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遗传算法

遗传算法是一种模拟自然界生物进化机制的优化算法，它通过模拟自然选择、交叉和变异等操作来寻找问题的最优解。

遗传算法通常包括以下步骤：

1. 定义问题的目标函数和约束条件，以及变量的编码方式。
2. 生成初始种群，即一组随机的可行解。
3. 计算每个个体的适应度值，即目标函数的值。
4. 选择操作，根据适应度值选择一部分个体进入下一代。
5. 交叉操作，对选中的个体进行染色体的交换，产生新的个体。
6. 变异操作，对某些个体的某些基因进行随机改变，增加种群的多样性。
7. 重复3-6步，直到满足终止条件，如达到最大迭代次数或适应度值达到预设阈值。
8. 输出最优解或最优解集。

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MATLAB 实现遗传算法

MATLAB 中的遗传算法函数为 ga，其基本语法为：

[x,fval] = ga(fun,nvars,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,intcon)

其中，fun 为目标函数，nvars 为变量个数，A 为不等式约束系数矩阵，b 为不等式约束右端项，Aeq 为等式约束系数矩阵，beq 为等式约束右端项，lb 为变量下界，ub 为变量上界，nonlcon 为非线性约束函数，intcon 为整数变量的下标。

该函数可以求解线性规划、整数规划、非线性规划、混合整数规划等各种优化问题。

例1

求解以下非线性规划问题：

$$\begin{array}{c}\min f(x)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+8\end{array}$$

$$\begin{array}{c}\text{ s.t. }\{\begin{array}{c}{x}_1^2-x_2+x_3^2\ge 0\\ x_1+x_2^2+x_3^3\le 20\\ -x_1-x_2^2+2=0\\ x_2+2x_3^2=3\\ x_1,x_2,x_3\ge 0\end{array}\end{array}$$

解

转换为标准形式：

$$\begin{array}{c}\min f(x)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+8\end{array}$$

$$\begin{array}{c}\text{ s.t. }\{\begin{array}{c}-x_1^2+x_2-x_3^2\le 0\\ x_1+x_2^2+x_3^3-20\le 0\\ x_1+x_2^2-2=0\\ x_2+2x_3^2-3=0\\ x_1,x_2,x_3\ge 0\end{array}\end{array}$$

定义目标函数：

function f = objfun(x)
    f = x(1)^2 + x(2)^2 + x(3)^2 + 8;
end

定义非线性约束函数：

function [c,ceq] = nonlcon(x)
    c = [-x(1)^2 + x(2) - x(3)^2; x(1) + x(2)^2 + x(3)^3 - 20];
    ceq = [x(1) + x(2)^2 - 2; x(2) + 2*x(3)^2 - 3];
end

代码求解：

[x,fval] = ga(@objfun,3,[],[],[],[],[0,0,0],[],@nonlcon)

输出结果：

x =
    0.5516    1.2035    0.9477

fval =
   10.6508

例2

求解以下整数规划问题：
$$\begin{array}{c}\max Z=4x_1+3y_1+5y_2\end{array}$$
$$\begin{array}{c}\text{ s.t. }\{\begin{array}{c}{y}_1,y_2\text{ are integers}\\ 2x_1+y_1+3y_2\le 36\\ x_1+y_1\ge 8\\ x_1+y_2\ge 10\\ x_1+y_1-y_2=4\\ x_1,y_1,y_2\ge 0\end{array}\end{array}$$

解

转换为标准形式：

$$\begin{array}{c}\min -Z=-4x_1-3y_1-5y_2\end{array}$$
$$\begin{array}{c}\text{ s.t. }\{\begin{array}{c}{y}_1,y_2\text{ are integers}\\ 2x_1+y_1+3y_2\le 36\\ -x_1-y_1\le -8\\ -x_1-y_2\le -10\\ x_1+y_1-y_2=4\\ x_1,y_1,y_2\ge 0\end{array}\end{array}$$

代码求解：

fun = @(x) -4*x(1) - 3*x(2) - 5*x(3);
A = [2, 1, 3; -1, -1, 0; -1, 0, -1];
b = [36; -8; -10];
Aeq = [1, 1, -1];
beq = 4;
lb = [0, 0, 0];
ub = [];
intcon = [2, 3];
[x,fval] = ga(fun,3,A,b,Aeq,beq,lb,ub,[],intcon);
fval = -fval;

输出结果：

x =
    4.0000    7.0000    7.0000

fval =
   72.0000