第四章.误差反向传播法

4.2 ReLU/Sigmoid/Affine/Softmax-with-Loss层的实现

1.ReLU层

1).公式

2).导数：

3).计算图：

4).实现：

class ReLU:
    def __init__(self):
        self.mask = None

    # 正向传播
    def forward(self, x):
        self.mask = (x <= 0)  # 输入值是否≤0，返回值是由True/False构成的Numpy数组
        out = x.copy()
        out[self.mask] = 0  # mask中的元素为True的地方置为0
        return out

    # 反向传播
    def backward(self, dout):
        dout[self.mask] = 0
        dx = dout
        return dx

2.Sigmoid层

1).公式：

2).计算图：

• 简洁版
  

3).导数：

4).实现：

import numpy as np


class Sigmoid:
    def __init__(self):
        self.out = None

    # 正向传播
    def forward(self, x):
        out = 1 / (1 + np.exp(-x))
        self.out = out
        return out

    # 反向传播
    def backward(self, dout):
        dx = dout * (1.0 - self.out) * self.out
        return dx

3.Affine层

• 神经网络的正向传播中进行的矩阵乘积运算在几何学领域被称为“仿射变化”，因此，将进行仿射变化的处理实现为Affine层。
• 几何中，仿射变换包括一次线性变换和一次平移，分别对应神经网络的加权和运算和加偏置运算。

1).计算图：

• 单个数据的Affine层：
  

• 批版本的Affine层：
  

2).实现：

·未考虑输入张量的情况：

import numpy as np


class Affine:
    def __init__(self, W, b):
        self.W = W
        self.b = b
        self.x = None
        self.dw = None
        self.db = None

    # 正向传播
    def forward(self, x):
        self.x = x
        out = np.dot(self.x, self.W) + self.b
        return out

    # 反向传播
    def backward(self, dout):
        dx = np.dot(dout, self.W.T)
        self.dw = np.dot(self.x.T, dout)
        self.db = np.sum(dout, axis=0)
        return dx

·考虑输入张量的情况 (张量就是多维数据)

import numpy as np


class Affine:
    def __init__(self, W, b):
        self.W = W
        self.b = b

        self.x = None
        self.original_x_shape = None
        # 权重和偏置参数的导数
        self.dW = None
        self.db = None

    def forward(self, x):
        # 对应张量
        self.original_x_shape = x.shape  # 例如：x.shape=(209, 64, 64, 3)
        x = x.reshape(x.shape[0], -1)  # x=(209, 64*64*3)
        self.x = x

        out = np.dot(self.x, self.W) + self.b

        return out

    def backward(self, dout):
        dx = np.dot(dout, self.W.T)
        self.dW = np.dot(self.x.T, dout)
        self.db = np.sum(dout, axis=0)

        dx = dx.reshape(*self.original_x_shape)  # 还原输入数据的形状（对应张量）
        return dx

4.Softmax-with-Loss层

• 神经网络中进行的处理有推理和学习两个阶段，推理阶段通常不适用softmax层，学习阶段需要使用softmax层。

1).计算图：

2).实现：

import numpy as np


class SoftmaxWithLoss:
    def __init__(self):
        self.loss = None  # 损失
        self.y = None  # softmax的输出
        self.t = None  # 监督数据(one_hot vector)

    # 输出层函数：softmax
    def softmax(x):
        if x.ndim == 2:
            x = x.T
            x = x - np.max(x, axis=0)
            y = np.exp(x) / np.sum(np.exp(x), axis=0)
            return y.T

        x = x - np.max(x)  # 溢出对策
        return np.exp(x) / np.sum(np.exp(x))

    # 交叉熵误差
    def cross_entropy_error(y, t):
        if y.ndim == 1:
            t = t.reshape(1, t.size)
            y = y.reshape(1, y.size)

        # 监督数据是one-hot-vector的情况下，转换为正确解标签的索引
        if t.size == y.size:
            t = t.argmax(axis=1)

        batch_size = y.shape[0]
        return -np.sum(np.log(y[np.arange(batch_size), t] + 1e-7)) / batch_size

    # 正向传播
    def forward(self, x, t):
        self.t = t
        self.y = self.softmax(x)
        self.loss = self.cross_entropy_error(self.y, self.t)
        return self.loss

    # 反向传播
    def backward(self, dout=1):
        batch_size = self.t.shape[0]
        if self.t.size == self.y.size:  # 监督数据是one-hot-vector的情况
            dx = (self.y - self.t) / batch_size
        else:
            dx = self.y.copy()
            dx[np.arange(batch_size), self.t] -= 1
            dx = dx / batch_size

        return dx