题目

把n个骰子扔在地上，所有骰子朝上一面的点数之和为s。输入n，打印出s的所有可能的值出现的概率。

你需要用一个浮点数数组返回答案，其中第 i 个元素代表这 n 个骰子所能掷出的点数集合中第 i 小的那个的概率。

思路

动态规划：

（1）确定dp数组：dp[i][j]，表示投掷完 i 枚骰子后，点数 j 的出现次数。

（2）确定递推公式：最后一个阶段为投掷完 n 枚骰子后的这个阶段，用 dp[n][j]来表示最后一个阶段点数 j 出现的次数，n 表示阶段，j表示投掷完 n 枚骰子后的点数和。考虑第 n 枚骰子，它的点数可能为 1,2,3,...,6，因此投掷完 n 枚骰子后点数 j 出现的次数，可以由投掷完 n−1 枚骰子后，对应点数 j−1,j−2,j−3,...,j−6出现的次数之和转化过来（因为一个骰子只有6种可能），即

for (第n枚骰子的点数 i = 1; i <= 6; i ++) {
    dp[n][j] += dp[n-1][j - i];
}	

（3）初始化dp数组：第一阶段扔完一枚骰子后，点数分别为1，2，3，4，5，6，并且每个点数出现的次数都是1，即

for (int i = 1; i <= 6; i ++) {
    dp[1][i] = 1;
}

java代码如下：

class Solution{
    public double[] dicesProbability(int n) {
        int[][] dp = new int[n + 1][6 * n + 1];
        for(int i = 1; i <= 6; i++)
            dp[1][i] = 1;
        
        for(int i = 2; i <= n; i++)
            for(int j = i; j <= 6 * i; j++)
                for(int k = 1; k <= 6 && k <= j; k++)
                    dp[i][j] += dp[i-1][j - k];
        
        double[] ans = new double[6 * n - n + 1];
        for(int i = n; i <= 6 * n; i++)
            ans[i - n] = ((double)dp[n][i]) / (Math.pow(6,n));//概率即为出现的次数 / 总次数
        return ans;
    }
}

空间优化：

每个阶段的状态都只和它前一阶段的状态有关，因此不需要用额外的一维来保存所有阶段。

用一维数组来保存一个阶段的状态，然后对下一个阶段可能出现的点数 j 从大到小遍历，实现一个阶段到下一阶段的转换。

java代码如下：

class Solution {
    public double[] dicesProbability(int n) {
        // 总的状态数为6 * n，dp[0]不使用
        int[] dp = new int[6 * n + 1];
        // 总的次数
        double all = Math.pow(6, n);

        //阶段1的状态
        for(int i = 1; i <= 6; i++) {
            dp[i] = 1;
        }

        for(int i = 2; i <= n; i++) {
            // 阶段i的状态，与阶段i-1的状态有关系，所以 j 从 i*6 开始
            for(int j = i * 6; j >= i; j--) {
                dp[j] = 0;
                for(int k = 1; k <= 6; k++) {
                    if(j - k < i - 1) break;
                    dp[j] += dp[j - k];
                }
            }
        }

        double[] ans = new double[6 * n - n + 1];
        // 计算概率
        for(int i = n; i <= n * 6; i++) {
            ans[i - n] = dp[i] / all;
        }

        return ans;
    }
}