威布尔分布及其性质

威布尔分布，即Weibull distribution，又被译为韦伯分布、韦布尔分布等，是仅分布在正半轴的连续分布。

在numpy.random中，提供了按照威布尔分布生成的随机数生成器，并且提供了与威布尔分布关系密切的瑞利分布、指数分布以及拉普拉斯分布，列表如下

函数		概率密度表达式
weibull(a[,scale])	威布尔分布	$p(x)=\frac{a}{\lambda }(\frac{x}{\lambda }{)}^{a-1}{e}^{-(x/\lambda {)}^a}$
rayleigh([scale])	瑞利分布	$p(x)=\frac{x}{{\lambda }^2}\exp [\frac{-x^2}{2{\lambda }^2}]$
exponential([scale])	指数分布	$f(x)=\frac{1}{\lambda }\exp -\frac{x}{\lambda }$
laplace([loc, scale])	拉普拉斯分布	$f(x)=\frac{1}{2\lambda }\exp [-\frac{|x-\mu |}{\lambda }]$

上表中，概率密度表达式中的$\lambda$即为函数中的scale，$\mu$对应函数参数中的loc。

根据概率密度表达式，可以发现，当$a=2$时，威布尔分布变为瑞利分布；当$a=1$时，变为指数分布。

若将指数分布的中心移动到$\mu$，同时延展到整个坐标轴，那么就会变成Laplace分布。

威布尔分布具有如下性质：

其均值为

$$E=\lambda \Gamma (1+\frac{1}{a})$$

方差为

$$S^2={\lambda }^2[\Gamma (1+\frac{2}{a})-\Gamma (1+\frac{1}{a}{)}^2]$$

偏度为

$$\frac{2\Gamma (1+\frac{1}{a}{)}^3-3\Gamma (1+\frac{2}{a})\Gamma (1+\frac{1}{a})+\Gamma (1+\frac{3}{ai=})}{[\Gamma (1+\frac{2}{a})-\Gamma (1+\frac{1}{a}{)}^2{]}^{3/2}}$$

峰度为

$$\frac{-3\Gamma (1+\frac{1}{a}{)}^4+6\Gamma (1+\frac{2}{a})\Gamma (1+\frac{1}{a}{)}^2-4\Gamma (1+\frac{3}{a})\Gamma (1+\frac{1}{a})+\Gamma (1+\frac{4}{a})}{[\Gamma (1+\frac{2}{a})-\Gamma (1+\frac{1}{a}{)}^2{]}^2}$$

在Python中生成威布尔分布的随机数

接下来生成不同a值时的威布尔分布，

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

fig = plt.figure("Weibull Distribution")
for i in range(1,5):
    ax = fig.add_subplot(2,2,i)
    xs = np.random.weibull(i,size=1000)
    ax.set_title(f"a={i}")
    plt.hist(xs,100)

plt.show()

可以看到，随着$a$不断变大，威布尔分布逐渐向右移动。

指数分布和拉普拉斯分布的对比

接下来对比一下指数分布和拉普拉斯分布

fig = plt.figure()

xs1 = np.random.exponential(1, size=1000)
xs2 = np.random.laplace(0, 1, size=1000)
ax1 = fig.add_subplot(1,2,1)
ax1.hist(xs1, 100)
ax1.set_title("exponential")

ax2 = fig.add_subplot(1,2,2)
ax2.hist(xs2, 100)
ax2.set_title("laplace")
plt.show()

效果为