((蓝桥杯 刷题全集)【备战(蓝桥杯)算法竞赛-第6天(动态规划 专题)】( 从头开始重新做题，记录备战竞赛路上的每一道题 )距离蓝桥杯还有61天

news2024/11/29 0:50:43

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蓝桥杯系列，为大家提供

  1. 做题全集，备战蓝桥杯，就做这个系列的题即可
  2. 一个大概的做题规划——大家最好在此基础上提前两个月准备

备战蓝桥杯就刷这些题
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第二天博客链接 - 基础算法 -下 + 数据结构专题
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蓝桥杯 刷题全集

  • 一、背包问题
          • ★f[i][j] 背包容量为j，前i个物品的最大价值
        • 1. 01背包问题(不需要初始化) ✔1.6 ✔1.7
        • 2. 完全背包问题 ✔1.6
            • 一、朴素做法
            • 二、二维数组的优化(需要判断j是否大于v[i])
            • 三、一维数组的优化
        • 3. 多重背包问题 I ✔1.6
        • 4. 多重背包问题 II ✔1.6
            • s 分解成 哪些数 可以加和表示 1-s
        • 5. 分组背包问题 ✔1.6
  • 二、线性DP
        • 1. 数字三角形 ✔1.6
        • 2. 最长上升子序列
            • ★双重循环(子序列不一定连续)
        • 3. 最长上升子序列 II ✔1.6
            • ★f[i] 存储 最长上升子序列的 示范串
            • ★ 二分 + dp优化
        • 4. 最长公共子序列 ✔1.6
            • ★f[i][j]表示a的前i个字母，和b的前j个字母的最长公共子序列长度
            • 思路 (在推导示例时，可以总结出)
        • 5. 最短编辑距离 ✔1.6
            • ★f[i][j] 所有把a中的前i个字母 变成 b中前j个字母的集合的操作集合
            • 做题总结：f[i-1][j] 到 f的距离 和 f[i][j-1] 到f的距离差很远
        • 6. 编辑距离
            • ★f[i][j] 所有把a中的前i个字母 变成 b中前j个字母的集合的操作集合
  • 三、区间dp
      • 1. 石子合并
        • ★f[i][j]表示将 i 到 j 合并的最小值
            • 区间dp的套路
  • 四、计数类DP
      • ★1. 整数划分
        • ★f[i][j] 表示 背包为j的 前i个物品 的方案数
          • f[i][0] 是1

一、背包问题

★f[i][j] 背包容量为j，前i个物品的最大价值

1. 01背包问题(不需要初始化) ✔1.6 ✔1.7

原题链接

f[i][j]怎么想出来
在j体积下 前i个物品的最大价值

一、为什么要从0到v把背包中各种体积下的情况都存储下来呢？（算法理解）
因为我们需要回溯

二、但我们选i的时候，需要明白两件事
选不选第i件物品的判断依据

  1. 当 背包中限定的体积，小于v【i】一定不能选
  2. 当 背包中限定的体积可以装下v[i]时，那么我们就需要知道，到底装下这个价值大，还是不装下这个价值大
    装下的价值 = f[i-1][j-v[i]] + w[i]
    不装下的价值 = f[i-1][j]；

总结：深刻记住 f[i][j] 表示 在j体积中前i个物品下的最大价值

二维

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int MAXN = 1005;
int v[MAXN];    // 体积
int w[MAXN];    // 价值 
int f[MAXN][MAXN];  // f[i][j], j体积下前i个物品的最大价值 

int main() 
{
    int n, m;   
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i++) 
        cin >> v[i] >> w[i];

    for(int i = 1; i <= n; i++) 
        for(int j = 1; j <= m; j++)
        {
            //  当前背包容量装不进第i个物品，则价值等于前i-1个物品
            if(j < v[i]) 
                f[i][j] = f[i - 1][j];
            // 能装，需进行决策是否选择第i个物品
            else    
                f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
        }           

    cout << f[n][m] << endl;

    return 0;
}

一维

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N];

int main() {
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i];
    for(int i = 1; i <= n; i++) 
        for(int j = m; j >= v[i]; j--) 
            f[j] = max(f[j], f[j-v[i]]+w[i]);
    cout << f[m] << endl;
 return 0;    
}

2. 完全背包问题 ✔1.6

原题链接在这里插入图片描述

一、朴素做法
#include<iostream>
using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m;
int dp[N][N], v[N], w[N];

int main(){
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i ++ )
        cin >> v[i] >> w[i];

    for(int i = 1; i <= n; i ++ )
        for(int j = 0; j <= m; j ++ )
            for(int k = 0; k * v[i] <= j; k ++ )
                dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][j - k * v[i]] + k * w[i]);
    cout << dp[n][m] << endl;
}
二、二维数组的优化(需要判断j是否大于v[i])
#include<iostream>

using namespace std;

const int N = 1010;

int f[N][N];
int n,m;
int w[N],v[N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    
    for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i];
    
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= m; j++)
            if(j<v[i])
                f[i][j] = f[i-1][j];
            else
                f[i][j] = max(f[i-1][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);
            
    cout << f[n][m];
    
    return 0;
}
三、一维数组的优化
#include<iostream>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n,m;
int f[N];
int v[N],w[N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    
    for(int i = 1; i <= n; i++)cin >> v[i] >> w[i];
    
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = v[i]; j <= m; j++)
            f[j] = max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
    
    cout << f[m];
    
    return 0;
}

二维

#include<iostream>

using namespace std;

const int N = 1010;
int f[N][N];
int w[N];
int v[N];
int n,m;

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cin >> v[i] >> w[i];
    }
    
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for(int j = 1; j <= m; j++)
        {
            if(j < v[i])
                f[i][j] = f[i-1][j];
            else
                f[i][j] = max(f[i-1][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);
        }
    }
    cout << f[n][m];
    
    return 0;
}

一维

#include<iostream>

using namespace std;

const int N = 1010;
int f[N];
int w[N];
int v[N];
int n,m;

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cin >> v[i] >> w[i];
    }
    
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for(int j = v[i]; j <= m; j++)
        {
           f[j] = max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
        }
    }
    cout << f[m];
    
    return 0;
}

怎么由二维变成一维
看更新f[i][j] 需要的是本行数据还是上行数据

3. 多重背包问题 I ✔1.6

原题链接
三重循环(针对的是f[i][j]处理)
★不需要处理j不够的情况

#include<iostream>

using namespace std;

const int N = 110;

int f[N][N],w[N],v[N],s[N];
int n,m;

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        cin >> v[i] >> w[i] >> s[i];
        
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for(int j = 1; j <= m; j++)
        {
            for(int k = 0; k <= s[i]; k++)
            {
                if(j>=k*v[i])
                    f[i][j] = max(f[i][j],f[i-1][j-k*v[i]] + k*w[i]);
            }
        }
    }
    
    cout << f[n][m];
        
    return 0;
}

4. 多重背包问题 II ✔1.6

s 分解成 哪些数 可以加和表示 1-s

原题链接

#include<iostream>

using namespace std;

const int N = 2*1e6+10;

int f[N],v[N],w[N],s,cnt;
int n,m;

int main()
{
    cin >> n >> m;
    int vv,ww;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cin >> vv >> ww >> s;
        
        int k = 1;
        while(k <= s)
        {
            v[++cnt] = k*vv;
            w[cnt] = k*ww;
            s -= k;
            k = 2*k;
        }
        if(s)
        {
            v[++cnt] = s*vv;
            w[cnt] = s*ww;
        }
    }
    
    for(int i = 1; i <= cnt; i++)
    {
        for(int j = m; j >= v[i]; j--)
            f[j] = max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
    }
    cout << f[m];
    return 0;
}

5. 分组背包问题 ✔1.6

原题链接
二维

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=110;
int f[N][N];  //只从前i组物品中选，当前体积小于等于j的最大值
int v[N][N],w[N][N],s[N];   //v为体积，w为价值，s代表第i组物品的个数
int n,m,k;

int main(){
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>s[i];
        for(int j=1;j<=s[i];j++){
            cin>>v[i][j]>>w[i][j];  //读入
        }
    }

    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=m;j++){
            //f[i][j]=f[i-1][j];  //不选
            for(int k=0;k<=s[i];k++){
                if(j>=v[i][k])     f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-v[i][k]]+w[i][k]);  
            }
        }
    }
    cout<<f[n][m]<<endl;
}

一维

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 110;

int n, m;
int v[N][N], w[N][N], s[N];
int f[N];

int main()
{
    cin >> n >> m;

    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        cin >> s[i];
        for (int j = 0; j < s[i]; j ++ )
            cin >> v[i][j] >> w[i][j];
    }

    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = m; j >= 0; j -- )
            for (int k = 0; k < s[i]; k ++ )
                if (v[i][k] <= j)
                    f[j] = max(f[j], f[j - v[i][k]] + w[i][k]);

    cout << f[m] << endl;

    return 0;
}

二、线性DP

1. 数字三角形 ✔1.6

★f[i][j] 从下到上 走到f[i][j]的所有路径的最大值
原题链接
原题链接
在这里插入图片描述

#include<iostream>

using namespace std;

const int N = 510;

int f[N][N];

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= i; j++)
            cin >> f[i][j];
    
    for(int i = n-1; i >= 1; i--)
        for(int j = 1; j <= i; j++)
            f[i][j] += max(f[i+1][j],f[i+1][j+1]);
    
    cout << f[1][1];
    
    return 0;
}

2. 最长上升子序列

★双重循环(子序列不一定连续)

★f[i] 以第i个数结尾的 上升子序列的最大值
原题链接
原题链接
在这里插入图片描述

#include<iostream>

using namespace std;

const int N = 1010;

int a[N],f[N];

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        cin >> a[i];
        
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        f[i] = 1;
        for(int j = 1; j <= i; j++)
        {
            if(a[i] > a[j])
                f[i] = max(f[i],f[j]+1);
        }
    }
    
    int res = 0;
    
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        res = max(res,f[i]);
        
    cout << res;
    
    return 0;
}

3. 最长上升子序列 II ✔1.6

★f[i] 存储 最长上升子序列的 示范串
★ 二分 + dp优化

原题链接

#include<iostream>

using namespace std;

const int N = 100010;

int a[N],q[N];
int n;

int main()
{
    cin >> n;
    
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        cin >> a[i];
        
    int len = 1;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        int l = 1,r = len;
        int mid;
        while(l < r)
        {
            mid = (l+r)/2;
            if(q[mid] >= a[i])
                r = mid;
            else
                l = mid + 1;
        }
        len = max(r+1,len);
        q[r] = a[i];
    }
    
    cout << len-1;
}

4. 最长公共子序列 ✔1.6

★f[i][j]表示a的前i个字母，和b的前j个字母的最长公共子序列长度

原题链接

在这里插入图片描述

思路 (在推导示例时，可以总结出)
  1. f[i][j] 表示什么需要先想清楚。
    表示的是：在i，j组合的情况下，的最大子串 长度
    所以当 i，j相等时
    f[i][j] = f[i-1][j-1] + 1
    不相等的时候
    f[i][j] = max(f[i-1][j],f[i][j-1]);
#include<iostream>

using namespace std;

const int N = 1010;

int f[N][N];
int n,m;
char a[N],b[N];

int main()
{
    cin >> n >> m >> a+1 >> b+1;
    
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for(int j = 1; j <= m; j++)
        {
            if(a[i]==b[j])
                f[i][j] = f[i-1][j-1] + 1;
            else
                f[i][j] = max(f[i-1][j],f[i][j-1]);
        }
    }
    
    cout << f[n][m];
    
    return 0;
}

5. 最短编辑距离 ✔1.6

原题链接

★f[i][j] 所有把a中的前i个字母 变成 b中前j个字母的集合的操作集合
做题总结：f[i-1][j] 到 f的距离 和 f[i][j-1] 到f的距离差很远
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m;
char a[N], b[N];
int f[N][N];

int main()
{
    scanf("%d%s", &n, a + 1);
    scanf("%d%s", &m, b + 1);

    for (int i = 0; i <= m; i ++ ) f[0][i] = i;
    for (int i = 0; i <= n; i ++ ) f[i][0] = i;

    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = 1; j <= m; j ++ )
        {
            if (a[i] == b[j])
            {
                f[i][j] = f[i-1][j-1];
            }
            else
            {
                f[i][j] = min(f[i-1][j] + 1, f[i - 1][j - 1] + 1);
                f[i][j] = min(f[i][j],f[i][j-1]+1);
            }
        }

    printf("%d\n", f[n][m]);

    return 0;
}

6. 编辑距离

★f[i][j] 所有把a中的前i个字母 变成 b中前j个字母的集合的操作集合

原题链接

三、区间dp

  1. 遍历区间长度值
  2. 遍历左端点
    得到右端点
  3. 遍历左右端点之间的值

1. 石子合并

★f[i][j]表示将 i 到 j 合并的最小值

原题链接
原题链接
在这里插入图片描述

区间dp的套路
  1. 先遍历区间长度
  2. 遍历区间左端点，由左端点+区间长度 找到右端点

本题

  1. 求f[i][j] 是求从i到j 中取哪个k值使得总和最小，
    所以要遍历i到j中的 每个值（用k遍历）
#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 307;

int a[N], s[N];
int f[N][N];

int main() {
    int n;
    cin >> n;

    for (int i = 1; i <= n; i ++) {
        cin >> a[i];
        s[i] += s[i - 1] + a[i];
    }

    memset(f, 0x3f, sizeof f);
    // 区间 DP 枚举套路：长度+左端点 
    for (int len = 1; len <= n; len ++) { // len表示[i, j]的元素个数
        for (int i = 1; i + len - 1 <= n; i ++) {
            int j = i + len - 1; // 自动得到右端点
            if (len == 1) {
                f[i][j] = 0;  // 边界初始化
                continue;
            }

            for (int k = i; k <= j - 1; k ++) { // 必须满足k + 1 <= j
                f[i][j] = min(f[i][j], f[i][k] + f[k + 1][j] + s[j] - s[i - 1]);
            }
        }
    }

    cout << f[1][n] << endl;


    return 0;
}

四、计数类DP

题解

★1. 整数划分

★f[i][j] 表示 背包为j的 前i个物品 的方案数

f[i][0] 是1
#include<iostream>

using namespace std;

const int N = 1010,mol = 1e9+7;

int f[N][N];
int n;

int main()
{
    cin >> n;
    
    for(int i = 1; i <= n; i++) f[i][0] = 1;
    
    
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for(int j = 1; j <= n; j++)
        {
            f[i][j] = f[i-1][j] % mol;
            if(j >= i)
                f[i][j] = (f[i-1][j] + f[i][j-i])% mol; 
        }
    }
    
    cout << f[n][n];
}

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