2025年第十六届蓝桥杯省赛C++ A组真题

- - 1.说明
  - 2.题目A：寻找质数（5分）
  - 3.题目B：黑白棋（5分）
  - 4. 题目C：抽奖（10分）
  - 5. 题目D：红黑树（10分）
  - 6. 题目E：黑客（15分）
  - 7. 题目F：好串的数目（15分）
  - 8. 题目G：地雷阵（20分）
  - 9. 题目H：扫地机器人（20分）

1.说明

真题来源于十六届蓝桥杯赛后直播间，受大风天气影响的地区（北京、天津和河北）题目应该会变动，我这里参加的实际是河北C++研究生组。考虑到时间关系，将重点放在写研究生组真题上，所以C++ A组题目主要放题目资料，这里的题目要是想短时间给写出来还是太有挑战了，之后如果研究生组的题目看的差不多了再回来补一下A组题目，好像A组题目和研究生组题目难度差不多。

2.题目A：寻找质数（5分）

如果一个正整数只能被 1 和它本身两个数整除，就称为一个质数。最小的几个质数依次是 2,3,5,7,11,13,···，请问，第 2025 个质数是多少？

#include <iostream>
#include <cmath>

// 判断一个数是否为质数
bool isPrime(int num) {
    if (num < 2) return false;
    for (int i = 2; i <= std::sqrt(num); ++i) {
        if (num % i == 0) return false;
    }
    return true;
}

int main() {
    int count = 0;
    int num = 2;
    while (true) {
        if (isPrime(num)) {
            ++count;
            if (count == 2025) {
                std::cout << "第 2025 个质数是: " << num << std::endl;
                break;
            }
        }
        ++num;
    }
    return 0;
}

3.题目B：黑白棋（5分）

小蓝最近迷上了一款名为“黑白棋填充”的游戏。该游戏在一个方形网格棋盘上进行，其中部分格子已经填有黑色或白色的棋子，而其他格子为空，等待玩家填入棋子。游戏规则是，玩家需要按照以下规则填满整个棋盘，才能算作胜利：
（1）黑白棋子数量均等：在每一行和每一列中，黑色棋子和白色棋子的数量必须相等。
（2）相邻棋子限制：在棋盘的任何一行或一列中，不能有超过两个相同颜色的棋子连续排列（即不允许出现“黑黑黑”或“白白白”的情况）。
（3）行列唯一性：每一行的棋子排列方式必须是唯一的，不能与棋盘中的任何其他行完全相同。每一列的棋子排列方式必须是唯一的，不能与棋盘中的任何其他列完全相同。行与列之间的棋子排列不作比较，即行可以与列相同，无需满足行列间的唯一性。
在这里插入图片描述
提示：二进制表示法搜索剪枝。100000000000000000001000001100001111。

4. 题目C：抽奖（10分）

LQ 商场为了回馈广大用户，为在此消费的用户提供了抽奖机会：抽奖机有三个转轮，每个转轮上都分布有 n 个数字图案，标号为 1 ~ n ，按照从 1 到 n 顺序转动，当转到第 n 个图案时会从第一个继续开始。奖项如下：
（1）三个相同的图案，积分 +200 ；
（2）两个相同的图案，积分 +100 ；
（3）三个数字图案，从左到右连续（例如 1,2,3 ），积分 +200 ；
（4）三个数字图案，经过顺序调整后连续（例如 2,1,3 或 3,2,1 ），积分 +100 ；
抽奖机处于初始状态，三个转轮都处于第一个位置。每次开始抽奖，都会产生三个对应的随机数 xi1,xi2 ,xi3 ，表示第 j 个转轮会向后转动 xij 次停下。下次抽奖时，转轮会从上一次转动后的位置开始继续转动。
注意，一次抽奖最多只能获得一次积分，如果同时命中多个奖项，以积分最大的那个奖项为准。请问，如果执行 m 次抽奖，总积分值是多少？

【输入格式】
输入的第一行包含一个正整数 n，表示转轮大小。
第二行包含 n 个正整数 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ ，依次表示第一个转轮上的数字图案，相邻整数之间使用一个空格分隔。
第三行包含 n 个正整数 $b_1,b_2,\cdots,b_n$ ，依次表示第二个转轮上的数字图案，相邻整数之间使用一个空格分隔。
第四行包含 n 个正整数 $c_1,c_2,\cdots,c_n$ ，依次表示第三个转轮上的数字图案，相邻整数之间使用一个空格分隔。
第五行包含一个整数 m，表示抽奖次数。
接下来 ( m ) 行，每行包含三个正整数 (xi1,xi2,xi3)，相邻整数之间使用一个空格分隔。
【输出格式】
输出一行包含一个整数表示答案，即 ( m ) 次抽奖累计获得的积分的值。
【样例输入】

【样例输出】

【样例说明】
三个转轮在初始状态下都在位置 1。
第一次抽奖，三个转轮都转动 4 次，都转一整圈到达位置 1，三个转轮上的数字图案分别是 3、2、4，积分 +100；
第二次抽奖，第一个转轮转动 3 次到达位置 4，第二个转轮转动 1 次到达位置 2，第三个转轮转动 1 次到达位置 2，三个转轮上的数字图案分别是 1、2、3，积分 +200；
第三次抽奖，第一个转轮转动 40 次到达位置 4，第二个转轮转动 39 次到达位置 1，第三个转轮转动 2 次到达位置 4，三个转轮上的数字图案分别是 1、2、9，积分不增加。
因此总积分为 300。

5. 题目D：红黑树（10分）

【问题描述】
小蓝最近学习了红黑树，红黑树是一种特殊的二叉树，树上的结点有两种类型：红色结点和黑色结点。
小蓝在脑海中构造出一棵红黑树，构造方式如下：
（1）根结点是一个红色结点；
（2）如果当前结点 curNode 是红色结点，那么左子结点 curNode.left 是红色结点，右子结点 curNode.right 是黑色结点；
（3）如果当前结点 curNode 是黑色结点，那么左子结点 curNode.left 是黑色结点，右子结点 curNode.right 是红色结点；
此二叉树前几层的形态如下图所示：
在这里插入图片描述
【输入格式】
输入的第一行包含一个正整数 ( m )，表示小蓝挑选的结点数。
接下来 ( m ) 行，每行包含两个正整数 (ni,ki)，用一个空格分隔，表示小蓝挑选的结点是第 ni 行（从上往下数）第 ki 个（从左往右数）结点。
【输出格式】
输出 ( m ) 行，每行包含一个字符串，依次表示小蓝每次挑选的结点的答案。RED 表示红色结点，BLACK 表示黑色结点。
【样例输入】

2
1 1
2 2

【样例输出】

RED
BLACK

6. 题目E：黑客（15分）

【问题描述】
小蓝正在两台电脑之间拷贝数据，数据是一个 (n×m) 大小的正整数矩阵，因此总共有 (n×m + 2) 个由空格分开的整数，其中前两个整数分别为 (n) 和 (m)。然而，有黑客入侵了小蓝的电脑，导致这 (n×m + 2) 个正整数的顺序被打乱了，小蓝想知道最多可能有多少个不同的原矩阵。
两个矩阵相同当且仅当它们行数相同、列数分别相同，且每个位置上的数相同。
【输入格式】
输入的第一行包含一个正整数 (n×m + 2)。
第二行包含 (n×m + 2) 个正整数 (a1,a2,…,a_{n×m + 2})，相邻整数之间使用一个空格分隔。
【输出格式】
输出一行包含一个整数表示答案。答案可能很大，请输出答案除以 1000000007 的余数。
【样例输入】

2 2 1 4 3 3

【样例输出】

7. 题目F：好串的数目（15分）

【问题描述】
对于一个长度为 (n) 的字符串 (s = s₀s₁…s_n-1) 来说，子串的定义是从中选出两个下标 l,r(0 ≤ l ≤ r ≤n-1)，这之间所有的字符组合起来的一个新的字符串：(s’ = s_l…s_r) 就是其中一个子串。
现在给出一个只有数字字符 0~9 组成的数字字符串，小蓝想要知道在其所有的子串中，有多少个子串是好串。一个子串是好串，当且仅当它满足以下两个条件之一：
（1）单字符子串一定是好串，即当子串长度为 1 时，它总是好串；
（2）长度大于 1 时，可以拆分为两个连续非递减子串。
其中，一个串 (p = p₀p₁…p_n-1) 为连续非递减子串是指，对于所有 (1≤ i < k)，满足 (p_i = p_i-1) 或 (p_i = p_i-1+1)。即数字串中的每一个数字，要么等于上一个数字，要么等于上一个数字加 1。例如 12233、456 是连续非递减子串。
【输入格式】
输入一行包含一个字符串 (s)。
【输出格式】
输出一行包含一个整数表示答案，即好串的数目。
【样例输入】

【样例输出】

【样例说明】
长度为1的好串：1、2、2、5、8。它们长度都为1，都是好串。
长度为2的好串：12、22、25、58。12可以分割为1、2两个连续非递减子串，其它类似。
长度为3的好串：122、225。122可以分割为12、2两个连续非递减子串；225可以分割为22、5两个连续非递减子串。
长度为4的好串：1225。1225可以分割为122、5两个连续非递减子串。
总计12个好串。

8. 题目G：地雷阵（20分）

【问题描述】
小蓝正在平面直角坐标系中的第一象限里玩一个逃生小游戏，在第一象限中埋有 (n) 颗地雷，第 i 颗地雷的坐标为 (x_i, y_i)，触发范围为以 (x_i, y_i) 为圆心，半径为 r_i 的圆。一旦小蓝走进了圆内就会触发地雷导致游戏失败。小蓝初始在原点 (0,0) 上，他需要在第一象限内选择一个方向一直往前走，如果能不触发任何地雷即可成功通关游戏。他想知道在 [0,π/2] 中均匀随机选择一个方向，即在 (0°)（朝向 x 轴正方向）至 90°（朝向 y 轴正方向）之间随机选择一个方向，通关游戏的概率是多少？
【输入格式】
输入的第一行包含一个正整数 (n)。
接下来 (n) 行，每行包含三个正整数 (x_i, y_i)，相邻整数之间使用一个空格分隔。
【输出格式】
输出一行包含一个实数，四舍五入保留三位小数，表示答案。
【样例输入】

2
1 3 1
3 1 1

【样例输出】

0.181

9. 题目H：扫地机器人（20分）

【问题描述】
在一个含有 n 个点 n 条边的无重边无自环的连通无向图中，有一个扫地机器人在执行清扫作业，其中结点 i 的标记 t_i ∈{0, 1}，如果为 1，则说明该结点需要进行清扫，扫地机器人在到达这个结点时会顺便进行清扫工作。机器人想知道，如果选定任意结点出发，每条边只能经过一次的话，最多能清扫多少个待清扫结点？
【输入格式】
输入的第一行包含一个正整数 n。
第二行包含 n 个整数 t₁, t₂, … , t_n，相邻整数之间使用一个空格分隔。
接下来 n 行，每行包含两个正整数 u_i, v_i，用一个空格分隔，表示结点 u_i 和结点 v_i 之间有一条边。
【输出格式】
输出一行包含一个整数表示答案。
【样例输入】

9
1 0 1 0 0 1 1 0 1
2 8
2 9
2 5
1 5
1 3
1 4
4 5
4 6
6 7

【样例输出】

【样例说明】
其中一种路线：3 → 1 → 4 → 6 → 7。
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