2018年真题

数学基础

一、（共4分）用逻辑符号表达下列语句（论域为包含一切事物的集合）

1、（2分）集合A的任一元素的元素都是A的元素

经过对图片文字的识别与逻辑分析，结果如下：
符号定义：

P(x): x 是集合 A 的元素
Q(x,y): x 是 y 的元素
逻辑公式：
$\forall x \forall y \left( P(y) \land Q(x,y) \rightarrow P(x) \right)$
自然语言解释：
“对于任意元素 ( x ) 和 ( y )，如果 ( y ) 属于集合 ( A )，且 ( x ) 是 ( y ) 的元素，那么 ( x ) 也必然属于集合 ( A )。”
这体现了集合的传递性：子集元素的元素仍属于原集合。

这等价于命题"天下没有长相完全一样的两个人"：若存在长相相同的不同个体，则导致逻辑矛盾，故必须为同一人。

注：原图中第二个公式的存在量词符号有误（显示为"3y"），已修正为"∃y"。

2、（2分）天下没有长相完全一样的两个人（要求写出两种形式，一种用全称量词，一种用存在量词）

符号定义：

P(x) : x 是人
Q(x,y): x 和 y 长相完全相同
R(x,y) : x 和 y 是同一个体
逻辑公式：
$\forall x \exists y \left( P(x) \land P(y) \land Q(x,y) \rightarrow R(x,y) \right)$
$\neg \exists x \forall y \left( P(x) \land P(y) \land Q(x,y) \land \neg R(x,y) \right)$
自然语言解释：
“对于所有人 ( x )，如果存在另一个人 ( y )，使得 ( y ) 是人且 ( x ) 和 ( y ) 长相完全相同，那么 ( x ) 和 ( y ) 必须是同一个体。”

二、填空（1-2题每空1分，3-6题每空2分，共16分）

1、设A={∅，{∅}}，计算∅-A=___，A-P(∅)=（），P(A)-{∅}=（），P(A)⊕A=（）.（其中P(A)表示A的幂集）

解答：

∅−A
答案：∅
解释：空集与任何集合的差集仍为空集，因为空集不含任何元素。
A−P(∅)
答案：{{∅}}
解释：
- P(∅) 是空集的幂集，即 {∅}。
- A = {∅, {∅}}，减去 P(∅) 后，剩余的元素是 {∅}（因为 {∅} ∉ P(∅)）。
P(A)−{∅}
答案：{{∅}, {{∅}}, {∅, {∅}}}
解释：
- A 的幂集 P(A) = {∅, {∅}, {{∅}}, {∅, {∅}}}。
- 移除空集 ∅ 后，剩余的元素是 {∅}, {{∅}}, {∅, {∅}}。
P(A)⊕A
答案：{{{∅}}, {∅, {∅}}}
解释：
- 对称差集定义为：P(A)⊕A = (P(A) − A) ∪ (A − P(A))。
- P(A) − A：P(A) 中不属于 A 的元素是 {{∅}} 和 {∅, {∅}}。
- A − P(A)：A 的所有元素均属于 P(A)，因此结果为 ∅。
- 最终结果为 {{∅}, {∅, {∅}}}。

详细步骤验证
1. ∅−A
差集运算规则：∅ − A = ∅（空集无元素可被移除）。

2. A−P(∅)

P(∅) = {∅}（空集仅有自身作为子集）。
A = {∅, {∅}}，移除 P(∅) 中的元素 ∅ 后，剩余元素为 {∅}（注意：{∅} 是集合元素，需用双层花括号表示）。

3. P(A)−{∅}

P(A) = {∅, {∅}, {{∅}}, {∅, {∅}}}。
移除 ∅ 后，剩余元素为 {∅}, {{∅}}, {∅, {∅}}（注意：{∅} 表示集合中的单元素空集）。

4. P(A)⊕A

P(A)−A = {{∅}, {∅, {∅}}}（P(A) 中不属于 A 的元素）。
A−P(A) = ∅（A 的元素 ∅ 和 {∅} 均在 P(A) 中）。
对称差集为 {{∅}, {∅, {∅}}} ∪ ∅ = {{∅}, {∅, {∅}}}。

符号说明

∅：空集。
{∅}：包含空集的集合。
{{∅}}：包含 {∅} 的集合。
{∅, {∅}}：A 的完整表示。
⊕：对称差集（元素仅属于其中一个集合）。

2、按照无穷公理表示的自然数以及连续统假设，用最简洁的形式写出下列计算结果，其中N表示自然数集合，R表示实数∩30=（）；∩{18,27}=（）;|𝐍𝐍|=（）；|𝑹𝑹|=（）

∅； 18; ℵ₀；ℵ

3、将函数f(x)=(𝟏+𝒙+ $𝒙^{𝟐}$ + $𝒙^𝟑$ +⋯)²( $𝒙^𝟐$ + $𝒙^𝟑$ + $𝒙^𝟒$ +⋯)³ 展开后 $𝒙^{𝟏𝟒}$ 系数是（495）。

在这里插入图片描述

4、如果平面图和它对偶图是同构的，则称此平面图是自对偶的。若G是有n个顶点，m条边的自对偶图，求n和m满足关系式是（）（此关系不含有n和m以外的其他变量）。

在这里插入图片描述

5、设图G是共有10个顶点边数最多的三部图，则G有（）条边

要确定顶点数为10的三部图G的最大边数，需将顶点分为三个部分，使得不同部分之间的边数总和最大。设三个部分的顶点数分别为(a)、(b)、(c)（满足(a + b + c = 10)），边数为(ab + ac + bc)。

关键步骤

极值条件：当(a)、(b)、(c)尽可能接近时，(ab + ac + bc)最大。
顶点分配：将10分为三个最接近的整数，即(3, 3, 4)（或排列如(4, 3, 3)）。
计算边数：
$\times 3 + 3 \times 4 + 3 \times 4 = 9 + 12 + 12 = 33.$

验证其他分配

若分为(4, 4, 2)，边数为(4 \times 4 + 4 \times 2 + 4 \times 2 = 16 + 8 + 8 = 32)（更小）。
若分为(5, 3, 2)，边数为(5 \times 3 + 5 \times 2 + 3 \times 2 = 15 + 10 + 6 = 31)（更小）。

结论

当顶点分为(3, 3, 4)时，边数达到最大值。因此，边数最多的三部图有：

$\boxed{33}$

6、有六对夫妇坐在一个圆桌旁，其中通过转圈得到的坐法视为相同的坐法，𝑺𝒊表示第i对夫妇坐一起，则同时满足𝑺𝟏，𝑺𝟑和𝑺𝟔的坐法有（）种。

在这里插入图片描述

三、计算题（要求写出详细运算步骤，共3分）

1、有120个学生参加考试，共有A、B、C三道题。已知三道题都做对的有12个学生，作对A、B都有20个学生，做对A、C的有16个学生，做对B、C都有28个学生，做对A的有48个学生，做对B的有56个学僧，有16个学生一道题也没有做对，试求仅做对C的学生有多少个？

在这里插入图片描述

四、解答题（共6分）
1、(3分)4名同学同时参加英语和德语面试，要求每门科目只能同时面试1人，2门科目面试时间先后顺序认为是不同的，试问共有多少种不同的面试次序？
2、(3分) 求满足递推关系𝒉𝒏 = 5𝒉𝒏−𝟏− 6𝒉𝒏−𝟐 中𝒉𝒏的表达式，其中初始条件𝒉𝟎=1 ，𝒉𝟏=-2
五、证明题（11分）
1、（3分）对非空集合A上的关系R，若R是非自反和传递的，证明R是反对称的。
2、（8分）设𝑲n是n个顶点的完全图，用红、蓝两种颜色给𝑲9的边任意着色。
1）证明𝑲9中至少存在一个顶点v，使得v关联红边个数不是3。
2）证明必有蓝色的𝑲4或红色的𝑲3。

计算机网络
一、填空题（每空1分，共6分）

以太网采用（）算法来确定碰撞后重传的时间，当第四次发生碰撞后, 节点随机从（）中间选择一个值。
2.若主机A通过一个TCP链接向主机B连续发送两个相邻的TCP报文段, 第一个报文段的序号为750，第二个序号为1100，那么第一个报文段中有（）字节数据。
3.一台主机的IPv4地址为16.29.4.3，子网掩码为255.248.0.0，该主机所在网络共有（）个不同子网，该主机子网地址为（），子网掩码对应的网络前缀有（）位。
二、单项选择题（每小题1分，共5分）
1.当以太网交换机收到一个帧时，若帧的目的地址在转发表中找不到对应的表项，交换机将（）
A．丢弃
B. 洪泛
C. 转发给网关
D. 转发给其他主机
2.四个地址块172.18.129.0/24，172.18.130.0/24，172.18.132.0/24，172.18.133.0/24 ，如果进行路由汇聚，覆盖这4个地址块的是（）
A. 172.18.132.0/23
B. 172.18.128.0/22
C. 172.18.130.0/22
D 172.18.128.0/21
3.一个使用选择性重传协议的数据链路层协议，如果采用了6位的帧序号，那么可以使用的最大发送窗口是（）
A. 31
B. 32
C. 63
D. 64
关于IPv6的叙述，错误的是（）
A．IPv6数据报取消了选项字段，采用扩展首部实现选项功能
B．IPv6数据报只能在源点进行分片，路由器不进行分片操作
C．IPv6的本地链路单播地址可以和互联网上的其他主机进行通信
D．IPv6支持按流标号进行资源预分配
域名解析两种方式分别是（）
A．直接解析和间接解析
B. 直接解析和递归解析
C. 间接解析和迭代解析
D. 迭代解析和递归解析
三、名词解释（每小题2分，共4分）
1．时延带宽积
2．虚拟局域网
四、问答和计算题（共15分）
(计算中记: 1G≈10^9；1M≈106；1K≈10^3)
1．（共4分）主机A通过一条带宽为100Mbps的网络链路向主机B传输数据帧，假设每帧携带的数据是1K字节，链路单向时延为50ms，若设计一个滑动窗口协议，使得发送窗口和接收窗口大小相同：
（1）窗口大小是多少？
（2）最少需要多少位作为序号？
2．（共5分） UDP用户数据报的数据部分长度是8000字节，通过以太网来传输UDP数据报，若UDP头部为8字节，IP分组头部为20字节，以太网MTU为1500字节。
（1）能分几个IP分片？
（2）最后一个IP分片的长度是多少？片偏移字段值是多少？
3．（共5分）设TCP的慢启动窗口大小从1开始，拥塞窗口阈值初始为16（报文段），当拥塞窗口上升到20时发生超时，TCP开始慢启动和拥塞避免。
（1）简要说明该过程中经过的拥塞控制阶段。
（2）第15轮次传输时，拥塞窗口大小为多少？
（3）在哪个传输轮次中发送第35个报文段？
软件工程
一、单项选择题（每小题1 分，共5 分）
1.E-R图主要由哪些要素组成（）
A．数据，对象，实体 B. 控制，联系，对象 C. 实体，联系，属性 D. 实体，属性，操作
2.正式技术评审的目标是（）
A．发现软件中的错误 B. 评价程序员的工作效率 C. 发现和改正程序中的错误
D. 记录程序员给出的情况与绩效挂钩
3.在UML中，（）关系描述了两个对象类之间的一般化/特殊化关系，它可以使子对象类共享父对象类的属性和方法。
A．依赖
B. 泛化
C. 关联
D. 实现
4.某模块内有两个处理A和B, 分别对数据区X写数据和读数据，则该模块的内聚类型属于（）
A．逻辑内聚
B. 过程内聚
C. 通信内聚
D. 内容内聚
4.关于增量开发模型的叙述，错误的是（）
A．不必等到整个系统开发完成就可以使用
B. 可以使用较早开发的增量构件来构建稍后开发的增量构件
C. 优先级最高的服务先交付，这样最重要的服务能接受最多的测试
D. 有利于较好的模块划分
二、判断题（每小题1 分，共5 分。如果正确，用“√”表示，否则，用“×”表示）
软件的开发成本不但要考虑开发的人力消耗，还要考虑期间的其他经常性消耗。（）
模块的独立程度可以用两个标准来衡量，这两个标准分别是模块的内聚度和模块之间的耦合度，他们属于定性的标准。（）
描述一个模块内的处理流程时，一种改进的方法是使用N-S图（盒图），与最常用的程序流程图相比，它的优点是完全避免了GOTO转移，彻底遵循了结构化程序设计的思想。（）
描述一个模块内的处理流程时，一种改进的方法是使用PAD图，与最常用的程序流程图相比，它的优点是完全避免了GOTO转移，彻底遵循了结构化程序设计的思想。（）
在描述系统功能时常使用用例图建模，但也需要辅之以规格说明，即用例实现的场景。场景从用户角度描述每一个功能处理的事件序列。（）
三、简答题（每小题4 分，共12 分）
在承包软件项目之前为什么要需要可行性研究？软件项目的可行性研究主要研究哪几个方面的可行性？
事务驱动风格的体系结构在软件体系中属于控制XX，它是通过外部生成的事件XX的系统。典型的事务驱动风格的体系结构有哪种类型？简述他们的控制机制。
软件生存周期中可能执行的活动可以分为5个基本过程，这5个基本过程是什么？每一个基本过程与软件项目的哪一方相关？

四、建模题（共8 分）
问题陈述：下面是在某慕课教育平台上一个在线作业批改系统的简化陈述：
学生
·系统登录，提交学生标识（学号、密码）；
·在线提交作业（作业题量、完成题目、答案、提交时间）；
·获取作业已批改的通知（学号、批改时间、评分、评价（可选））；
·查看已批改的作业。
教师
·教师登录，提交教师标识（教师号、密码）；
·上传作业信息（作业题量、布置题目、标准答案、评分标准、最后期限）；
·获取有作业提交的通知（学号、提交时间）；
·下载学生提交的作业（在屏幕上显示）；
·批改后上传已批改作业（学号、批改时间、评分、评价（可选））；
·获取作业抽检意见（学号、教师号、建议）。
教学督导
·教师登录，提交督导标识（教师号，密码）；
·抽取并下载作业样本（学号、教师号、批改时间、评分、评价（可选））；
·抽检并提交抽检意见（学号、教师号、建议）。
试回答：
1．（4分）结构化分析方法给出该系统的顶层DFD中，请补充图中缺失的4个数据流；
2．（4分）写出该数据流图中的数据字典。