理解齐次坐标系下的变换矩阵

1 引言

在计算机图形学、计算机视觉和机器人学等领域，齐次坐标系是一个极其重要的数学工具。它不仅能够统一表示平移、旋转、缩放等变换，还能够处理投影变换，使得各种几何变换可以通过矩阵乘法优雅地表示和计算。本文将深入介绍齐次坐标系的概念以及在此基础上的变换矩阵。

2 齐次坐标系的简要介绍

关于齐次坐标系及其作用的介绍，可以参考我的这一篇文章：齐次坐标系统：什么是齐次坐标？为什么要引入齐次坐标？。

2.1 齐次坐标系的定义

齐次坐标系是将n维空间映射到n+1维空间的一种方法：

• 二维空间中的点$(x,y)$在齐次坐标系中表示为$(x,y,w)$，其中$w\ne 0$，对应的笛卡尔坐标为$(x/w,y/w)$
• 三维空间中的点$(x,y,z)$在齐次坐标系中表示为$(x,y,z,w)$，其中$w\ne 0$，对应的笛卡尔坐标为$(x/w,y/w,z/w)$

通常，我们令$w=1$，即二维点表示为$(x,y,1)$，三维点表示为$(x,y,z,1)$。

2.2 为什么需要齐次坐标系？

在传统的笛卡尔坐标系中，我们用$(x,y)$表示二维平面上的点，用$(x,y,z)$表示三维空间中的点。然而，当我们需要表示平移变换时，会遇到一个问题：平移不能用线性变换（即矩阵乘法）表示。

例如，在二维空间中，点$(x,y)$沿向量$(t_x,t_y)$平移后的坐标为：
$$\begin{gathered} x^{\prime }=x+t_x \\ {y}^{\prime }=y+t_y \end{gathered}$$

这个变换包含加法操作，无法用矩阵乘法表示。为了解决这个问题，齐次坐标系应运而生。

2.3 齐次坐标系的特殊性质

2.3.1 点和向量的区分

在齐次坐标系中，点和向量可以明确区分：

• 点：$(x,y,z,1)$
• 向量：$(x,y,z,0)$

这种区分在几何计算中非常有用，因为点可以平移，而向量只能旋转和缩放。

2.3.2 投影变换

齐次坐标系最强大的特性之一是能够表示投影变换。通过适当设置$4\times 4$矩阵，我们可以实现透视投影、正交投影等。

例如，一个简单的透视投影矩阵可以表示为：
$$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& -1/d& 0\end{array}\right)$$
其中d是视点到投影平面的距离。

3 齐次坐标系下的变换矩阵

注：这些变换矩阵的使用方式（对应的矩阵乘法）如下：

以在二维空间中，逆时针旋转θ角度的旋转矩阵为例：

$$R(\theta )=\left(\begin{array}{ccc}\cos (\theta )& -\sin (\theta )& 0\\ \sin (\theta )& \cos (\theta )& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$

对于点 $P=(x,y,1{)}^T$，旋转后的点 $P^{\prime }$ 可以通过以下矩阵乘法计算（注意此时的$P$矩阵是列向量）：

$$P^{\prime }=R(\theta )\cdot P=\left(\begin{array}{ccc}\cos (\theta )& -\sin (\theta )& 0\\ \sin (\theta )& \cos (\theta )& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x\cos (\theta )-y\sin (\theta )\\ x\sin (\theta )+y\cos (\theta )\\ 1\end{array}\right)$$

也可以写成（注意此时的$P$矩阵是列向量(x, y, 1)）：

$$P^{\prime }=P\cdot R(\theta )=\left(\begin{array}{ccc}x& y& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}\cos (\theta )& \sin (\theta )& 0\\ -\sin (\theta )& \cos (\theta )& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}x\cos (\theta )-y\sin (\theta )& x\sin (\theta )+y\cos (\theta )& 1\end{array}\right)$$

下文中的变换矩阵均以前一种方法（即表示点的坐标的$P$矩阵是行向量，与变换矩阵依次左乘）为例。如果采用后一种方法，即表示点的坐标的$P$矩阵是列向量，那么变换矩阵应该转置，并且这个表示点的坐标的列向量$P$矩阵与变换矩阵应依次右乘。

3.1 二维变换矩阵

在二维齐次坐标系下，变换矩阵是$3\times 3$的：

平移变换

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 0& t_x\\ 0& 1& t_y\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$

缩放变换

$$\left(\begin{array}{ccc}{s}_x& 0& 0\\ 0& s_y& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$

旋转变换（逆时针旋转θ角度）

$$\left(\begin{array}{ccc}\cos (\theta )& -\sin (\theta )& 0\\ \sin (\theta )& \cos (\theta )& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$

复合变换

多个变换可以通过矩阵乘法组合在一起。例如，先旋转后平移的变换矩阵为：
$$\left(\begin{array}{ccc}1& 0& t_x\\ 0& 1& t_y\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{ccc}\cos (\theta )& -\sin (\theta )& 0\\ \sin (\theta )& \cos (\theta )& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\cos (\theta )& -\sin (\theta )& t_x\\ \sin (\theta )& \cos (\theta )& t_y\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$

3.2 三维变换矩阵

在三维齐次坐标系下，变换矩阵是$4\times 4$的：

平移变换

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& t_x\\ 0& 1& 0& t_y\\ 0& 0& 1& t_z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$$

缩放变换

$$\left(\begin{array}{cccc}{s}_x& 0& 0& 0\\ 0& s_y& 0& 0\\ 0& 0& s_z& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$$

绕X轴旋转

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& \cos (\theta )& -\sin (\theta )& 0\\ 0& \sin (\theta )& \cos (\theta )& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$$

绕Y轴旋转

$$\left(\begin{array}{cccc}\cos (\theta )& 0& \sin (\theta )& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ -\sin (\theta )& 0& \cos (\theta )& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$$

绕Z轴旋转

$$\left(\begin{array}{cccc}\cos (\theta )& -\sin (\theta )& 0& 0\\ \sin (\theta )& \cos (\theta )& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$$

4 齐次坐标系下的变换矩阵的实际应用示例

下面是一个使用Python和NumPy实现齐次坐标变换的简单示例：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义一个2D点
point = np.array([1, 2, 1])  # 齐次坐标 (x, y, 1)

# 定义变换矩阵
# 1. 平移变换 (x+2, y+3)
translation = np.array([
    [1, 0, 2],
    [0, 1, 3],
    [0, 0, 1]
])

# 2. 旋转变换 (45度)
theta = np.radians(45)
rotation = np.array([
    [np.cos(theta), -np.sin(theta), 0],
    [np.sin(theta), np.cos(theta), 0],
    [0, 0, 1]
])

# 3. 缩放变换 (x*2, y*2)
scaling = np.array([
    [2, 0, 0],
    [0, 2, 0],
    [0, 0, 1]
])

# 应用变换
translated_point = translation.dot(point)
rotated_point = rotation.dot(point)
scaled_point = scaling.dot(point)

# 组合变换 (先旋转，再平移)
combined = translation.dot(rotation)
combined_point = combined.dot(point)

# 打印结果
print(f"原始点: ({point[0]}, {point[1]})")
print(f"平移后: ({translated_point[0]}, {translated_point[1]})")
print(f"旋转后: ({rotated_point[0]:.2f}, {rotated_point[1]:.2f})")
print(f"缩放后: ({scaled_point[0]}, {scaled_point[1]})")
print(f"组合变换后: ({combined_point[0]:.2f}, {combined_point[1]:.2f})")

5 总结

齐次坐标系是计算机图形学中的基础工具，它通过增加一个维度，使得各种变换（包括平移、旋转、缩放和投影）都可以用矩阵乘法统一表示。这种表示方法不仅数学上优雅，而且在计算上高效，特别是在需要连续应用多种变换的场景中。

理解齐次坐标系及其变换矩阵，对于从事计算机图形学、计算机视觉、机器人学等领域的开发和研究工作至关重要。通过本文的介绍，希望读者能够掌握这一强大工具的基本原理和应用方法。

参考文献

1. Foley, J. D., Van Dam, A., Feiner, S. K., & Hughes, J. F. (1995). Computer Graphics: Principles and Practice. Addison-Wesley.
2. Shirley, P., & Marschner, S. (2009). Fundamentals of Computer Graphics. A K Peters/CRC Press.
3. Craig, J. J. (2004). Introduction to Robotics: Mechanics and Control. Pearson Education.

---

如有问题或建议，欢迎在评论区留言交流！