线代[12]｜《高等几何》陈绍菱（1984.9）（文末有对三大空间的分析及一个合格数学系毕业生的要求）

文章目录

- 一、概述
- 二、平面仿射几何的基本概念
- 三、平面射影几何的基本概念
- 四、变换群和几何学
- 五、二次曲线的射影理论、仿射理论和度量理论
- 六、射影几何公理基础
- 七、非欧几里得几何概要
- 八、自我测试题
- 九、欧氏解析几何、仿射解析几何、射影解析几何与其他（博主借助AI结合资料梳理）
- - ｜一、课程定位与内容
  - ｜二、课程的关联性
  - ｜三、其余基础课程
  - ｜四、与现代课程的对比
- 十、一个合格数学系毕业生（博主借助AI整理）
- - ｜一、核心课程掌握情况
  - ｜二、数学思维能力
  - ｜三、应用与实践能力
  - ｜四、学术素养与发展潜力
  - ｜五、隐性标准
  - ｜六、总结
- 十一、更新时间记录

一、概述

高等几何这门学科有不同的涵义，有些高等几何教材包括几何基础和射影几何，有些教材却仅仅包含射影几何。近年来，由于拓扑学的发展，有些国家的高等几何教材就包含射影几何和拓扑学引论。

按照国家高等师范院校教学大纲的要求，本课主要讲授平面射影几何，而且以仿射几何为辅。

早自欧洲文艺复兴时期，由于绘图和建筑等的需要，透视画的理论逐步形成，以后便建立了画法几何。法国数学家蒙日在1768年到1799年之间和1809年分别出版了画法几何和微分几何两部经典著作，由于画法几何理论的发展，他的学生彭色列继承了这两部著作中的综合思想，于1822年写了一本书，它是射影几何方面最早的专著。继彭色列之后，法国人沙尔和出生于瑞士的德国数学家史坦纳改进了射影几何的研究工具，并且把他们应用到各种几何领域，因而得到了丰硕的几何成果。到了十九世纪末，英国人凯莱和德国人克莱因等人用变换群的方法研究了这个分支，射影几何便成为完整且独立的学科。如果说射影几何开始所研究的问题是大量的个例，那么到后来，它的主要意义就在于它把各种几何用变换群的概念联系统一起来，特别是欧几里得几何也可用射影的观点理解为射影的一部分。

学习射影几何一般有三种方法。

第一种是代数法，就是以线性代数作工具进行研究；
第二种是综合法，就是在初等几何的基础上进行研究；
第三种是公理法，它以一组公理作基础进行推演。

按照教学计划的要求，本课程兼用代数法和综合法，而以代数法为主，因此本课程也可以叫做射影解析几何或高等解析几何。但是注意到本课程既以代数计算作工具来研究图形的性质，因此尽力避免冗长计算，而重视几何意义。

学习本课程可加深对初等几何和解析几何的理论和方法的理解，从而可以获得在较高的观点下来处理初等几何和解析几何问题的能力。 本课程也是画法几何的理论基础。在图算法所作算图的变形以及航空摄影中都有它的应用。

本课程主要是在实数域上讨论一次问题和二次问题。如果把实数域扩充到其他代数体系上而进行研究，就是线性几何。另一方面研究任意代数体系上的高次形象，就是代数簇，它是代数几何所研究的对象。因此本课程可以看作是近代几何的一个分支——代数几何的基础。自学本课程的读者应在初等几何、解析几何和高等代数的基础上来继续学习。（博主：初等几何——线性代数——高等代数—射影几何——代数几何，这是一条通天之梯！ 2025.4.4 13:16）在高等师范院校本课程一般安排在第二学年第二学期或第三学年第一学期，讲授54学时，由于自学的条件不同，读者可以适当增加时数。

关于课本，现在已出版的高等几何并不很多，为了帮助读者选择，现在介绍下列几种作为课本和参考书。课本是：

《高等几何》，刘增贤、林向岩编，人民教育出版社正在排印。这本书根据高等师范院校1980年高等几何教学大纲来编写，内容专讲平面部分，比较精练，配备有相当数量的例题和习题。

另外再选两种参考书：

《近世几何学》，孙泽瀛编，1959年，高等教育出版社出版。这本书内容丰富，不但讲平面部分而且还讲立体部分。
《高等几何讲义》，苏步青编，1964年，上海科学技术出版社出版。这本书平面、立体两部分混写，非常简练。

选定课本后，就可以制定比较细的学习计划，包括划分单元和自学时间的分配。建议自学者参照下表自行安排：

$高等几何自学时间安排表$

要注意下列各点:

第一，在自学每节后要写小结并作一定数目的习题（由易到难）。在自学每章后要写本章总结，并作一定数目的综合习题。
第二，在学完全书后进行总复习，最后作自我测验题。
第三，关于第五和第六两个单元可作为选学内容。

二、平面仿射几何的基本概念

本单元是在欧几里得几何的基础上介绍平面仿射几何的基本概念，而且把它看作是从欧几里得几何过渡到射影几何的桥梁。作为一门学科来说总有它的研究对象，为了说明仿射几何研究的对象，先从欧氏几何说起。

欧氏几何所研究图形的性质和图形的特定位置无关，例如长度、角度和面积等等。所谓“和图形的特定位置无关”，是指一个图形允许在它所处的空间里任意运动。因运动的地点不同，于是一个图形产生了许多其他地点的图形。这些图形由于是同一图形经过运动而产生的，我们把它们当做是不同地点的同一图形。欧氏几何就是研究这些不同地点的同一图形的性质的，而运动就是本单元所学习的正交变换，所以我们说欧氏几何就是研究正交变换下的不变问题。

正交变换的定义 设 ${V}$ 是 ${n}$ 维欧氏空间， ${A}$ 是 ${V}$ 的一个线性变换，若对任意 ${\alpha,\beta \in V}$ 都有

$\mathsf{(A\alpha,A\beta)=(\alpha,\beta)},$

则称 $A$ 为 $V$ 内的一个 正交变换 。正交变换在空间的几何运动上表现为“平移、旋转、轴对称以及三者组合形成的复合变换”。请牢记：凡是在欧几里得空间中，向量在运动变化的过程里，“长度”、“夹角”保持不变即内积向量的基本性质不发生变化，就是正交变换。（2025.4.5 21:26）

还有许多其他变换，例如图形在太阳光线之下得到的像可以说它是由平行射影得到的。这种平行射影组成了本单元所学习的仿射变换。仿射几何就是研究仿射变换下的不变问题。这里专门讨论平面仿射几何。如果把仿射变换的代数表示加以推广，非常容易推出高维仿射空间和高维仿射几何，这里就不作介绍了。

本单元共分四个部分，现在分述如下：

（一）基本形：这一部分是后面常用到的一些知识，为了区分和比较两个无穷集合，我们先引进维数的概念。

在几何学里通常利用某集合中元素的坐标或参数（指独立参数）所成的代数表示来说明这个性质。例如平面上点集合中的每一点，可以由两个坐标 $(x, y)$ 或两个参数唯一决定。又如平面上抛物线集合中的每一条抛物线由四个参数来唯一决定。这是因为平面上抛物线的一般方程含有四个参数的缘故。

定义 决定无穷集合中一个元素所需参数的最小个数叫做这个集合的维数或自由度。

这样平面上点集合的维数是二，抛物线集合的维数是四。为了以后运用方便起见，把几何中元素点、直线、平面所成的某些无穷集合叫做基本形。按照维数的概念可以把基本形分成四大类：

一维基本形：内容有点列：在一直线上所有点的集合叫做点列，这条直线叫做底；线束：在一平面里经过一点所有直线的集合叫做线束，这个点叫做顶点或中心；面束：经过一直线所有平面的集合叫做面束，这条直线叫做轴线。
二维本形：内容有点场：在一平面里所有点的集合叫做点场或点域，这个平面叫做底；线丛：空间里经过一点所有直线的集合叫做线丛或线把，这个点叫做顶点或中心；线场：在一平面里所有直线的集合叫做线场或线域，这个平面叫做底；面丛：经过空间一点的所有平面的集合叫做面丛，这个点叫做顶点或中心。
三维基本形：内容有点空间 ：空间里所有点的集合叫做点空间；面空间 ：空间里所有平面的集合叫做面空间。
四维基本形：内容有线空间 ：空间里所有直线的集合叫做线空间。

射影儿何就是对这些基本形进行研究。

（二）点变换：首先引进两个集合的一一对应以及一个集合到自身的一一变换的概念。重点是一一变换的一些性质和乘积运算。

特别值得注意的是全书大部分篇幅都研究点集合到它自身的一一变换，叫做点变换，这和解析几何里的坐标变换是不同的，在那里指的是坐标轴的变换，而不是点的变换。

（三）正交变换：这一部分有四个要点。

三类特殊的点变换——“平移变换、旋转变换、轴反射变换”。注意它们的代数表示都属于下列形式： $\begin{cases}x'=a_{11}x+a_{12}y+a_{13}\\y'=a_{21}x+a_{22}y+a_{23}\end{cases}$ 其中 $\Delta=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}=\pm1$
正交变换定义中的距离常是正数。从定义容易看出上面三种特殊的点变换都是正交变换，同时也可以看出它们间的区别。由定义也可以推出一些简单性质。最后推出正交变换的代数表示是 $\begin{cases}x'=x\cos\theta-\epsilon y\sin+a_{13}\theta,\\y'=x\sin\theta+\epsilon y\cos\theta+a_{23},\end{cases}$ 其中 $\epsilon=\pm1$ ，注意它也可以用矩阵表示。正交变换共分两种：一种正交变换是 $\epsilon=1$ ，这时候， $\Delta=1$ 。它可以分解成为平移或旋转或旋转和平移的积。另一种正交变换是 $\epsilon=-1$ ，这时候， $\Delta=-1$ 。它可以分解成为轴反射或轴反射和前一种正交变换的积。
图形的正交不变问题：两点距离经正交变换不变，是不变量，又点和直线仍分别变成点和直线，所以同素性是不变性。
线性变换的两种几何意义：一种是解析几何中的坐标轴的变换，另一种是现在所学习的点变换——正交变换。

（四）仿射变换：这一部分有七个要点。

已知两相交（或平行）平面和一方向，利用这个方向经过平行射影所建立的两平面间点的一一对应，叫做透视仿射对应。
设有 $\pi_1,\pi_2,\cdots,\pi_{n+1}$ 个平面，且 $\pi_i,\pi_{i+1}(i=1,2,\cdots,n)$ 两个平面间建立透视仿射对应，那么形成一个透视仿射对应链，在这个链中 $\pi_1,\pi_{n+1}$ 这两个平面的一一对应叫仿射对应。如果 $\pi_1$ 和 $\pi_{n+1}$ ，恰相重合，就得 $\pi_1$ 到自身的仿射变换。值得注意的是仿射变换也是一种点变换。
从透视仿射对应的不变性（同素性、结合性、平行性）和不变量（单比）转到仿射变换的不变性和不变量。
平面仿射坐标系：自笛卡儿斜坐标系坐标三角形（等腰三角形）经仿射对应得到任意三角形而建立平面仿射坐标系。平面仿射坐标系和笛卡儿斜坐标系的不同点在于两个轴上单位线段不能合同（叠合）。
仿射对应的代数表示：要从两面证明它是非奇线性对应， $\begin{cases}x'=a_1x+b_1y+c_1,\\y'=a_2x+b_2y+c_1,\end{cases}$ $\begin{vmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{vmatrix}\ne0。$ 特别注意非奇异性质由 $\begin{vmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{vmatrix}\ne0$ 来表示，当 $\begin{vmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{vmatrix}=0$ 的时候，也就是奇异情况下，那么无逆，而将不是一一对应。
图形的仿射不变问题：这一部分内容是完全用代数法证明的，值得注意的是圆的仿射对应图形是椭圆。另外利用等边三角形、正方形和圆的一些仿射性质，可以推出任意三角形、平行四边形和椭圆的相应性质。
仿射变换的特例：仿射变换是最一般的非奇线性变换。过去所学的正交变换，位似变换和相似变换都是它的特例，一些实际上应用的变换也常常是仿射变换的特例。

三、平面射影几何的基本概念

前一单元曾介绍正交变换和仿射变换两种点变换，这里再介绍另一种变换。把图形放在灯光的前面而投射到墙壁上得到另一图形，也可以说所得的像由中心射影得出。利用中心射影就得出本单元将要学习的射影变换。射影几何就是研究射影变换下的不变问题。这里也只研究平面射影几何。对于高维射影空间和高维射影几何这里不作要求。

这单元共分两大部分：

（一）射影平面的结构：这部分从两个角度阐明射影直线和射影平面的形成：一个是从欧几里得直线和欧几里得平面补上无穷远元素，扩充成射影直线和射影平面，然后用综合法去研究，另一个是由欧几里得的笛卡儿坐标推广成齐次坐标而形成，然后利用代数法进行研究。特别提出射影平面上具有一个独特的性质——对偶原则。最后把实射影平面扩充到复射影平面。这一部分有九个要点。

射影平面的第一种建立法——无穷远元素的引入：从欧几里得直线（平面）到仿射直线（平面）再到射影直线（平面），注意每一种的特征。
透视对应和射影性质：注意透视对应和透视仿射对应的异同。同素性、结合性是射影性质，而平行性却不是，又简比也不是射影不变量。
笛沙格透视定理：这在射影几何公理体系中起重要作用，另外，它也是一个重要的射影性质。
射影平面的第二种建立法——齐次点坐标的引入：把三维欧几里得空间中（除去原点）的点 $x_1,x_2,x_3)$ 和 $(\lambda x_1,\lambda x_2,\lambda x_3)(\lambda\ne0)$ 看作同一点，那么这些点的集合叫射影平面。由这里可以推广到高维射影空间。
齐次点坐标的应用：先引进直线的齐次点坐标方程，然后对点、线的结合问题进行研究。
线坐标：分齐次和非齐次两种，注意哪些元素没有坐标或方程。
对偶原则：由于射影平面的特殊结构具有的独特性质。
代数对偶：在已知坐标系下，点和直线的坐标或方程叫做基本代数对偶，然后就可得到点和直线的一些几何性质的代数对偶。
复元素：利用坐标把实射影平面扩充到复射影率面，这时候也有代数对偶。特别注意共轭复元素和它的特性。

（二）射影变换：这部分要注意射影变换下的不变间题。它和仿射变换有关部分是可互相对照的。这一部分有五个要点。

交比和调和比：从单比引交比，它是射影基本不变量。它包括：四共线点的交比和调和比，四共点线的交比和调和比。
两个一维基本形的射影对应：有四点应该注意。两个一维基本形的透视对应（注意 “该符号是两条平行线下有一个倒 V” 的使用）；两个一维基本形的射影对应（注意 “该符号是一条平行线下有一个倒 V” 的使用），特殊时候就得到一个一维基本形到自身的射影变换，两个同类一维基本形的射影对应和透视对应的关系，射影对应的代数表示，包括非齐次坐标： $x'=\frac{a_{11}x+a_{12}}{a_{21}x+a_{22}},$ $\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}\ne 0 .$ 齐次坐标： $\begin{cases}\rho x_1'=a_{11}x_1+a_{12}x_2,\\\rho x_2'=a_{21}x_1+a_{22}x_2,\end{cases}$ $\rho\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}\ne 0,$ 注意 $\rho$ 随点的齐次坐标的比例常数而变。又 $\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}=0$ 的时候，将不是一一对应。
一维基本形的射影变换：值得注意的是点列的射影变换的代数表示，是在同一个坐标系下考虑的。包括：不变元素的种类；特殊的射影变换一一对合。
两个二维基本形的射影对应（射影变换）：这里主要研究点场到点场的射影对应，为了方便，采取了和以前不同的方法。首先从代数表示出发研究非奇线性对应，然后再证明它和射影对应是等价的。
射影坐标系：这里用射影不变量（交比）来规定射影坐标。包括一维射影坐标系和二维射影坐标系。

- 一维射影坐标系：在有向直线上取两个基点，一个是原点，一个是单位点，就可以建立笛卡儿坐标系。又在射影直线上取三个基点，就可以建立非齐次射影坐标，然后转到齐次射影坐标，而笛卡儿坐标、仿射坐标都是它的特例。这里有两方面值得注意：一是射影直线上，笛卡儿坐标和射影坐标的坐标变换以及两种射影坐标的坐标变换都是非奇线性变换。二是点列到点列的射影对应用射影坐标表示也是非奇线性对应。
- 二维射影坐标系：把利用简比建立平面仿射坐标的思想加以推广而利用交比建立平面（非齐次）射影坐标，再转到齐次射影坐标，笛卡儿坐标、仿射坐标，都是它的特例。

四、变换群和几何学

本单元主要介绍几何学的群论观点，这是几何发展史上一个重要的里程碑。

本单元共分三个细目：

（一）变换群：

一个集合给定一个运算（叫乘法），一般如果适合四条公理就可以成一个代数体系——群。特殊情况下，对于（一一）变换集合给定乘法运算后，适合两条公理（封闭、可逆）就成群，这个群叫变换群。
对于四个重要变换群，要注意它们的维数和彼此间的从属关系。

（二）变换群和相应的几何学：这一部分有三方面内容。

1. 运动群对应于欧几里得几何，主要思想是对集合赋予其中元素一个等价概念，如形成一个等价关系，必定能够把这个集合分成等价类。
1. 一个变换群对应一种几何，这种几何所研究的对象就是它所对应的变换群下的不变量和不变性。
1. 几何学群论原则和它在数学发展史上所起的作用。

（三）三种几何学的比较：注意三种变换群的隶属关系和所对应几何的内容多少的不同，更须注意三种几何所研究对象的关系。

五、二次曲线的射影理论、仿射理论和度量理论

本单元研究二次形象。它是在射影平面上分别用代数法和几何法来建立的。接着讨论二次曲线的射影性质，然后由射影平面转到仿射平面和欧几里得平面，分别研究二次曲线的仿射性质和度量性质，从而可以清楚地理解二次曲线的仿射性质和度量性质的理论基础，再一次体会三种几何的区别和内涵。

本单元共分三个细目：

（一）二次曲线的射影理论：这一部分有四个要点。

二次曲线的代数方程和射影建立：利用平面上的两个同类一维基本形的射影对应就可建立，以后常用这方法来判断是否是二次形象的问题。要注意二阶曲线和二级曲线的对偶性。
二次曲线的性质：关于二次曲线和直线的相关位置，可用二次方程 $S_{qq}\lambda_2+2S_{pq}\lambda+S_{pp}=0$ 的判别式来判定，其中 $S_{pq}=\displaystyle\sum_{i:j}^{1-3}a_{ij}p_iq_i$ 由方程 $\displaystyle\sum_{i:j}^{1-3}a_{ij}x_ix_j=0$ 得出。切线的推求，利用上列二次方程得 $S_{qq}=0$ 。关于二阶曲线和二级曲线的关系——马克劳林定理，这个性质仅限于二次形象，三次以上形象都不成立。关于两个著名的对偶定理——帕斯卡定理和布利安雄定理，以上是一次形象和二次形象的结合问题，利用一维基本形的射影对应和透视对应的关系就可证明。
配极理论：关于二阶曲线的极点和极线，可以利用上面的二次方程来推出。

关于配极图形，二阶曲线的极点和极线是对偶元素，所产生的对偶图形就是配极图形，从历史上看对偶原则恰是从这里抽象得来。关于配极图形。
从历史上看，一般的点线变换正是从这里的配极变换抽象得出的。

二阶曲线的射影分类：如同解析几何二次曲线分类一样，也有两种方法，一种是选取新系法，主要选取适当的自配极三点形作为新的坐标三点形而建立新的射影坐标系，这可以把二阶曲线分成五个射影类，同类的射影等价，异类的却不等价。另一种是不变量法，计算二次曲线系数方阵的秩和符号差就行。

（二）二次曲线的仿射理论：在射影平面里，取一条特定直线叫无穷远线。把二阶曲线就无穷远线进行研究就得它的仿射性质。应当注意的是射影性质有对偶，而仿射性质却没有。在有穷部分所得的一些结论和解析几何所论完全相同。这部分有五个要点。

三个类型曲线和三种曲线：前者用 $A_{33} 大于、等于、小于三个符号由上到下并列形成一个怪异的符号 0$ 来判定，后者是利用 $A_3 大于、等于、小于三个符号由上到下并列形成一个怪异的符号 0$ ， $\left|a_{ij}\ne 0\right|$ 或利用二阶曲线和无穷远线交点的个数来判定。（博主：估计这个符号属于射影几何学里的专有数学符号，博主首次看到这样的符号，读者可自己在草稿纸上画出来。 2025.4.5 9:35）
中心：利用极点、极线来规定，可求得三种曲线的中心。
直径和共轭直径：利用极点、极线和共轭直线分别来规定。注意这里只能推求它们的位置，而不能研究它们的度量性质。
渐近线：利用切线来规定，注意它和中心以及一对共轭直径的关系。
二阶曲线的仿射分类：在欧几里得平面上分成九类，这和解析几何所论完全相同，在仿射平面上却分成十一类。

（三）二次曲线的度量理论：在仿射平面内的无穷远线上取一对共轭虚点 $(1,\pm i,0)$ ，叫圆点。再就这一对点加以研究就得二阶曲线的度量性质。这一部分有三个要点。

圆点和迷向直线：要注意三点，一是二次曲线是圆或等轴双曲线的特征；二是迷向直线的距离特征；三是由拉盖儿定理说明利用交比可表达角和垂直两个度量概念。
主轴和顶点：抛物线的主轴是它上面无穷远点关于两个圆点的调和共轭点的极线，顶点个数唯一。除圆以外的有心二阶曲线只有一对主轴，它和两条渐近线成调和线束，两点个数是四。
焦点和准线：抛物线仅有一个实焦点和一条准线，焦点在主轴上。非圆的有心二阶曲线有四个焦点和四条准线，它们分别是两实两虚。

六、射影几何公理基础

公元前三世纪希腊数学家欧几里得把前人的方法、理论用一套公理来整理，写成《儿何原本》一书，它支配了近两千年的几何。以后由于罗巴切夫斯基几何和其他数学分支的出现，几何基础得以建立。给定一组不定义的元素和关系，并且以一组公理来制约，然后展开逻辑推理，就得一种几何。这种建立几何的方法叫做近代公理法，以别于欧几里得的《几何原本》所采用的公理法，那种方法叫做古典公理法。本单元有三个要点。

射影几何公理体系。
公理体系的三个基本问题：主要用模型法来讨论。
射影几何公理体系的和谐性。

七、非欧几里得几何概要

在变换群和几何的观点下简单地介绍两种非欧几里得几何，然后在射影平面里作出罗巴切夫斯基几何的克莱因—凯莱模型。本单元有三个要点。

射影测度：把欧几里得几何的距离和角度的表达式转换到非欧几里得几何。
由自同构群引进射影群的两个子群，就对应两种非欧几里得几何。
罗巴切夫斯基几何的一种模型：这部分内容在学过几何基础或罗巴切夫斯基几何后，才能看懂。

八、自我测试题

判定下列图形或性质属于欧几里得几何、仿射几何或射影几何中的哪一种（要最大的），以 $E, A, P$ 分别表示。如果属于 $P$ ，试写出它的对偶。如果属于 $A$ 或 $E$ ，怎样用射影观点来解释？

(1）等轴双曲线；(2）平行；(3）点列到自身的射影变换；(4）垂直；(5）布利安雄六线形，(6）线段的中点；(7）角度；(8）二阶曲线的配极原则；(9)二阶曲线的焦点；(10）二阶曲线的准线。

怎样用射影群说明它对应着射影几何？为什么说仿射几何的内容比射影几何的内容丰富？并举例说明。
已知二级曲线 $u_2u_3+u_3u_1+u_1u_2=0,$
(1)求它所对应的二阶曲线，并判定它属于哪一个射影类，然后再判定属于哪一个仿射类；
(2)求它的中心；
(3)求它的渐近线。
试证明：一条定直线上的点关于两个常态二阶曲线的极线的交点集合是一个二阶曲线。写出它的对偶命题。
在笛卡儿直角坐标系下，已知一条双曲线的方程 $3x^2-4xy+8x-1=0,$ 试利用射影观点，求
(1)渐近线方程；
(2)斜率是 1 的直径和对应的共轭直径的方程。

九、欧氏解析几何、仿射解析几何、射影解析几何与其他（博主借助AI结合资料梳理）

在20世纪80至90年代，代数与几何课程的核心围绕这三个主题“欧氏空间的解析几何”、“仿射空间的解析几何”、“射影解析几何”展开，它们是数学系学生从具体到抽象思维训练的关键环节。但要注意，解析几何和高等代数是大一重点，仿射与射影几何多在大二或更后。同时期的数学分析、微分方程等课程同样重要，共同支撑学生的基础能力。

在20世纪80年代至90年代的中国大学数学系本科教育中，“欧氏空间的解析几何”、“高等代数（线性代数和多项式理论）”、“仿射几何与射影几何”是数学系大一、大二阶段基础代数与几何课程的核心内容，但并非全部内容，数学系还有其他课程要学习。具体为以下四点：

｜一、课程定位与内容

1、欧氏空间的解析几何（大一）

用代数方法研究欧氏空间（二维、三维）中的几何问题，如直线、平面、二次曲线、二次曲面的方程与性质；
强调坐标系、向量运算、坐标变换等工具，为后续几何与代数课程奠定基础。

2、高等代数（大一至大二）

线性代数部分：矩阵、行列式、线性方程组、向量空间、线性变换、特征值与特征向量等。
多项式理论：多项式的因式分解、根的性质、对称多项式等。

欧氏空间的解析几何与高等代数是数学系大一的代数课程核心内容，直接衔接后续的抽象代数，必须要学好为后续高阶数理课打下基础。

3、仿射几何与射影几何（大二至大三）

仿射几何：弱化距离和角度，研究几何图形在仿射变换下的不变性质（如平行性、中点）。
射影几何：进一步抽象，研究图形在射影变换下的不变性（如共线性、交比），常涉及齐次坐标和对偶原理。

这两门课程通常作为几何进阶内容，帮助学生理解不同几何体系的差异与联系。

｜二、课程的关联性

解析几何是几何与代数结合的起点，为线性代数提供几何直观。

高等代数中的线性空间和线性变换理论，为仿射与射影几何提供代数工具。

仿射几何与射影几何则是对欧氏几何的推广，体现了从具体到抽象的数学思维训练。

对于欧氏空间的解析几何、高等代数，除了博主在上一篇文章中《线代[11]｜《高等代数》刘云英（1984.9）》介绍提到的《高等代数简明教程（三卷本）》之外，还有一类书将欧氏解析几何与高等代数结合起来的著作，如：

《高等代数与解析几何》同济大学应用数学系编，2005
《高等代数与解析几何（上）》陈志杰编，2008
《高等代数与解析几何（下）》陈志杰编，2008

解析几何和高等代数不应该分开，解析几何是地基，线性代数是桥梁，高等代数是登堂入室，后续的仿射几何与射影几何是进阶，配合抽象代数、交换代数、复分析、微分几何、代数数论才能看到现代数学的一角风景——“代数几何”！！！国内的考研数学只考到线性代数，这是多么悲哀一件事呀！！！（2025.4.5 11:57）

｜三、其余基础课程

除上述三门外，大一大二还需学习：

数学分析（微积分理论）、常微分方程、复变函数（部分学校）等分析类课程。
抽象代数初步（如群、环、域的基本概念）通常在大二末或大三开设。

这些课程共同构成数学系的基础框架，代数与几何课程占比约三分之一至二分之一。

｜四、与现代课程的对比

当代数学系课程更强调抽象化与交叉性，例如：部分学校将解析几何与线性代数合并为 “线性代数与解析几何”。仿射与射影几何可能被整合到 “几何学” 或 “代数几何初步” 课程中。但核心内容（如线性代数、多项式、基础几何变换）仍保持稳定。

十、一个合格数学系毕业生（博主借助AI整理）

哪对一个本科数学系学生而言，怎么判断他/她是一个合格的数学系毕业的学生呢？

｜一、核心课程掌握情况

分析类课程：

熟练掌握数学分析（极限、连续、微积分、级数、多元函数），能解决复杂极限计算、积分证明和微分方程问题。（博主：数学分析的核心是极限，而极限的地基是不等式，即便作为数学分析的推广实变函数也逃不出不等式的束缚。 2025.4.5 12:38）
理解实变函数（测度、可积性）和复变函数（解析函数、留数定理）的基本理论。

代数类课程：

精通高等代数（线性空间、线性变换、矩阵对角化、多项式理论），能证明线性相关 / 无关性、构造基与坐标变换。
掌握抽象代数（群、环、域的基本结构，如置换群、多项式环）。

几何类课程：

熟悉解析几何（二次曲线 / 曲面分类、坐标变换）和
熟悉微分几何（曲线的曲率、曲面的曲率、联络）。
理解仿射几何与射影几何的基本变换和不变量。

其他基础课：

完成常微分方程、概率论与数理统计等课程，能建立数学模型并求解。

注意，以上仅仅是传统数学系的视角，并未包含拓扑学在内，现代拓扑学被视作低年级本科的进阶课程。分析注重度量空间的完备性、Banach 空间的弱收敛。代数注重群作用在流形上的轨道空间。几何注重曲面分类定理（亏格与欧拉示性数）。在拓扑学（尤其是点集拓扑和代数拓扑）更强调空间的连续性与连通性，研究对象比传统几何更抽象（如流形、同伦、同调）。若分析、代数、几何三类基础课程的功底不稳，切勿轻易冒进。（2025.4.5 13:04）