看见统计——第四章 统计推断：频率学派

接下来三节的主题是中心极限定理的应用。在不了解随机变量序列 { X i } \{X_i\} {Xi​} 的潜在分布的情况下，对于大样本量，中心极限定理给出了关于样本均值的声明。例如，如果 $Y$ 是一个 $N(0，1)$ 随机变量，并且 { X i } \{X_i\} {Xi​}的独立同分布具有平均值 $\mu$ 和方差 ${\sigma }^2$，那么
$$P(\frac{\overline{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}\in A)\approx P(Y\in A)$$
特别是，如果我们想要一个 $Y$ 以概率 $0.95$ 落点的区间，我们可以在网上或书中查找 $z$ 表，，对于 $N(0，1)$ 随机变量 $Y$ ，
$$P(Y\in (-1.96,1.96))=P(-1.96\le Y\le 1.96)=0.95$$
由于$\frac{\overline{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}$ 接近于 $N(0，1)$ ，这意味着
$$P(-1.96\le \frac{\overline{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}\le 1.96)=0.95$$
从上述声明中，我们可以对实验进行陈述，以量化置信度，接受或拒绝假设。

置信区间Confidence Intervals

假设在美国总统选举期间，我们对倾向于支持希拉里而非特朗普的人所占的比例 $p$ 感兴趣。我们可以打电话给这个国家的每个人，记录他们支持的人，这种做法显然不现实。相反，我们可以取一堆样本$X_1,\cdots ,X_n$，其中
$$X_i=\{\begin{array}{ll}1& 第i个人更支持希拉里\\ 0& 其它\end{array}$$
那么样本均 $\overline{X}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{X}_i$ 就是我们样本中偏爱希拉里的比例。假设 $p$ 是更喜欢希拉里的真实比例（ $p$ 未知）。注意$E(\overline{X})=p$。然后通过 $CLT$(中心极限定理)，
$$\frac{\overline{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}\sim N(0,1)$$
由于我们不知道 $\sigma$ 的真实值，我们使用样本方差来估计它，定义如下：
$$S^2\doteq \frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(X_i-\overline{X}{)}^2$$
这是 ${\sigma }^2$ 的一致估计量，因此当 $n$ 很大时，它与真方差 ${\sigma }^2$ 相差很大的概率很小。因此，我们可以将表达式中的$\sigma$ 替换为 $S=\sqrt{\frac{1}{n-1}{\sum }_{i=1}^n(X_i-\overline{X}{)}^2}$。由于$\frac{\overline{X}-\mu }{S/\sqrt{n}}$ 接近于 $N(0，1)$ ，这意味着
$$P(-1.96\le \frac{\overline{X}-\mu }{S/\sqrt{n}}\le 1.96)=0.95$$
重新排列 $p$ 的表达式，我们有

即使我们不知道 $p$ 的真实值，我们可以从上面的表达式得出结论， $p$ 有0.95的概率在如下区间中：
$$(\overline{X}-1.96\cdot \frac{S}{\sqrt{n}},\overline{X}+1.96\cdot \frac{S}{\sqrt{n}})$$
这被称为参数 $p$ 的95%的置信度区间。此近似适用于较大的 $n$ 值，通常要确保 $n>30$ 。可视化如下：

假设检验Hypothesis Testing

让我们回到2016年总统选举中决定选民偏好的例子。假设我们怀疑支持希拉里的选民比例大于$1/2$ ，并且我们从美国人口中抽取了标记为 { X i } i n = 1 \{X_i\}^n_i=1 {Xi​}in​=1的样本。基于这些样本，我们能支持或否定希拉里更受欢迎的假设吗？我们对我们的结论有多大的信心？假设检验是帮助回答这些问题的完美工具。

构建一个测试

本文中的假设是关于感兴趣的参数的声明。在总统选举的例子中，感兴趣的参数是 $p$ ，即支持希拉里的人所占的比。那么一个假设可能是 $p>0.5$ ，即超过一半的人支持希拉里。

假设检验有四个主要组成部分。

1. 备择假设alternative hypothesis，表示为$H_a$ ，是一个我们想要支持的主张。在前面的例子中，备择假设为 $p>0.5$ 。

2. 零假设null hypothesis，记为 $H_0$，与备择假设相反。在这种情况下，零假设是 $p\le 0.5$ ，即只有不到一半的人支持希拉里。

3. 检验统计量test statistic，是样本观测值的函数。基于检验统计量，我们将接受或拒绝零假设。在前面的例子中，检验统计量是样本均值 $\overline{X}$ 。样本均值通常是许多假设检验的检验统计量。

4. 拒绝域rejection region是样本空间 $\Omega$ 的子集，它决定是否拒绝零假设。如果检验统计量落在拒绝域，那么我们拒绝原假设。否则，我们接受。在总统选举的例子中，拒绝区域为
   $$RR:\{(x_1,x_2,...,x_n):\overline{X}>k\}$$
   这种表示法意味着如果 $\overline{X}$ 落在区间 $(k，\infty )$，我们将拒绝，其中 $k$ 是我们必须确定的某个数字。$k$由 Type I error 决定，它在下一节中定义。一旦计算出 $k$ ，我们根据检验统计量的值拒绝或接受零假设，检验完成。

错误类型

在假设检验中有两种基本类型的错误。它们分别表示为 $I$ 型和 $II$ 型错误。

🔥 定义 ：当 $H_0$ 实际上为真，我们却拒绝它时，就犯了 $I$ 型错误。Type I error的概率通常记为 $\alpha$。

换句话说，$\alpha$ 是假阳性的概率。

🔥 定义 ：当 $H_0$ 实际上为假，我们却接受它时，就犯了 $II$ 型错误。Type II error的概率通常记为 $\beta$。

换句话说， $\beta$ 是假阴性的概率。

在假设检验的背景下， $\alpha$ 将决定拒绝域。如果我们将假阳性的概率限制在小于0.05，那么我们有
$$P(\overline{X}\in RR|H_0)\le 0.05$$
即假设 $H_0$ 为真，我们的检验统计量落在拒绝域(意味着我们拒绝 $H_0$ )，概率为0.05。继续我们的总统选举的例子，拒绝域的形式是 $\overline{X}>k$，零假设是 $p\le 0.5$。我们上面的表达式就变成了
$$P(\overline{X}>k|p\le 5)\le 0.05$$
如果 $n>30$ ，那我们可以应用中心极限定理

其中 $Y$ 是 $N(0,1)$ 的随机变量。由于 $p\le 0.5$ 意味着 $\frac{k-p}{S/\sqrt{n}}\ge \frac{k-0.5}{S/\sqrt{n}}$，我们也必须有

因此

因此，如果我们将不等式右侧的概率限定为0.05，那么我们也将不等式左侧的概率(I型误差 $\alpha$ )限定为0.05。由于 $Y$ 是 $N(0,1)$ 的随机变量，我们可以查 $z$ 表，找到 $z_{0.05}=-1.64$，因此

设$\frac{k-0.5}{S/\sqrt{n}}=1.64$，我们可以求解 $k$ 来确定拒绝域:
$$k=0.5+1.64\cdot \frac{S}{\sqrt{n}}$$
由于我们的拒绝域形式为 $\overline{X}>k$，我们只需检查 $\overline{X}>0.5+1.64\cdot \frac{S}{\sqrt{n}}$。如果这是真的，那么我们拒绝零假设，并得出结论，超过一半的人口支持希拉里。因为我们设 $\alpha =0.05$ ，所以我们有 $1-\alpha =0.95$ 的把握相信我们的结论是正确的。

在上面的例子中，我们通过为 $p$ 代入0.5来确定拒绝域，即使零假设为 $p\le 0.5$ 。这就好像我们的零假设是$H_0:p=0.5$，而不是$H_0:p\le 0.5$。一般来说，当我们确定拒绝域时，可以简化 $H_0$ ，并假设边界情况(在这种情况下 $p=0.5$)。

p-Values

正如我们在上一节中看到的，选定的 $\alpha$ 确定了拒绝域，因此假阳性的概率小于 $\alpha$ 。现在假设我们观察一些检验统计数据，比如说，支持希拉里的选民 $\overline{X}$ 的样本比例。然后，我们提出以下问题。给定 $\overline{X}$，使我们仍然拒绝零假设的 $\alpha$ 的最小值是多少？这将引出以下定义。
p = min ⁡ { α ∈ ( 0 , 1 ) : Reject  H 0  using an α level test } p =\min\{\alpha \in(0,1):\text{Reject}\ H_0\ \text{using an α level test}\} p=min{α∈(0,1):Reject H0​ using an α level test}
$p$ 值即我们仍然拒绝零假设的 $\alpha$ 的最小值。

下面我们通过一个例子来说明。

🍌 假设我们对 $n$ 个人进行抽样，问他们更喜欢哪个候选人。就像我们之前做的那样，我们可以将每个人表示为一个指标函数，
$$X_i=\{\begin{array}{ll}1& 第i个人更支持希拉里\\ 0& 其它\end{array}$$
那么 $\overline{X}$ 是样本中倾向于希拉里的比例。在取了 $n$ 个样本后，假设我们观察到 $\overline{X}=0.7$ 。如果我们要建立一个假设检验，我们的假设，检验统计量和拒绝域将是

其中 $q$ 是整个美国人口中支持希拉里的真实比例。使用直观的定义，$p$ 值是我们观察到比 $0.7$ 更极端的概率。由于零假设是 $q\le 0.5$ ，在这种情况下，"更极端” 意味着 “大于0.7”。因此，$p$ 值是指在给定一个新的样本时，我们观察到新 $\overline{X}$ 大于0.7的概率，假设无效，即 $q\le 0.5$。 $\overline{X}$ 归一化有
$$P(\overline{X}>0.7|H_0)=P(\frac{\overline{X}-0.5}{S/\sqrt{n}}>\frac{0.7-0.5}{S/\sqrt{n}})\approx P(Y>\frac{0.7-0.5}{S/\sqrt{n}})\doteq p$$
其中 $Y\sim N(0,1)$。然后，我们将计算值 $z_p\doteq \frac{0.7-0.5}{S/\sqrt{n}}$。然后，我们将查找 $z$ 表并找到与 $z_p$ 对应的概率，记为 $p$ (就是我们的 $p$ 值)。

Bootstrap

Bootstrap又称自展法、自举法、自助法、靴带法 , 是统计学习中一种重采样(Resampling)技术，用来估计标准误差、置信区间和偏差

Bootstrap是现代统计学较为流行的一种统计方法，在小样本时效果很好。机器学习中的Bagging，AdaBoost等方法其实都蕴含了Boostrap的思想，在集成学习的范畴里 Bootstrap直接派生出了Bagging模型.

子样本之于样本，可以类比样本之于总体

参考

1. https://github.com/seeingtheory/Seeing-Theory
2. 统计学中的Bootstrap方法（Bootstrap抽样）