找出只出现一次的数

对于数组中有一类题，即某些数据在数组中只出现一遍，需要我们找出，今天我们来看看这个类型的题。

引入

想必大家应该见过这么一道题：

现给定一个数组，这个数组里面只有一个数字出现一遍，其他的数据均出现两遍，请找出只出现一次的那个数字。

这种题是有很多方法做的：
1.暴力查找

直接从头开始定位，往后查找看是否有重复数据。如果有就定位下一个位置。反之返回当前的数据。这个方法很简单，也最好想。但是时间复杂度为O(N^2)，当数据个数较多时效率较低。

2.进行统计排序
在学习了八大排序算法后知道了统计排序的优势。先对数据出现次数进行统计，然后对统计数组查找个数为1的那个数据即可。但是时间复杂度为O(N)。

所以我们就在想，有没有办法，能够在线性时间复杂度的情况下还能做到常数级别的空间。
3.答案就是使用我们不太熟悉的按位异或计算

在这之前复习一下按位异或的知识点：
按位异或^，即对数据的补码进行每一个比特位异或操作。
如果该位相同，结果为0，相异为1.

所以就得到如下几个结论：

表达式	结果
0 ^ a	a
a ^ a	0
a ^ b ^ a	a ^ a ^ b

所以对于上述数组，我们可以先用一个值int ans去与数组中所有元素进行异或操作。由表格我们知道，每两个一样的数据进行异或是会变成0，而0和其他数异或结果不变。所以当我们对数组中每个数据都进行异或的时候，如果数组中只有一个元素出现一次，那么ans的值一定就是只出现一次的那个数字。

Leetcode 260

原题链接：Leetcode 260
这题改动一下，一个数组中有两个数字只出现一次，其他都是出现两次，且要求要线性时间复杂度和常数级别的空间复杂度。

那我们再来考虑一下异或的操作，定义变量int Xornum = 0，假设数组中只出现一次的数据分别是x1和x2，那么最后x的值就是x = x1 ^ x2。

现在就需要想办法将x1和x2从Xornum = x1 ^ x2中分开。

但是这个思路比较难想到，我们一起来看学习一下(我也是学习的)：

1.先找到Xornum这个数二进制序列的最低位的1
这里我们先不管原理，先就这么做，找到Xornum的最低位1。
(注意：所有的对二进制码的操作都是对数据的补码进行操作)

应该怎么找呢？
答案就是让Xornum和-Xornum这两个数据进行按位与操作，我们举个例子来看看：

以五为例子，我们知道5的最低位1就是从右往左数第一个位。通过Xornum & -Xornum的操作我们成功的找到了其最低位1，并且这个序列其他位全为0。我们设Xornum & -Xornum得到的结果放在变量int one_pos中。

但是有一件事情要注意，这个Xornum的是int类型，范围在-2³¹ ~ 2³¹ - 1间。对于1 - 2³¹ ~ 2³¹ - 1之间的数据，直接用这个方法就可以求，因为是可以找到对应的相反数的二进制序列。而对于-2³¹这个有符号整形的最小值则不能这么求。

我们之前学过，10000000是-128的补码，其实也是它的源码和反码。这是特殊情况。对于-2³¹ 来讲，10000000 00000000 00000000 00000000就是它的补码。最高位实在第一个位置的。所以对于Xornum == -2³¹ 的情况，需要特殊处理一下。

所以最后得到表达式int one_pos = (Xornum == INT_MIN) ? Xornum : Xornum & -Xornum,其中INT_MIN是有符号整形的最小值。

2.分类操作
然后就进行一个分类的操作：
我们得到了Xornum的最低位的那个1(one_pos的那个1)，而Xornum又是由x1和x2按位异或出来的。也就是说Xornum的那一位的1(假设是从右往左数第L位)，其实是由x1和x2从右往左数第L位按位异或出来的。

为了方便叙述，我们称从右往左第L位为第L位。
抑或出来为1，那么也就是说，x1的第L位和x2的第L位一定是不同的，一定是一个为0，一个为1。这还是很好理解的。

也就是说，x1和x2的第L位和one_pos的第l位的情况是：一个相同那么另外一个就不相同。

那我们就可以依次进行分类了：(以其补码第L位是否和one_pos的第L位是否相同)
对于原数组中，出现两次的那些数据，不管它们被分在哪一类，两个数字是一样的，那肯定是一类，那就放在一起。而只出现一次的两个数据一定是被分在两类的。

3.对不同分类中的数据进行异或
然后我们把不同类的中的所有数据异或起来，那么出现两次的那些数据异或后直接变成0了。那么当不同分类中的数据异或完成后，剩下的自然是只出现两次的数据了。

我们可以举一个例子看看：

这样子就很轻松的将两个只出现一次的数据分离出了。

最后来看看代码实现：

class Solution {
public:
    vector<int> singleNumber(vector<int>& nums) {
        vector<int> v(2, 0);
        int xornum = 0;
        for(int x : nums){
            xornum ^= x;
        }
        int INTMIN = (-1) * pow(2,31);
        int one_pos = (xornum == INTMIN) ? xornum :xornum & (-xornum);
        for(int x : nums){
            if(x & one_pos)
                v[0] ^= x;  
            else
                v[1] ^= x;
        }
        return v;
    }
};

Leetcode 137

原题链接：Leetcode 137

这题对于引入的例子也是修改了一点：只有一个数字出现一次，其他的会出现3次，找出只出现一次的数据，并且要求线性时间复杂度，常数级别空间复杂度。

这题我们再来延续使用以下异或的思想，我们会发现很困难。因为其他数据出现三次，而异或操作只能抵消偶数个。如果按照刚刚的思想来分类也是不太可能的，因为分类的情况下，可能出现一次的数据和出现三次的数据会被分到一块，这是很难办的。

有没有别的办法呢？
答案是有的，我们可以按位处理。

设只出现一次的数据位int ans = 0;。假设我们从低位到高位求出ans的比特位：

对于每一位，无非就是0或者1，因为只有一个数据出现一次，其他的出现三次。那么其他的数据在该位上出现的0或者1一定是3的整数倍次。

很好理解，假设数组[3, 3, 3, 4, 4, 4, 1]，假设当前求的是第一位(从右往左数)，3的第一位是1，出现三次，4的第一位是0，出现三次。很明显都是三的倍数。而1的第一位是1，出现一次。所以整个数据第一位出现1四次，出现0三次。

以此类推，我们很容易得知：对于整个数组来说，第i位出现的0和1的次数一定是一个为3的倍数，一个比3的整数倍还多一个。多出来的那一个可以用取模操作得到是什么。那么就是ans的第i为的二进制位。

而一个int类型数据也就是32个比特位，所以只需要求32次ans的对应比特位即可。这个时间复杂度是线性的。

然后就是要将二进制位依次填充到ans中：
这个应该如何操作呢？

我们是从右往左依次获取二进制位的。
我们来找一下规律：

以此类推，只需要执行上述操作32次即可。哪怕第i位是0也是执行上述操作，只不过是把0进行移位后再按位或。

所以来看看代码实现：

class Solution {
public:
    int singleNumber(vector<int>& nums) {
        //确定每一个二进制位
        int ans = 0;
        //求单独出现的数的二进制补码序列 逆序
        int i = 0;
        while(i < 32){
            int OneNum = 0;
            for(int x : nums){
                if((x >> i) % 2) ++OneNum;
            }
            OneNum %= 3;
            ans = ans | (OneNum << i); 
            ++i;
        }        
        return ans;
    }
};

这里非常巧妙的求出第i位二进制序列是1还是0。算出数组中所有数字第i位1的出现次数(Onenum)，如果是3的倍数，那么ans的这一位就是0，正好是Onenum取余3的结果。反之如果不是3的倍数，那么ans这一位就是1，也正好是Onenum取余3的结果。

至此就将这题也讲解完了。