2.5、信道的极限容量！

2.5.1、因素影响

由于信号在传输过程中会受到各种因素的影响

例如：这是一个数字信号

• 当它通过实际的信道后，波形会产生失真。

• 失真不严重时，在输出端还可根据已失真的波形还原出发送的码元

  

• 当失真严重时，在输出端就很难判断这个信号在什么时候是 $0$ 和在什么时候是 $1$

  $信号波形失去了码元之间的清晰界限$，这种现象叫做码间串扰

  

产生失真的因素

• 码元传输速率、信号传输距离、噪声干扰、传输媒体质量等

  

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2.5.2、奈氏准则

早在 $1924$ 年，奈奎斯特就推出了著名的奈氏准则

奈氏准则

• 在假定的理想条件下，$为了避免码间串扰，码元传输速率是有上限的$。

理想低通信道的最高码元传输速率 $=2WBaud=2W$ $码元/s$

• 理想低通信道：就是信号的所有低频分量，只要其频率不超过某个上限值，都能够不失真地通过此信道。

理想带通信道的最高码元传输速率 $=WBaud=W$ $码元/s$

• 理想带通信道：带宽是否小于可通过最低频率，是得话就是带通。否则就是低通

• $码元传输速率$又称为波特率、调制速率、波形速率或符号速率。它与比特率有一定关系

  • 当 $1$ 个码元只携带 $1$ 比特的信息量时，则波特率（码元/秒）与比特率（比特/秒）在数值上是相等的;

  • 当 $1$ 个码元携带 $n$ 比特的信息量时，则波特率转换成比特率时，数值要乘以 $n$。

• $要提高信息传输速率（比特率)，就必须设法使每一个码元能携带更多个比特的信息量$。这需要采用多元制

• 实际的信道所能传输的最高码元速率，要明显低于奈氏准则给出的这个上限数值。

  • 这是因为奈氏准则是在假定的理想条件下推导出来的。
  • 它不考虑其它因素：例如：传输距离，噪声干扰，传输媒体质量等

若从公式来看

• 只要采用更好的调制方法，让码元可以携带更多的比特，岂不是可以无限制地提高信息的传输速率?
  • 答案是否定的。
• 因为信道的极限信息传输速率还要受限于实际的信号在信道中传输时的信噪比。噪声也会影响接收端对码元的识别
• 并且噪声功率相信号率越大。影响就越大。

2.5.3、香农公式

香农公式

• 带宽受限且有高斯白噪声干扰的信道的极限信息传输速率。

$c=W\times lo{g}_2(1+\frac{S}{N})$

信道带宽或信道中信噪比越大，信息的极限传输速率越高。

在实际信道上能够达到的信息传输速率要比该公式的极限传输速率低不少。

• 这是因为在实际信道中，信号还要受到其他一些损伤，
  • 如各种脉冲干扰、信号在传输中的衰减和失真等，这些因素在香农公式中并未考虑。

2.5.4、二者的意义

• 在信道带宽一定的情况下，根据奈氏准则和香农公式，要想$提高信息的传输速率$就必须采用$多元制$(更好的调制方法)和$努力提高信道中的信噪比$。

• 自从香农公式发表后，各种新的信号处理和调制方法就不断出现，其目的都是**为了尽可能地接近香农公式给出的传输速率极限。`

2.5.4、习题

解析：

• 从香农公式可知：信噪比和频率带宽都会影响信道数据传输速率。
• 从奈氏准则可知：调制速度（也就是码元传输速度）和码元携带的比特数量都会影响信道数据传输速率
• 而信道的传播速度不影响数据传输速率（影响传播时延）

答案 D

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解析：

• (1) 根据奈氏准则可知：

  • 该通信链路的最高码元传输速率 $=2\times 3k=6k(Baud)=6k(码元/秒)$

• (2) 采用 $4$ 个相位，每个相位 $4$ 种振幅的 QAM 技术，可以调制出 $4\times 4=16$ 个不同的基本波形（码元）

  采用二进制对 $16$ 个不同的码元进行编码：0000 ~ 1111，$2^4=16$ 。

  每个码元可以携带的信息量为 $4$ 比特

• 综合 (1) 和 (2) 可知:

  • 该通信链路的最大数据传输速率 $=6k(码元/秒)\times 4（比特/码元）=24kbp/s$

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解析：

• （1）由于采用 $4$ 相位调制，采用二进制对 $4$ 个不同的码元进行编码，

  每个码元可以携带 $2$ 比特，$2^2=4$

• 数据传输速率 = 波特率(码元传输速率) $\times$ 每个码元所携带的信息量

  波特率 $=\frac{2400(比特/s)}{2(比特/码元)}=1200Baud$

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解析：

• 理论最大速率 $c=8k\times lo{g}_2（1+S/N）$

• $30（dB）=10\times lo{g}_{10}(\frac{S}{N})（dB）$

  解得：$S/N = 1000 $

• $c=8k\times lo{g}_2(1+1000)\approx 80kpbs$

• 该链路的实际传输速率 $c\times 50\%=40kpbs$

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解析：

• 设信号状态数（可调制出的不同基本波形或码元数量）为 $X$

  则每个码元可携带的比特数量为 $lo{g}_{2}X$

• 信道在无噪声情况下的极限数据传输速率(用奈氏准则计算)=

  $2W(码元/秒)=2Wlo{g}_{2}X(比特/秒)$ ①

• $30dB$ 信噪比条件下的极限数据传输速率(用香农公式计算) =

  $ W log_2(1 + 1000)(比特/秒)$ ②

• ① $\ge$ ② 求解得出 $X\ge 32$