蓝桥杯刷题023——机器人塔（DFS）

news2024/11/26 8:47:24

2016国赛

题目描述

X 星球的机器人表演拉拉队有两种服装，A 和 B。

他们这次表演的是搭机器人塔。

类似：

A

B B

A B A

A A B B

B B B A B

A B A B B A

队内的组塔规则是：

A 只能站在 AA 或 BB 的肩上。

B 只能站在 AB 或 BA 的肩上。

你的任务是帮助拉拉队计算一下，在给定 A 与 B 的人数时，可以组成多少种花样的塔。

输入描述

输入一行两个整数 M,N（0<M,N≤50）,分别表示 A、B 的人数，保证人数合理性。

输出描述

要求输出一个整数，表示可以产生的花样种数。

输入输出样例

输入
1 2
输出
3

题目大意

给出A,B两类机器人，让它们按—定规则堆成三角形塔，问可堆成的方案数
规则:

A只能放在AA，BB上B只能放在AB，BA上

思考：如何确定每一个方案

问题转换成：确定第一层（最下一层）的A，B分布情况即可

因为第一行确定了，第二次也随之确定（根据组塔规则），以此类推，所有的机器人的位置都是确定的。

机器人的层数由机器人数量决定， $1+2+3+...+n=\frac{n(1+n)}{2}\leq 100$ ，n最大可取到13，所以最多13层。一个位置可以放A和B两种，所以第一层最多能放 $2^n=2^{13}\approx 10^4$ 种，这个计算量不高。

A，B两个状态的表示

二进制法:
用0表示A，用1表示B
从最后一层向上递推的过程:

递推的结果符合异或运算的性质

解题思路:二进制枚举+异或运算递推

1、根据输入的A，B机器人数推算层数n： $N+M\rightarrow n$
2、二进制法求底层AB的所有情况
3、对于每个底层，利用异或运算（^）不断向上递推，递推过程中根据二进制数0，1统计A,B机器人剩余未使用的个数
4、如果A,B剩余未使用的个数出现负数，或者到达最顶层时A、B机器人个数不全为0，那么这个方案无效
5、统计所有有效的方案数，即为结果

代码：

d = {}                      # 存机器人数和层数
base = 0
for i in range(1, 20):
    base += i               # 机器人数
    d[base] = i
M, N = map(int, input().split())
level = d[M + N]            # 根据机器人数算出有多少层

def dfs(cur, clv, m, n):  # cur:当前情况，clv：当前层数（最底层的机器人个数），m：剩余A的人数，n：剩余B的人数
    if m < 0 or n < 0:    # 排除出现负数的情况
        return False
    if clv == 0:          # 层数为0
        return m == n == 0
    cb = bin(cur)[2:].count('1')  # 转为二进制：0bxxxx（字符串），统计1的个数count('1')
    ca = clv - cb        # 不直接统计0的个数，因为例如001010最前面的两个0没办法计入
    m -= ca; n -= cb
    up = (cur ^ (cur >> 1)) & ((1 << (clv - 1)) - 1)  # 计算出上一层的情况
    return dfs(up, clv - 1, m, n)        # 搜索上一层（层数-1）

res = 0
for case in range(1 << level):    # 遍历2^n种情况
    if dfs(case, level, M, N):
        res += 1
print(res)