17089 最大m子段和

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题型: 编程题语言: G++;GCC;VC;JAVA

Description

“最大m子段和”问题：给定由n个整数（可能为负）组成的序列a1、a2、a3、…、an，以及一个正整数m，
要求确定序列的m个不相交子段，使这m个子段的总和最大！

m是子段的个数。当m个子段的每个子段和都是负值时，定义m子段和为0。

输入格式

第一行：n和m；（n,m<10000）
第二行：n个元素序列，中间都是空格相连。

比如：
6 3
2 3 -7 6 4 -5

输出格式

输出最大m子段和。

比如：
15

这15可由这三个段之和来的：（2 3） -7 （6）（4） -5

输入样例

6 3
2 3 -7 6 4 -5

输出样例

解题思路

1. dp 方程定义

定义二维数组 dp， dp[ i ][ j ]，表示前 j 项所构成 i 子段的最大和，且必须包含着第 j 项，即以第 j 项结尾

2. 状态转移方程

求 dp[ i ][ j ]，有两种情况

dp[ i ][ j ] = dp[ i ] [ j-1 ] + a[ j ] ，即把第 j 项融合到第 j-1 项的子段中，子段数没变（即跟前面连成一段，一般发生于前面的数是正数时）；
dp[ i ][ j ] = dp[ i-1 ] [ k ] + a[ j ]，（i-1<= k < j ），把第 j 项作为单独的一个子段，然后找一下 i - 1 个子段时，最大的和，然后加上a[ j ]

对于第二点，思考方式可以是如下图：当你遍历到6这个元素时，很明显不能选择前面的元素（因为是负的），那么就选择其他（尽量正数），于是目光自然就看到了前面那一份 2 + 3 = 5。
而 k 的取值范围又如何解释呢：

大于等于 i - 1 ，是因为 i - 1 个数字最多只能被分为 i - 1 份，即每份一个数字；
而小于 j 即最多可以选择到第 j - 1 个数字，是因为当你在抉择第 j 个数字如何划分范围时，前面只有 j - 1 个数字给你划分，范围怎么可能能跑到 j 自己及后面去。

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然后比较上面两种情况，取大的即可。

下面看图，红色数字为输入的序列：

动态规划，借助矩阵可以直观的看到计算过程。
如图，要求dp[ 3 ][ 6 ]，只需比较 他左边的那个，和上面那一行圈起来的之中 最大的数（i-1 <= t <= j），
再加上 a[ j ] 即为 dp[ 3 ][ 6 ] 的值。

3. 算法解题思路

初始化 dp 数组，前 0 个数字划分为任意份肯定都为0：dp[i][0] = 0; 任意个数字划分为0份肯定也为0；n 个数字肯定无法划分为 n - 1 份，最多 n 份即每份一个数字：dp[i][i - 1] = -INF（赋值为最小数即可）。
外面双层循环，第一层 i 是记录划分到第几份，第二层 j 是记录到是把前 j 个数字划分为 i 份。
在每次划分时，都要去上一份那里去寻找最大值，看看上一份中使用哪几个数字能划分成最大值 maxNum，再跟当前份数的前一个数字来比较：dp[i][j - 1]，看看第 j 个数到底是继续划分到前一个数字后面，还是说单独开一份。
那么 dp[i][j] 就等于第三个步骤中大的那个，再加上当前数字的大小，即为最大和。
最后，也就是最关键的地方，输出的找法，不是单纯的 dp[m][n]，因为最大m字段和不一定包括全部数，可以舍弃掉一些数比如负数，见如下：

在划分为 m 份时进行寻找，看看使用前几个数字可以找到最大字段和，比如说 5 6 7 -1 2 -8 -9，最大字段和肯定不可能把最后两位划分进去，所以代码应为如下

    // 找划分成 m 份时，究竟前几个数字才能凑成最大字段和
    int res = -INF;
    // 由于是划分为 m 份，所以数字至少得 m 个才能，总不可能2个数字划分成3份吧
    for(i = m; i <= n; i++) {
        res = max(res, dp[m][i]); 
    }

4. 可优化点

沿着第 m 行的最后一个元素，往左上方向画一条线，线右上方的元素是没必要计算的
那么 dp[ i ][ j ] ，j++ 的时候，j 的上限为 i + n - m 即可。
还有左下角那一半矩阵，也是不用计算的，因为1个数字不可能分为2个子段
每确定一个 dp[ i ][ j ]，只需用到本行和上一行，所以不用开维数组也可以，省内存。
开两个一维数组，pre 和 dp，pre 记录上一行，dp 记录当前行
再对上一行红圈中的数字找最大值时，若用一个循环来找，容易超时。所以优化方法是：在每次计算 dp 之前，同时记录下j前面的最大元素。

时间复杂度大致为O(m*(n-m+1))，mn-m方

通过图片，分析情况1和2，就能发现，从左上角走到第 m 行的最后一个元素即可，找出第 m 行的最大值即为答案。

更多注释可查看下方的完整代码中，有助于理解

代码如下

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <string.h>
#include <algorithm>
/*
6 3
2 3 -7 6 4 -5

7 7
-2 11 -4 13 -5 6 -2
*/

using namespace std;

const int INF=0x3f3f3f3f;

int a[10001];
int dp[10001][10001]; // dp[i][j]，表示前 j 项所构成 i 子段的最大和，且必须包含着第j项，即以第j项结尾

int main()
{
    // 此题为求最大上升子序列的变种，是求多个
    int i, j, k, n, m;
    cin >> n >> m;

    for(i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i];
    }

    for(i = 1; i <= n; i++) {
        dp[i][0] = 0;
        dp[0][i] = 0;
        dp[i][i - 1] = -INF; // 每一行开头，即 n 个数字想分成 n - 1 份是不可能，赋值为最小数即可
    }

    // 分成 i 段时
    for(i = 1; i <= m; i++) {
        // 前 j 个数
        for(j = i; j <= n; j++) {
            int maxNum = -INF;
            // 去上一行找最大值，索引结束于 j - 1 之前
            for(k = i - 1; k < j; k++) {
                if(dp[i - 1][k] > maxNum) {
                    maxNum = dp[i - 1][k];
                }
            }
            dp[i][j] = max(dp[i][j - 1], maxNum) + a[j];
        }
    }

    // 找划分成 m 份时，究竟几个数字才是最好的
    int res = -INF;
    // 由于是划分为 m 份，所以数字至少得 m 个才能，总不可能2个数字划分成3份吧
    for(i = m; i <= n; i++) {
        res = max(res, dp[m][i]);
    }

    cout << res << endl;

    return 0;
}

优化后代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;  
typedef long long ll;
const int N=1e6+5; 
const int INF=0x3f3f3f3f;
int n,m;
ll a[N],dp[2][N];   //只保存上一行和当前行 
int main()  
{
    while(~scanf("%d%d",&n,&m))   //n个数字，m子段和 
    { 
        for(int i=1;i<=n;i++) 
			scanf("%lld",a+i);  
		for(int i=0;i<=n;i++)
			dp[0][i]=0,dp[1][i]=0;    //关键！此题答案只允许正值
		
        for(int i=1,k=1;i<=m;i++,k^=1)    //分为i段，k为两行之间的切换
        {
        	dp[k][i-1]=-INF;   //i==j时，杜绝与前一元素共伍
            ll maxpre=-INF;    //maxpre记录上一行的最大值
            for(int j=i;j<=n-m+i;j++)
            {
                maxpre=max(maxpre,dp[k^1][j-1]);     //随时更新上一行最大值
                dp[k][j]=max(dp[k][j-1],maxpre)+a[j]; //*对情况1、2的选择
            }
        }
        ll ans=-INF;
        for(int i=m;i<=n;i++)   //找到第m行的最大值，即为答案
                ans=max(ans,dp[m&1][i]);
        printf("%lld\n",ans);
    }  
}