AVL树的概念

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下，时间复杂度为O（N）；

两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。AVL树，即是高度平衡的二叉搜索树。

一棵AVL树是一棵平衡二叉搜索树，也能是一棵空树。

AVL树的性质：

①它的左右子树都是AVL树

②左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)

③如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在log_2N,搜索的时间复杂度是log_2N。

 AVL树的定义：

AVL树的定义中：①拥有键值对。②多加一个双亲节点，用于调整平衡二叉树。③增加平衡因子，用于判断插入或删除后，是否还是一棵AVL树。

template<class K,class V>
struct AVLTreeNode
{
	pair<K, V> _kv;//键值对
	AVLTreeNode<K, V>* _left;
	AVLTreeNode<K, V>* _right;
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;

	int _bf;//balance factor

	AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_kv(kv)
		, _left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
	{}
};

AVL树的插入

AVL树的插入分成两步：第一步是按照二叉搜索树的方式来新增节点。第二步是是调整节点，使其成为一棵平衡的二叉搜索树。

先展示代码，我们分析以下思路：

1.首先按照二叉搜索树的方式来新增节点，但这需要新增一个双亲指针，方便后续在调节节点。因此，在新增节点的最后部分的代码中，我们需要让cur->_parent指向双亲节点parent。

2.完成二叉搜索树的创建后，开始去判断各个节点的平衡因子。

①当平衡因子_bf等于0的时候，说明parent节点一边高一边矮，新增的这个节点填上了矮的地方，这种情况就不需要更新了，直接beak掉。

②当平衡因子_bf等于1或者-1的时候，说明parent原本的平衡因子是0，parent两边一样高，新增了节点之后，有一边变高了。这种情况需要继续往上走。

③当平衡因子_bf等于2或-2的时候，说明之前parent->_bf == 1 或者 -1，现在插入严重不平衡，违反规则，此时需要原地旋转，即以当前节点为轴旋转。

随后将重点分析：当平衡因子是2或-2的时候，说明需要通过旋转调节节点。那该如何去旋转呢？

	bool Insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		//一开始是一棵空树
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			return true;
		}
		//一开始不是空树
		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;

		//寻找插入的地方，是左子树还是右子树
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}

		//找到插入的位置后，即确认了是在左子树还是右子树
		cur = new Node(kv);
		//确定是在父节点的左还是右
		if (parent->_kv.first < kv.first)
		{
			parent->_right = cur;
			cur->_parent = parent;
		}
		else
		{
			parent->_left = cur;
			cur->_parent = parent;
		}

		//更新平衡因子，判断插入后的树，是否是一棵AVL树
		while (parent)
		{
			//插入的是在父节点的左边，即是左孩子
			if (cur == parent->_left)
			{
				parent->_bf--;//一般是右-左，因此，如果是插入在左边，那就是减一
			}
			else  //是右孩子
			{
				parent->_bf++;
			}

			//更新完平衡因子后，判断是否是一棵AVL树
			//如果平衡因子是0，任何节点的平衡因子都没被改变
			if (parent->_bf == 0)
			{
				break;
			}
			else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
			{
				//如果平衡因子是1或-1，那么就说明，父节点往上的节点的平衡因子有可能被改变了
				cur = parent;
				parent = parent->_parent;
			}
			else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
			{
				//旋转
				//右单旋----高出来的那一部分按下去！
				if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
				{
					RotateR(parent);
				}
				else  if(parent->_bf==2 && cur->_bf== 1)//左单旋
				{
					RotateL(parent);
				}
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1) //先左旋后右旋
				{
					RotateLR(parent);
				}
				else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1) //先右旋再左旋
				{
					RotateRL(parent);
				}

			}
			else  //不排除在创建一棵AVL树的时候，代码写错了
			{
				assert(false);
			}
		}
		return true;
	}

旋转节点

旋转的要求：

⭐让这颗子树左右高度之差不超过1

⭐旋转过程中继续保持他是搜索树

⭐更新调整孩子节点的平衡因子

⭐让这颗子树的高度跟插入前保持一致。因为这样就不会对上层的平衡因子造成影响，此时就可以结束对这棵树的更新旋转。

旋转的情况有四种：

①新节点插入较高左子树的左侧---左左：右单旋

这种情况是新增的节点位于比较高的左子树的左侧的某个位置上，此时在往上检查平衡因子发现值为60的节点是平衡因子为-2，说明左子树的高度是比右子树高的（这里选择右减左），所以当我们的判断条件if(parent->_bf==-2 && cur->_bf == -1)成立时，就表示着符合当前情况。所以，我们需要将60的节点的平衡因子减小，那就是将它按下去！以60的节点为轴旋转：

⭐旋转的动作：因为b是30节点的右孩子，根据二叉搜索树的性质，b子树所有的值肯定是大于30，小于60的，而且60节点需要下来，说明60节点是要成为30节点的右孩子的，因此b子树就需要成为60节点的左孩子了。

⭐当然，我们需先判断一下，30节点的右孩子是否为空，即30节点没有右孩子。如果没有右孩子，那么就不能让它指向60节点的左孩子。

⭐然而，我们旋转的这颗树，可能是一颗子树，因此需要判断一下60节点的双亲节点是否为空，如果为空，说明它不是子树，此时就可以让_root指向subL，成为新的根，然后subL的双亲节点置为nullptr，因为subL->parent原本是指向60节点的。

⭐如果不为空，那就说明它是一棵子树，那么就让60节点的双亲节点的左或右孩子点指向30节点，30节点的双亲指向60原先的双亲节点。

右单旋的代码如下：

	void RotateR(Node* parent)
	{
		//一开始，例子中的60节点便是parent
		//先创建指向30节点的指针和指向b节点的指针
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
		//这一步是让60节点的左孩子指向b节点
		parent->_left = subLR;
		//这一步判断b节点是否为空,如果不为空，那么就让它的双亲节点指向60节点（本来是指向subL的）
		if (subLR)
		{
			subLR->_parent = parent;
		}
		//上面两步成功将b节点改链接到60节点上去
		//先保存60节点的双亲节点
		Node* ppNode = parent->_parent;
		//让30节点subL的右孩子指向60节点，即60节点链接到了30节点subL的右孩子上
		subL->_right = parent;
		//60节点的双亲节点指向30节点subL
		parent->_parent = subL;
		//判断60节点原本的双亲节点是否为空
		//为空
		if (ppNode == nullptr)
		{
			_root = subL;
			_root->_parent = nullptr;
		}
		else  //不为空，说明是一棵子树
		{
			if (ppNode->_left == parent) //如果parent是原先的双亲节点的左孩子
			{
				ppNode->_left = subL; 

			}
			else                         //如果parent是原先的双亲节点的右孩子
			{
				ppNode->_right = subL;
			}
			
			//链接后，再让成为新根后的30节点subL的双亲节点指向ppNode
			subL->_parent = ppNode;
		}

		//最后将30节点subL和60节点parent的平衡因子修改
		//
		subL->_bf = parent->_bf = 0;
		//此时，右单旋完成
		//因为旋转的要求是让这颗子树的高度跟插入前保持一致
		//那就说明，此时完成旋转的这树，不会对上层的平衡因子造成影响，此时就可以结束对这棵树的更新旋转
	}

②新节点插入较高右子树的右侧---右右：左单旋

这种情况是新增的节点位于比较高的右子树的右侧的某个位置上，此时在往上检查平衡因子发现值为30的节点是平衡因子为2，说明右子树的高度是比左子树高的（这里选择右减左），所以当我们的判断条件if(parent->_bf==2 && cur->_bf == 1)成立时，就表示着符合当前情况。所以，我们需要将30的节点的平衡因子减小，那就是将它按下去！以30的节点为轴旋转：

⭐旋转的动作：因为b是60节点的左孩子，根据二叉搜索树的性质，b子树所有的值肯定是大于30，小于60的，而且30节点需要下来，说明30节点是要成为60节点的左孩子孩子的，因此b子树就需要成为30节点的右孩子了。

⭐同样的，我们需先判断一下，60节点的左孩子是否为空，即60节点没有左孩子。如果没有左孩子，那么就不能让它指向30节点的右孩子。

⭐同样的，需要盘点一下是否是一棵子树。因此需要判断一下30节点的双亲节点是否为空，如果为空，说明它不是子树，此时就可以让_root指向subR，成为新的根，然后subR的双亲节点置为nullptr，因为subR->parent原本是指向30节点的。

⭐如果不为空，那就说明它是一棵子树，那么就让30节点的双亲节点的左或右孩子点指向60节点，60节点的双亲指向30原先的双亲节点。

左单旋代码如下：

	void RotateL(Node* parent)
	{
		//创建60节点subR，右右是左旋嘛
		Node* subR = parent->_right;
		//创建指向b节点的指针subRL
		Node* subRL = subR->_left;
		//先让parent的右孩子节点指向subRL。
		parent->_right = subRL;
		//判断subRL是否为空，不为空，那就让subRL的父节点指向parent
		if (subRL)
		{
			subRL->_parent = parent;
		}
		//上面步骤成功将b节点链接到了parent上
		
		//先把parent的父节点保存起来，不管存在不存在
		Node* ppNode = parent->_parent;
		//接下来就是把parent按下了，成为subR的左孩子，让subR成为新根
		subR->_left = parent;
		parent->_parent = subR;
		//让subR成为新根
		if (ppNode == nullptr)
		{
			_root = subR;
			_root->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (ppNode->_left = parent)
			{
				ppNode->_left = subR;
			}
			else
			{
				ppNode->_right = subR;
			}
			subR->_parent = ppNode;
		}
		//修改平衡因子
		parent->_bf = subR->_bf = 0;
	}

③新节点插入较高左子树的右侧---左右：先左单旋再右单旋

这种情况是新增的节点位于比较高的左子树的右侧的某个位置上，此时在往上检查平衡因子发现值为parent节点的平衡因子为-2，说明左子树的高度是比右子树高的（这里选择右减左），所以当我们的判断条件if(parent->_bf==-2 && cur->_bf == 1)成立时，就表示着符合当前情况。这种情况采取的旋转方式是先左旋后右旋。左旋的轴是subL节点，右旋的轴就是parent节点。

此时，我们复用左单旋和右单旋的情况即可。但是需要注意的是，尽管在右单旋和左单旋中，已经对平衡因子进行了修改，但我们通过画图可以看出来，修改过的平衡因子并不符合实际上的值，因此我们需要重新修改一遍。

代码如下：

	void RotateLR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
		int bf = subLR->_bf;//记录调整节点之前，subLR的平衡因子，因为subLR最后是新根
		//开始调整
		RotateL(parent->_left);
		RotateR(parent);

		//修改平衡因子
		if (bf == -1)//说明是在左子树上新增节点，即图中的b子树
		{
			parent->_bf = 1;
			subL->_bf = 0;
			subLR->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 1)//说明是在右子树c上新增节点
		{
			parent->_bf = 0;
			subL->_bf = -1;
			subLR->_bf = 0;
		}
		else if(bf==0)//说明subLR自己就是新增的节点
		{
			parent->_bf = 0;
			subL->_bf = 0;
			subLR->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}

④新节点插入较高右子树的左侧---右左：先右单旋再左单旋

这种情况是新增的节点位于比较高的右子树的左侧的某个位置上，此时在往上检查平衡因子发现值为parent节点的平衡因子为2，说明右子树的高度是比左子树高的（这里选择右减左），所以当我们的判断条件if(parent->_bf==2 && cur->_bf == -1)成立时，就表示着符合当前情况。这种情况采取的旋转方式是先右旋后左旋。右旋的轴是subR节点，左旋的轴就是parent节点。

此时，我们复用左单旋和右单旋的情况即可。但是需要注意的是，尽管在右单旋和左单旋中，已经对平衡因子进行了修改，但我们通过画图可以看出来，修改过的平衡因子并不符合实际上的值，因此我们需要重新修改一遍。

代码如下：

	void RotateRL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		int bf = subRL->_bf;//记录调整节点之前，subRL的平衡因子，因为subRL最后是新根

		RotateR(parent->_right);
		RotateL(parent);

		if (bf == 1) //在右子树上新增节点
		{
			parent->_bf = -1;
			subR->_bf = 0;
			subRL->_bf = 0;
		}
		else if (bf == -1) //在左子树上新增节点
		{
			parent->_bf = 0;
			subR->_bf = -1;
			subRL->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 0) //说明subRL本身就是那个新增的节点
		{
			parent->_bf = 0;
			subR->_bf = 0;
			subRL->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}

总结：

假如以pParent为根的子树不平衡，即pParent的平衡因子为2或者-2，分以下情况考虑：

①pParent的平衡因子为2，说明pParent的右子树高，设pParent的右子树的根为pSubR。
当pSubR的平衡因子为1时，执行左单旋
当pSubR的平衡因子为-1时，执行右左双旋

②pParent的平衡因子为-2，说明pParent的左子树高，设pParent的左子树的根为pSubL
当pSubL的平衡因子为-1是，执行右单旋
当pSubL的平衡因子为1时，执行左右双旋

旋转完成后，原pParent为根的子树个高度降低，已经平衡，不需要再向上更新。

验证AVL树

由于AVL树是在二叉搜索树的基础上加了平衡性后得到的树，因此需要确认一棵树是AVL树，那么就需要以下两步：

1.先确定是否是一棵二叉搜索树：如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树。

2.验证其是否平衡：①每个节点子树高度差的绝对值不超过1(注意节点中如果没有平衡因子)。②节点的平衡因子是否计算正确。

代码如下：

①中序遍历：

	void Inorder()
	{
		_Inorder(_root);
	}

	void _Inorder(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return;

		_Inorder(root->_left);
		cout << root->_kv.first << ": " << root->_kv.second << endl;
		_Inorder(root->_right);
	}

②计算高度：

	int Height(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return 0;
		}
		//先计算左子树的高度
		int ln = Height(root->_left);
		//然后计算右子树的高度
		int rn = Height(root->_right);

		return ln > rn ? ln + 1 : rn + 1;
	}

③验证平衡：

	bool IsBalance()
	{
		return _IsBalance(_root);
	}

	bool _IsBalance(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return true;

		//计算当前节点root的平衡因子
		int leftHeight = Height(root->_left);
		int rightHeight = Height(root->_right);

		//如果不同，那就将当前节点的值打印出来，并提升异常
		if (rightHeight - leftHeight != root->_bf)
		{
			cout << root->_kv.first << "平衡因子异常" << endl;
			return false;
		}
		//通过递归，验证每一个节点的平衡因子是否符合
		return abs(rightHeight - leftHeight) < 2
			&& _IsBalance(root->_left)
			&& _IsBalance(root->_right);
	}

AVL树性能

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即log_2 (N)。

但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，因为做修改就很大可能需要进行旋转，每一次旋转都是比较消耗性能的！