(n)} \end{aligned}$
则P为可达矩阵

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由可达矩阵求强分图

$p_{ij}=1$ 表示从 $v_i$ 到 $v_j$ 可达， $p_{ji}=p_{ij}^T=1$ 表示从 $v_j$ 到 $v_i$ 可达。仅当 $v_i$ 与 $v_j$ 互相可达时，才是连通。

当且仅当 $v_i$ 和 $v_j$ 相互可达时， $P^T\wedge P$ 的(i,j) 元素的值为1

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4.3 路径与回路

边不重，点不同；简单与基本

从 $v_0到v_n$ 的路径：图的一个点边交替序列 $v_0,e_1,v_1,...,e_n,v_n)$ ，

简单路径：同一条边不出现两次的路径

基本路径(链)：同一顶点不出现两次

回路：路径始点 $v_0$ 与终点 $v_n$ 重合

简单回路：边不重复的回路

基本回路：通过各顶点的不超过一次的回路

如果是线图，路径P可以用顶点序列表示，称P穿程于顶点序列

路径的长度：路径P所含边的条数。

在有n个结点的简单图 $G =< V, E >$ 中，如果 $v_1$ 到 $v_2$ 有一条路径，则路径长度必不大于 n-1
在有n个结点的简单图 $G =< V, E >$ 中，如果经 $v_1$ 有一条简单回路，则经 $v_1$ 有一条长度不超n的基本回路

4.3.1 连通度与连通图

无向图的连通

在无向图中，连通关系是等价关系，所以可以用连通关系划分无向图

无向图可达

可达：设 $G =< V, E >$ 是无向图， $v_i,v_j\in V$ ，如果两点之间存在一条路径，则称 $v_j从v_i可达$

无向图连通

连通：在无向图G中，如果任两个结点可达，则称G是连通的

连通分图：G的子图G’是连通的，且没有比G’更大的连通图，则G’是G的连通分图
- V上的等价关系可达导出的等价类构成的子图

点割

一个无向简单图 $G=<V,E>,V'\subset V$ ，如果

(1) $\omega(G-V') > \omega(G)$ ；删去某些结点后，分图个数大于原图中的分图个数

(2) 不存在 V’的真子集 V’'，使得 $\omega(G-V'')>\omega(G)$ ；生成分图的是最小删除结点数

，则称V’是图G的点割。

当只删去一个点就形成分图，删除的点称为割点：当 V’={v}时，称 v 为割点

若有生成当前分图有更小的删去点集，则称为泛点割

泛点割中包含点割

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点连通度

$G =< V, E >$ 是无向简单连通图。G中含顶点数最小的点割的大小称为G的点连通度。

点连通度 $\kappa_0(G)$ ：使连通图变为不连通图或者平凡图必须删去的顶点数

k-点连通： $\kappa_0(G) \ge k$ ，G至少删去k个点才能变为不连通图

完全图 $\kappa_0(G)=n-1$ ，平凡图 $\kappa_0(G)=0$

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边割集

一个无向简单图 $G=<V,E>,E'\subseteq E$ ，如果

(1) $\omega(G-E') > \omega(E)$ ；删去某些边后，分图个数大于原图中的分图个数

(2) 不存在 E’的真子集 E’'，使得 $\omega(G-E'')>\omega(E)$ ；生成分图的是最少删除边数

，则称E’是图G的割集。

当只删去一条边就形成分图，删除的点称为割点：当 E’={e}时，称 e 为桥

若有生成当前分图有更小的删去边集，则称为泛割集

泛割集中包含割集

连通度

$G =< V, E >$ 是无向简单连通图。G中含边数最小的割集的大小称为G的连通度。

连通度 $\kappa_1(G)$ ：使连通图变为不连通图或者平凡图必须删去的边数

k-连通： $\kappa_0(G) \ge k$ ，G至少删去k条边才能变为不连通图

平凡图 $\kappa_1(G)=0$

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有向图的连通

有向图的可达

可达：设 $G =< V, E >$ 是有向图， $v_i,v_j\in V$ ，如果两点之间存在一条路径，则称 $v_j从v_i可达$

连通分类

强连通：任两个结点偶对中，两结点互相可达，则称G是强连通的

所有顶点都在一条回路上

单向连通：任两个结点偶对中，至少从一个结点到另一个结点是可达的

存在一条有向路径，穿程于图的全部结点

弱连通：一个有向图的底图是连通的，则G是弱连通的

分图

强分图：在有向图 $G =< V, E >$ 中，G’是G的子图，G’是强连通的，没有比G’更大的强连通图

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“在同一强分图中”,“在同一弱分图中”，是图的顶点集V上的等价关系，这个等价关系把V划分成若干个等价类，即分图

强连通关系是等价关系，所以可以通过强连通关系划分为强

应用

死锁的检测

分配图：结点表示资源，边的始点表示占有，终点表示请求
用矩阵方法能够识别包含多于一个结点的强分图，从而检测出死锁状态

4.3.2 最短路径

结点间的距离 $d(v_i,v_j)$ ：在图 $G =< V, E >$ 中，从结点 $v_1$ 到 $v_j$ 最短路径的长度

有向图中， $d(v_i,v_j)$ 不一定等于 $d(v_j,v_i)$ ，但满足三角等式

$d(v_i,v_j)\ge 0$

$d(v_i,v_i)=0$

$d(v_i,v_j)+d(v_j,v_k) \ge d(v_i,v_k)$

带权图单源点最短路径

设 $G =< V, E, W >$ 是个带权图，W是从E到正实数集合的函数

路径P的长度定义为路径中边的长度之和，记为W§
$\begin{cases} min\{W(P)|P为G中从u到v的路径\}\\ \infty 当从u到v不可达 \end{cases}$

Dijkstra算法(贪心)

单源点多汇点

(1)将V分成两个子集S，有源点a的集合S与没有源点a的集合T。各结点到源点a的距离向量D(x)是他们之间的直接距离W(a,x)

(2)根据D(x)从集合T中找出与源点距离最短的结点t，以t为中转更新T中剩余结点到a点的距离向量D(x)；

D(x)=min[D(x),D(t)+W(t,x)]；原先点a到点x的距离与到点t的距离+t与x之间的距离的最小值

(3)将t并于S，T=T-{t}。若T=∅，则结束，反之执行(2)

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Floyd(动态规划)

适用场景：无负权回路求多源点多汇点间的最短路径

原理

在一个图中，最短路径长度不会超过 n-1
任意节点i与j的最短路径只有两种可能：

(1) [i,j] 本身最短

(2) 从i经过若干节点到j

故其状态转移方程为 path[i,j]=min{path[i,k]+path[k,j],path[i,j]}

步骤

初始状态：

矩阵A：记录各结点间的直接距离

矩阵P：A中不为无穷的点置1

路径计数器k=-1,

$A^{(k)}[i][j]$ 记录的是经过前k个顶点的最短路径

$P^{(k)}[i][j]$ 记录经过前k个顶点的最短路径长度
k++

判断在已加入前k-1个结点基础上再加上 $v_{k-1}$ 中转是否使路径变短（除去第k行和第k列和主对角线上的元素，A矩阵中其余元素计算 $min\{A^{(k-1)}[i][j],A^{(k)}[i][j]\}$ ）。

如果取 $A^{(k)}[i][j]$ ，则相应的令 $A^{(k)}[i][j]=A^{(k)}[i][j],P^{(k)}=P^{(k-1)}[i][j]+1$ ，

否则令 $A^{(k)}[i][j]=A^{(k-1)}[i][j],P^{(k)}=P^{(k-1)}[i][j]$
若k=n-1，停止；否则继续第二步

4.3.3 关键路径(动态规划)

单源点到单汇点的最长路径

从源点到汇点，算最长路径有多长

从汇点到源点，哪条路径是最长路径

输入e 条弧，建立AOE-网存储结构
拓扑排序，求得事件的最早开始时间，最后得到活动的最晚结束时间。从源点出发，源点的最早开始时间 ve[0]=0 ，按拓扑有序求其余各顶点的最早开始时间 ve[i] 。如果得到的拓扑序列顶点数小于AOE网中的顶点数，则说明网中有环，无关键路径。
- 拓扑排序：入度为0的点，若取出该点，删除以该点为始点的边
- 最早开始时间 ve[i] 为源点到顶点i的最长距离
逆拓扑排序，求得顶点的最晚开始时间。从汇点出发，令汇点的最晚开始时间等于最早开始时间 vl[n-1]=ve[n-1] ，依次求得各事件的最晚开始时间 vl[i]
- 逆拓扑排序：出度为0的点，若取出该点，删除以该点为终点的边
- 最晚开始时间 vl[i] 为顶点i的所有出边终点的最晚开始时间减去边的权值的最小值
根据个顶点的最早开始时间ve[i]和最晚开始时间vl[i]，求每个边的最早开始时间e[i]和最晚开始时间l[i] ，满足最早开始时间=最晚开始时间的边为关键路径

活动的最早开始时间=活动始点事件的最早开始时间

活动的最晚开始时间=活动终点事件的最晚开始时间-活动时间

4.3.4 欧拉路径与欧拉回路

欧拉：拉——边；哈密尔顿：口多——结点○

无向连通图G

欧拉路径：穿程于图G的每条边一次且仅一次的路径

欧拉回路：穿程于图G的每条边一次且仅一次的回路

欧拉图：具有欧拉回路的图

充要条件

无向连通图

具有欧拉路径：当且仅当G中具有零个或两个奇数度的顶点

欧拉图：当且仅当该图的顶点次数都是偶数

有向连通图

具有欧拉路径：

每个顶点出度等于入度
路径起点：出度-入度=1，路径终点：入度-出度=1

具有欧拉回路：当且仅当每个顶点的出度等于入度

4.3.5 哈密尔顿图

哈密尔顿路径：在无向图 $G =< V, E >$ 中穿程与G的每个结点一次且仅一次的路径

哈密尔顿回路：穿程于G的每个结点一次且仅一次的回路

哈密尔顿图：含有哈密尔顿回路的图

必要条件

删去的结点数大于等于删去结点后生成的分图数

设 $G =< V, E >$ 是哈密尔顿图，对V的每个非空真子集S，有 $\omega(G-S)\le \mid S \mid$ ， $\omega(G-S)$ 表示删去S后形成的连通分图个数

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充分条件

设 $G =< V, E >$ 是具有 $n\ge 3$ 个顶点的简单无向图，

若在G中每一对顶点的度数之和大于等于n-1
每一个 顶点的度数大于等于 $\frac{n}{2}$

则在G中存在一条哈密尔顿回路

4.4 二部图和平面图

4.4.1 二部图

若无向图 $G =< V, E >$ 的结点集合V可以划分为两个子集 X和Y ，使G中每一条边e，其一个端点在X中，另一个端点在Y中，则称 G是二部图或偶图

记为 $G =< X, E, Y >$ ,X和Y称为互补结点子集。

二部图没有自回路

完全二部图：若 X的每一顶点都与Y的每一顶点邻接，则称G为完全二部图

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充要条件

无向图G中的所有回路长度均为偶数

4.4.2 平面图

充要条件

欧拉公式：一个连通的平面图G，共有n个结点，m条边和k个面，则欧拉公式 n-m+k=2成立

顶点数-边数+面数=2

推论：

一个连通简单平面图，共n个结点，m条边，若 $n\ge 3$ ，则 $m\le 3n-6$
一个连通简单平面图，共n个结点，m条边，若每个平面至少四条边组成，则 $m\le 2n-4$
一个连通简单平面图，共n个结点，m条边，若每个平面至少s( $s\ge 3$ )条边组成，则 $m\le \frac{s(n-2)}{s-2}$

库拉托夫斯基定理

在给定图G的边上，

插入一个新的度为2的结点，使一条边分成两条边

关联于一个度为2的结点的两条边，去掉这个结点，使两条边化为一条边

不会影响图的平面性

对偶图

给定平面图 $G =< V, E >$ ，将其嵌入平面后：

在图G的每一个面 $D_i$ 内部作一个且仅做一个结点 $v_i^*$
经过每两个面 $D_i$ 与 $D_j$ 的每一边界 $e_k$ 做一条边 $e_k^*$ ，使 $e_k^*=(v_i^*,v_j^*)$ 与 $e_k$ 相交
当且仅当 $e_k$ 只是一个面 $D_i$ 的边界时， $v_i^*$ 恰好存在一个自回路 $e_k*$ 与 $e_k$ 相交