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1 01背包问题
2 完全背包问题
3 多重背包问题
4 分组背包问题
1 01背包问题
有N件物品和一个容量是V的背包。每件物品只能使用一次。
第 物品的体积是
，价值是
。
求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。
输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。
接下来有N行，每行两个整数，
，用空格隔开，分别表示第i件物品的体积和价值。
输出格式
输出一个整数，表示最大价值。
数据范围
0<N,V≤1000
解决方案1：二维数组
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
for(int j = 1; j <= m; j++)
{
// 当前背包容量装不进第i个物品，则价值等于前i-1个物品
if(j < v[i]) f[i][j] = f[i - 1][j];
// 能装，需进行决策是否选择第i个物品
else f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
}
}
解决方案2：一维数组（推荐）
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
int v, w;
cin >> v >> w; // 边输入边处理
for(int j = m; j >= v; j--)
f[j] = max(f[j], f[j - v] + w);
}
2 完全背包问题
有N种物品和一个容量是V的背包。每种物品都有无限件可用。
第 i 种物品的体积是，价值是
。
求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。
输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。
接下来有N行，每行两个整数，
，用空格隔开，分别表示第i种物品的体积和价值。
输出格式
输出一个整数，表示最大价值。
数据范围
0<N,V≤1000
for(int i = 1 ; i<=n ;i++)
{
int v,w;
cin>>v>>w;
for(int j = v; j<=m ;j++)//正向循环
{
f[j] = max(f[j],f[j-v]+w);
}
}3 多重背包问题
有N种物品和一个容量是V的背包。
第 i 种物品最多有件，每件体积是
，价值是
。
求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。
输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。
接下来有N行，每行三个整数，
，
用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积、价值和数量。
输出格式
输出一个整数，表示最大价值。
数据范围
0<N,V≤100
for(int i=1;i<=n;i++)
{
cin>>a>>b>>c;
for(int j=1;j<=c;j++)
{
v[cnt]=a;
w[cnt]=b;
cnt++;
}//将多重背包一个一个拆出来,物品的重新叠加与整理
}
for(int i=1;i<=cnt;i++)
{
for(int j=m;j>=v[i];j--)
{
f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
}
}//01背包优化：
int cnt = 0; // 将物品重新分组后的顺序
for (int i = 1; i <= n; i ++)
{
int a, b, s; // a 体积, b 价值, s 每种物品的个数
scanf("%d %d %d", &a, &b, &s);
int k = 1; // 二进制拆分 打包时每组中有 k 个同种物品
while (k <= s) // 即y总说的: 最后一组的物品个数 < 2^(n+1) 1 2 4 8 16 ... 2^n 2^(n+1)
{
cnt ++;
v[cnt] = a * k; // 每组的体积
w[cnt] = b * k; // 每组的价值
s -= k;
k *= 2; // 注意是 k * 2，每次增长一倍，不是k * k
}
if (s > 0) // 二进制拆分完之后 剩下的物品个数分为新的一组
{
cnt ++;
v[cnt] = a * s;
w[cnt] = b * s;
}
}
4 分组背包问题
有N组物品和一个容量是V的背包。
每组物品有若干个，同一组内的物品最多只能选一个。
每件物品的体积是，价值是
，其中 i 是组号，j 是组内编号。
求解将哪些物品装入背包，可使物品总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。
输入格式
第一行有两个整数N，V，用空格隔开，分别表示物品组数和背包容量。
接下来有N组数据：
·每组数据第一行有一个整数，表示第 i 个物品组的物品数量；
·每组数据接下来有行，每行有两个整数
，
，用空格隔开，分别表示第 i 个物品组的第 j 个物品的体积和价值；
输出格式
输出一个整数，表示最大价值。
数据范围
0<N,V≤100
for(int i=0;i<n;i++)
{
for(int j=m;j>=0;j--)
{
for(int k=0;k<s[i];k++)
{
if(j>=v[i][k]) f[j]=max(f[j],f[j-v[i][k]]+w[i][k]);
}
}
}
