96. 不同的二叉搜索树 - 力扣（LeetCode）
一、题目
给你一个整数 n ，求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的 二叉搜索树 有多少种？返回满足题意的二叉搜索树的种数。
示例 1：
输入：n = 3 输出：5
示例 2：
输入：n = 1 输出：1
提示：
1 <= n <= 19
二、代码
class Solution {
public int numTrees(int n) {
return compute(n);
}
public int compute(int N) {
// 过滤特殊值
if (N < 0) {
return 0;
}
if (N < 2) {
return 1;
}
long a = 1;
long b = 1;
long c = 0;
// 2n
long limit = N << 1;
// 1、计算c(2N, N) = b / a
for (long j = 1, i = N + 1; j <= N && i <= limit; j++, i++) {
// 计算a：从1累乘到n
a *= j;
// 计算b：从n+1一直累乘到2n
b *= i;
// 求a和b的最大公因数，用来对a和b进行分数化简，避免在计算过程中溢出。
// 如果这里不进行化简的话，当N比较大的时候就会出现数据溢出情况
c = gcd(a, b);
a /= c;
b /= c;
}
// 2、计算公式3的计算结果
// 公式3：k(n)= c(2n, n) / (n + 1)
// c(n, m) = n(n-1)...(n-m+1) / m!
// b：2n * (2n - 1) * ... * (2n - n + 1) 也就是从n+1一直累乘到2n
// a：1 * 2 * ... * (n - 1) * n 也就是从1一直累乘到n
// c(2N, N) = b / a
return (int) ((b / a) / (N + 1));
}
// 辗转相除法求最大公因数
public long gcd(long a, long b) {
long c = a % b;
if (c != 0) {
return gcd(b, c);
} else {
return b;
}
}
}三、解题思路
卡特兰数满足如下关系式：
k(0)= 1, k(1)= 1时，如果接下来的项满足：
k(n)= k(0)*k(n-1) + k(1)*k(n- 2) + ... + k(n- 2)*k(1) + k(n- 1)* k(0)
或者
k(n)= C(2n, n) - C(2n, n-1)
或者
k(n)= C(2n, n) / (n + 1)
就说这个表达式，满足卡特兰数。
总的来说，需要剖析出这道题的本质：
假设n个节点存在二叉排序树的个数是G(n)，1为根节点，2为根节点，...，n为根节点，当1为根节点时，其左子树节点个数为0，右子树节点个数为n-1，同理当2为根节点时，其左子树节点个数为1，右子树节点为n-2，所以可得G(n) = G(0)*G(n-1)+G(1)*(n-2)+...+G(n-1)*G(0)。
明白了这道题的本质，发现了这个计算式子，就马上意识到这是一个卡特兰数的题目，直接用卡特兰数的计算公式计算结果即可。
