电子技术——BJT差分输入对

本节我们来讨论BJT差分输入对。

共模输入

下图是BJT差分输入对的基本原理图：

首先我们考虑两端输入共模信号 $V_{CM}$ ：

此时 $v_{B1}=v_{B2}=V_{CM}$ 因为电路的对称结构，所以 $i_{E1}=i_{E2}=I/2$ ，发射极电压为 $V_{CM}-V_{BE}$ 这里 $V_{BE}$ 是满足电流 $i_{E1}=i_{E2}=I/2$ 的基极电压（大约在0.7V）。输出的集电极电压为：

$$v_o=V_{CC}-\frac{\alpha I}{2}{R}_C$$

输出端两端电压相同，差值为零。这说明BJT差分输入对同样对共模信号无响应。

对于BJT差分输入对的共模信号输入范围，存在上限，当 $Q_1$ 和 $Q_2$ 处于饱和区边界的时候，此时：

$$V_{CMmax}\simeq V_C+0.4=V_{CC}-\frac{\alpha I}{2}{R}_C+0.4$$

存在下限，使得电流源 $I$ 有最小的压降 $V_{CS}$ ：

$$V_{CMmin}=-V_{EE}+V_{CS}+V_{BE}$$

大信号模型

根据BJT的电压电流传导关系，我们知道：

$$i_{E1}=\frac{I_S}{\alpha }{e}^{v_{B1}-v_E/V_T}$$

$$i_{E2}=\frac{I_S}{\alpha }{e}^{v_{B2}-v_E/V_T}$$

做除法得到：

$$\frac{i_{E1}}{i_{E2}}=e^{(v_{B1}-v_{B2})/V_T}$$

以及我们有 $i_{E1}+i_{E2}=I$ ，解得：

$$i_{E1}=\frac{I}{1+e^{-v_{id}/V_T}}$$

$$i_{E2}=\frac{I}{1+e^{v_{id}/V_T}}$$

这里 $v_{id}=v_{B1}-v_{B2}$ ，集电极电流等于发射极电流的 $\alpha$ 倍，非常接近单位一。

下图展示了归一化之后的差分响应的图形表示：

我们发现，当 $v_{id}=4V_T$ （100mV）的时候，就会出现一个BJT截止另一个BJT完全导通的的情况，这比MOS的边界 $\sqrt{2}{V}_{OV}$ 要小。实际上，BJT具有从一边切换到另一边更快的速度。

若获得较好的线性区域，必须让输入的差分信号小于 $V_T/2$ 。最后，我们介绍一种扩宽BJT线性区域的方法，我们使用发射极电阻，如图所示：

我们之前在BJT章节学习过，引入BJT的发射极电阻之后，由于发射极电阻的分压作用，可以扩大我们信号的幅值范围，进而扩宽BJT线性区域，结果可以参考下图：

但是代价是降低了增益系数。这种方法对于MOS差分输入对同样有效。

小信号模型

下图展示了我们小信号模型的原始电路图：

差分信号输入 $v_{id}$ 通过互补输入到BJT差分输入对。此时集电极的信号电流为：

$$i_{c1}=\frac{\alpha I}{1+e^{-v_{id}/V_T}}$$

$$i_{c2}=\frac{\alpha I}{1+e^{v_{id}/V_T}}$$

将 $i_{c1}$ 的分子分母同时乘以 $e^{v_{id}/2V_T}$ ：

$$i_{c1}=\frac{\alpha I{e}^{v_{id}/2V_T}}{e^{v_{id}/2V_T}+e^{-v_{id}2/V_T}}$$

假设 $v_{id}\ll 2V_T$ ，我们 $e^x$ 展开只保留前两项：

$$i_{c1}\simeq \frac{\alpha I(1+v_{id}/2V_T)}{1+v_{id}/2V_T+1-v_{id}/2V_T}=\frac{\alpha I}{2}+\frac{\alpha I}{2V_T}\frac{v_{id}}{2}$$

同理：

$$i_{c1}\simeq \frac{\alpha I}{2}-\frac{\alpha I}{2V_T}\frac{v_{id}}{2}$$

所以BJT差分输入对的差分电流为：

$$i_c=\frac{\alpha I}{2V_T}\frac{v_{id}}{2}$$

这表明，当应用差分信号输入 $v_{id}$ 的时候， $i_{c1}$ 会增加 $i_c$ 而 $i_{c2}$ 会降低 $i_c$ 但保持总量不变一直为 $I$ 。

另外一种解释为，BJT的互导系数为：

$$g_m=\frac{I_C}{V_T}=\frac{\alpha I/2}{V_T}$$

对于每一个BJT的输入信号电压都是 $\frac{v_{id}}{2}$ ，故写作是：

$$i_c=g_m\frac{v_{id}}{2}$$

同样我们可以使用T模型解释：

根据基尔霍夫定律，电压 $v_{id}$ 作用在 $2r_e$ 的总电阻中，此时：

$$i_e=\frac{v_{id}}{2r_e}$$

则此时的集电极电流为：

$$i_c=\alpha \frac{v_{id}}{2r_e}=g_m\frac{v_{id}}{2}$$

同样的分析方法适用于分析带发射极电阻的情况，如图：

此时：

$$i_e=\frac{v_{id}}{2r_e+2R_e}$$

BJT不像MOS存在无穷大阻抗，现在让我们来计算BJT差分输入对的输入阻抗，我们知道两个输入端的基极电流相等，且都为：

$$i_b=\frac{i_e}{\beta +1}=\frac{v_{id}/2r_e}{\beta +1}$$

因此输入阻抗为：

$$R_{id}\equiv \frac{v_{id}}{i_b}=(\beta +1)2r_e=2r_{\pi }$$

这同样遵循电阻反射定律，即从两个基极看过去的电阻等于发射极电阻的 $\beta +1$ 倍。所以带发射极电阻的输入阻抗为：

$$R_{id}=2(\beta +1)(r_e+R_e)$$

接下来考虑电压增益，我们知道输出端的电压为：

$$v_{C1}=(V_{CC}-I_C{R}_C)-g_m{R}_C\frac{v_{id}}{2}$$

$$v_{C2}=(V_{CC}-I_C{R}_C)+g_m{R}_C\frac{v_{id}}{2}$$

这里 $g_m$ 是BJT偏置在电流为 $I_C$ 处的互导系数，且 $I_C$ 为：

$$I_C=\frac{\alpha I}{2}$$

当使用差分输出的时候，此时电压增益为：

$$A_d=\frac{v_{od}}{v_{id}}=g_m{R}_C$$

当使用发射极电阻的时候，电压增益为：

$$A_d=\frac{\alpha (2R_C)}{2r_e+2R_e}\simeq \frac{R_C}{r_e+R_e}$$

这同样满足电压增益为集电极总电阻比上发射极总电阻。

下图展示了一个不同的BJT差分输入对：

图中我们使用的互补输入方式，而且我们使用共发射极电阻 $R_{EE}$ 来代替偏置的恒流源，因为电路总是对称的，所以共发射极节点处的电压总是是为零，因此上面的电路等效于下面的半电路：

虽然 $R_{EE}$ 的阻抗是有限的，但是这并不影响信号分析中，BJT的发射极永远是虚拟AC地，因此 $R_{EE}$ 的有限阻抗不影响BJT差分输入对。

有时候，并不总是使用互补输入方式，另一种可能的输入方式是一端接地，一端输入，如图：

此时发射极电压不再是零，电阻 $R_{EE}$ 对信号存在影响。若假设 $R_{EE}\gg r_e$ 则可以近似的看成是 $v_e=v_{id}/2$ ，此时整个电路等价于互补输入方式，半电路分析仍可以使用，如上图。

互补输入方式中，两个半电路完全一致，因此只需要分析电路的一半即可，这种方法称为 差分半电路 。我们将其中一个半电路使用混合 $\pi$ 模型：

分析方法和我们之前分析共发射极电路分析方法一致，此时偏置电流为 $I/2$ 。若考虑 $r_o$ 的影响，我们有：

$$A_d=g_m(R_C||r_o)$$

BJT差分输入对的输入阻抗是半电路输入阻抗的两倍。