序列求和的方法
数列求和公式
等差、等比数列与调和级数
求和的例子
二分检索算法
二分检索运行实例
2 n +1个输入
比较 t 次的输入个数
二分检索平均时间复杂度
估计和式上界的放大法
放大法的例子
估计和式渐近的界
估计和式渐近的界
小结
• 序列求和基本公式：
等差数列
等比数列
调和级数
• 估计序列和：
放大法求上界
用积分做和式的渐近的界
• 应用：计数循环过程的基本运算次数
递推方程与算法分析
递推方程
递推方程的例子
Fibonacci数的存在
Hanoi塔问题
递归算法
分析算法
插入排序
最坏情况下时间复杂度
插入排序：
设基本运算是元素比较，对规模为 n
的输入最坏情况下的时间复杂度 W ( n )
W ( n )= W ( n -1)+ n -1 W (1)=0
解为 W ( n ) = n ( n -1)/2
小结
•递推方程的定义及初值
•递推方程与算法时间复杂度的关系
Hanoi塔的递归算法 插入排序的迭代算法
迭代法求解递推方程
迭代法
•不断用递推方程的右部替换左部
•每次替换，随着 n 的降低在和式中
多出一项
•直到出现初值停止迭代
•将初值代入并对和式求和
•可用数学归纳法验证解的正确性
Hanoi 塔算法
插入排序算法
换元迭代
•将对 n 的递推式换成对其他变元 k 的递推式
•对 k 直接迭代
•将解 (关于 k 的函数) 转换成关于 n 的函数
二分归并排序
MergeSort ( A , p , r )
输入：数组 A [ p … r ]
输出：按递增顺序排序的数组 A
1. if p < r
2. then q ( p+r )/2
3. MergeSort ( A , p , q )
4. MergeSort ( A , q +1, r )
换元
假设 n =2 k , 递推方程如下：
W ( n )=2 W ( n /2)+ n 1
W (1)=0
换元：
W (2 k ) = 2 W (2 k -1 ) + 2 k 1
W (0) = 0
迭代求解
解的正确性-归纳验证
证明 : 下述递推方程的解是 W ( n )= n ( n 1)/2
W ( n )= W ( n 1)+ n 1
W (1)=0
方法：数学归纳法
证 n =1 ， W (1)=1 (1 1)/2 = 0
假设对于 *n , *解满足方程，则
W ( n +1)
= W ( n )+ n = n ( n 1)/2 + n
= n [( n 1)/2+1] = n ( n +1)/2
小结
迭代法求解递推方程
• 直接迭代，代入初值，然后求和
• 对递推方程和初值进行换元，然
后求和，求和后进行相反换元，
得到原始递推方程的解
• 验证方法——数学归纳法
差消法化简高阶递推方程
快速排序
• 假设 A [ p … r ] 的元素彼此不等
以首元素 A [1] 对数组 A [ p…r ] 划分 , 使得：
小于 x 的元素放在 A [ p … q 1]
大于 x 的元素放在 A [ q +1… r ]
• 递归对 A [ p … q 1] 和 A [ q +1… r ] 排序
工作量： 子问题工作量+划分工作量
输入情况
工作量总和
快速排序平均工作量
假设首元素排好序在每个位置是等
概率的
全部历史递推方程
对于高阶方程应该先化简，然后迭代
差消化简
利用两个方程相减，将右边的项尽可能
消去，以达到降阶的目的
差消化简
迭代求解
小结
• 对于高阶递推方程先要用差消法化简为一阶方程
• 迭代求解
递归树
有关基 递归树的概念 本概
• 递归树是迭代计算的模型 .
• 递归树的生成过程与迭代过程一致 .
• 递归树上所有项恰好是迭代之后产
生和式中的项 .
• 对递归树上的项求和就是迭代后方
程的解.
迭代在递归树中的表示
二层子树的例子
递归树的生成规则
• 初始，递归树只有根结点 , 其值为 W ( n )
• 不断继续下述过程：
将函数项叶结点的迭代式 W ( m ) 表示成二
层子树
用该子树替换该叶结点
• 继续递归树的生成，直到树中无函数项
(只有初值)为止.
递归树生成实例
递归树
对递归树上的量求和
递归树应用实例
求和
方程： T ( n )= T ( n /3)+ T (2 n /3)+ n
递归树层数 k ，每层 O ( n )
******
小结
• 递归树是迭代的图形表述
• 递归树的生成规则
• 如何利用递归树求解递推方程?
主定理及其证明
主定理的应用背景
求解递推方程
T ( n ) = a T ( n / b ) + f ( n )
a ： 归约后的子问题个数
n/b ：归约后子问题的规模
f ( n ) ：归约过程及组合子问题的解的
工作量
二分检索： T ( n ) = T ( n /2)+1
二分归并排序： T ( n ) =2 T ( n /2)+ n -1
主定理
迭代
迭代结果
小结
• 主定理的应用背景
• 主定理的内容
• 主定理的证明
主定理的应用
求解递推方程：例1
例 1 求解递推方程
T ( n ) = 9 T ( n /3) + n
解 上述递推方程中的
a = 9 ， b = 3 ， f ( n ) = n
n log 3 9 = n 2 , f ( n ) = O ( n log 3 9-1 )
相当于主定理的 case1 ，其中 =1.
根据定理得到 T ( n ) = ( n 2 )
求解递推放出:例2
例 2 求解递推方程
T ( n ) = T (2 n /3) + 1
****求解递推方程：例2
解 上述递推方程中的
a = 1, b = 3/2, f ( n ) = 1 ，
n log 3/2 1 = n 0 = 1
相当于主定理的
Case2 .
根据定理得到 T ( n ) = ( log n )
条件验证
递归算法分析
不能使用主定理的例子
递归树求解
求和
小结
• 使用主定理求解递推方程需要
满足什么条件？
• 主定理怎样用于算法复杂度分
析？
