LeetCode——51. N 皇后

news2024/11/14 15:17:19

一、题目

按照国际象棋的规则，皇后可以攻击与之处在同一行或同一列或同一斜线上的棋子。

n 皇后问题研究的是如何将 n 个皇后放置在 n×n 的棋盘上，并且使皇后彼此之间不能相互攻击。

给你一个整数 n ，返回所有不同的 n 皇后问题的解决方案。

每一种解法包含一个不同的 n 皇后问题的棋子放置方案，该方案中 ‘Q’ 和 ‘.’ 分别代表了皇后和空位。
在这里插入图片描述
来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode.cn/problems/n-queens/description/

二、C++解法

我的思路及代码

采用回溯的思想。这里需要一个判断的函数 isValid ，来处理当前位置是否是可选的位置。每一次选择的时候都会前进一行，然后在当前行中，选择可用的列。如果这个列是可用的那么就可以选择此路径，然后继续后面的回溯，如果不可用则继续往下找。本质是一个全排列的问题。由于我们的方式是从一行一行的往下找，那么在 isValid 中，就不必判定左下角和右下角的合理情况，这必然是可选的。

class Solution {
public:
    vector<vector<string>> ans;
    bool isValid(int &row,int &col,vector<string> &temp){
        int rowTemp = row;
        int colTemp = col;
        //判断列有没有棋子
        for(int i=0;i<temp.size();i++){
            if(temp[i][col] == 'Q')
            return false;
        }

        //判断左上有没有棋子
        for(;rowTemp>=0&&colTemp>=0;rowTemp--,colTemp--){
            if(temp[rowTemp][colTemp] == 'Q')
            return false;
        }

        //判断右上有没有棋子
        for(rowTemp = row,colTemp = col;rowTemp>=0&&colTemp<temp.size();rowTemp--,colTemp++){
            if(temp[rowTemp][colTemp] == 'Q')
            return false;
        }

        return true;
    }

    void backtrance(vector<string> &temp,int row){
        if(row==temp.size()){
            ans.push_back(temp);
            return;
        }
        for(int col=0;col<temp.size();col++){
            if(isValid(row,col,temp)){
                temp[row][col] = 'Q';
                backtrance(temp,row+1);
                temp[row][col] = '.';
            }
        }
    }
    
    vector<vector<string>> solveNQueens(int n) {
        vector<string> temp(n,string(n,'.'));
        backtrance(temp,0);
        return ans;
    }
};

时间复杂度：O(N!)，其中 N 是皇后数量
空间复杂度：O(N)，其中 N 是皇后数量。空间复杂度主要取决于递归调用层数、记录每行放置的皇后的列下标的数组以及三个集合，递归调用层数不会超过 N，数组的长度为 N，每个集合的元素个数都不会超过 N

官方参考代码

方法一：基于集合的回溯

采用了集合的方式来存储各个线上皇后的情况，本质还是回溯算法。

class Solution {
public:
    vector<vector<string>> solveNQueens(int n) {
        auto solutions = vector<vector<string>>();
        auto queens = vector<int>(n, -1);
        auto columns = unordered_set<int>();
        auto diagonals1 = unordered_set<int>();
        auto diagonals2 = unordered_set<int>();
        backtrack(solutions, queens, n, 0, columns, diagonals1, diagonals2);
        return solutions;
    }

    void backtrack(vector<vector<string>> &solutions, vector<int> &queens, int n, int row, unordered_set<int> &columns, unordered_set<int> &diagonals1, unordered_set<int> &diagonals2) {
        if (row == n) {
            vector<string> board = generateBoard(queens, n);
            solutions.push_back(board);
        } else {
            for (int i = 0; i < n; i++) {
                if (columns.find(i) != columns.end()) {
                    continue;
                }
                int diagonal1 = row - i;
                if (diagonals1.find(diagonal1) != diagonals1.end()) {
                    continue;
                }
                int diagonal2 = row + i;
                if (diagonals2.find(diagonal2) != diagonals2.end()) {
                    continue;
                }
                queens[row] = i;
                columns.insert(i);
                diagonals1.insert(diagonal1);
                diagonals2.insert(diagonal2);
                backtrack(solutions, queens, n, row + 1, columns, diagonals1, diagonals2);
                queens[row] = -1;
                columns.erase(i);
                diagonals1.erase(diagonal1);
                diagonals2.erase(diagonal2);
            }
        }
    }

    vector<string> generateBoard(vector<int> &queens, int n) {
        auto board = vector<string>();
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            string row = string(n, '.');
            row[queens[i]] = 'Q';
            board.push_back(row);
        }
        return board;
    }
};