「期末复习」线性代数

news2024/12/23 19:02:38

第一章 行列式

行列式是一个数,是一个结果
三阶行列式的计算:主对角线的乘积
全排列与对换
逆序数为奇就为奇排列,逆序数为偶就为偶排列
对换:
定理一:一个排列的任意两个元素对换,排列改变奇偶性(和行列式的行(列)交换,符号要变化)
行列式的定义:
上下三角行列式和对角行列式:它的值就是主对角线的乘积
行列式的性质:
性质1:行列数与它的转置行列式相等(行和列交换)
A^T=A
性质2:对换行列式的两行(列),行列式变号
推论:如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列式等于0
性质3:行列式的某一行(列)中所有元素都同乘一数k,等于用数k乘此行列式。
推论:行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面
性质4:行列式中如果有两行(列)元素成比例,则行列式等于0
性质5:如果行列式 的某一行(列)的元素都是两数之和,例如第i行的元素都是两数之和:

性质6:把行列式的某一行(列)的各元素乘同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去,行列式不变
行列式按行(列)展开
余子式:针对某一个元素,才说余子式
代数余子式:比余子式多乘了一个(-1)^(i+j),i,j是针对某一个元素的下标
例如,a[1][2]的代数余子式就是(-1)^(1+2)*余子式
引理:一个n阶行列式,如果其中第i行所有元素除(i,j)元q[i][j]外都为0,那么行列式等于a[i][j]与它的代数余子式的乘积
定理2:行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和
范德蒙行列式
推论:行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于0

矩阵

判断方程组是否有解
行列式是方的(行数和列数相同)
矩阵定义:
1)由mxn个数a[I][j](I=1,2,3…,m=1,2,3…)排成的m行n列的数表
行数列数称为n阶矩阵

单位矩阵:

矩阵运算:
矩阵加法:只有当两个矩阵是同型矩阵时,这两个矩阵才能进行加法运算
(1)A+B=B+A
(2)(A+B)+C=A+(B+C)
A+(-A)=O(0矩阵也是有维数的)
数与矩阵相乘
定义3:数𝛌与矩阵A的乘积计作𝛌A或A𝛌,𝛌A=A𝛌
矩阵和矩阵相乘:
定义4:设A是一个mxs矩阵,B是一个sxn的矩阵,则AxB是一个mxn矩阵C
注意:只有第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时,两个矩阵才能相乘
矩阵A不等于0,B不等于0,但却有BA等于0.如果A,B满足AB=O,不能得出A等于O或者B等于O
注意:AxB不一定等于BxA
矩阵的乘法虽不满足交换律,但仍满足结合律和分配律
AxE=ExA=A(E是单位矩阵)
(AB)^k不等于A^kxB^k
(A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2
b=Ax,y=Ax
矩阵的转置
定义5:把矩阵的行换成同序数的列的到的矩阵,A的转置矩阵,记作A^T
​​​​​​​

矩阵的转置也是一种运算:
(1)(A^T)^T=A
(2)(A+B)^T=A^T+B^T
(3)(AB)^T=(B^T)*(A^T)
对称矩阵:
满足A为方阵,且A^T=A
矩阵的证明题从定义入手

 

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