Eigen库几何模块深度解析与实践指南
a. Eigen几何模块概述
i. 几何模块的核心功能
在三维空间中，几何变换是描述物体位置和姿态变化的基础，其数学基础涵盖了线性代数中的矩阵运算等知识。Eigen库的几何模块为这些变换提供了高效且便捷的实现方式。
旋转、平移和缩放是三维空间中最基本的几何操作。旋转操作可通过旋转矩阵、旋转向量或四元数来表示。例如，旋转向量（轴角）定义了绕某一轴逆时针旋转一定角度，在Eigen中用Eigen::AngleAxisd表示。平移操作则使用平移向量，在Eigen里对应Eigen::Vector3d。缩放操作可对物体在各个坐标轴上进行比例缩放。
齐次坐标表示方法是将三维空间中的点和向量扩展到四维，通过引入一个额外的维度，使得旋转、平移和缩放等操作可以统一用矩阵乘法来实现。在机器人学中，刚体的运动就可以看作是一系列的旋转和平移变换的组合。例如，机器人手臂的运动可以通过不断更新其末端执行器的位姿来实现，而位姿的更新就涉及到旋转和平移操作。
在SLAM（同时定位与地图构建）和计算机视觉领域，几何模块也有着广泛的应用。在SLAM中，需要不断地估计机器人的位姿和构建环境地图，这就需要对传感器数据进行旋转和平移变换。在计算机视觉中，图像的配准、三维重建等任务也离不开几何变换。
ii. 模块架构与头文件组成
Eigen的Geometry模块有着清晰的类继承体系。它与Core模块紧密相关，Core模块提供了基本的矩阵和向量操作，而Geometry模块则在此基础上实现了各种几何变换。
Geometry模块中的核心类包括Isometry3d、Quaterniond等。Isometry3d表示三维空间中的等距变换，即只包含旋转和平移的变换，它是一个4x4的变换矩阵。Quaterniond则是四元数的表示，四元数在表示旋转时具有避免万向节锁等优点。
这些类的设计哲学是提供高效、易用且与数学概念紧密对应的接口。例如，Isometry3d的pretranslate()和rotate()方法可以方便地给平移部分和旋转矩阵赋值。同时，Geometry模块具有与OpenGL兼容的特性，这使得在进行图形渲染等操作时可以方便地与OpenGL进行交互。在使用时，只需要包含<Eigen/Geometry>头文件即可使用这些功能。
b. 核心数据结构与初始化方法
i. 旋转矩阵与旋转向量
在Eigen库中，Matrix3d和AngleAxisd是用于表示旋转的重要数据结构。Matrix3d代表一个3x3的双精度矩阵，常用于存储旋转矩阵；而AngleAxisd则以轴角的形式表示旋转，即绕某一轴旋转特定的角度。
以下是它们的构造方法及相关操作的代码示例：
#include <iostream>
#include <Eigen/Core>
#include <Eigen/Geometry>
int main() {
// 初始化旋转向量，绕Z轴旋转45度（M_PI/4弧度）
Eigen::AngleAxisd rotation_vector(M_PI / 4, Eigen::Vector3d(0, 0, 1));
// 将旋转向量转换为旋转矩阵
Eigen::Matrix3d rotation_matrix = rotation_vector.matrix();
// 也可以直接初始化旋转矩阵为单位矩阵
Eigen::Matrix3d identity_matrix = Eigen::Matrix3d::Identity();
std::cout << "Rotation Vector:" << std::endl;
std::cout << rotation_vector.axis().transpose() << " * " << rotation_vector.angle() << std::endl;
std::cout << "Rotation Matrix:" << std::endl;
std::cout << rotation_matrix << std::endl;
std::cout << "Identity Matrix:" << std::endl;
std::cout << identity_matrix << std::endl;
return 0;
}
在上述代码中，首先使用AngleAxisd构造了一个绕Z轴旋转45度的旋转向量。通过调用.matrix()成员函数，可以将旋转向量转换为旋转矩阵。同时，使用Eigen::Matrix3d::Identity()初始化了一个单位矩阵。
从计算效率上看，旋转向量在存储和某些操作上更为紧凑，例如在插值等操作中，旋转向量的计算相对简单。而旋转矩阵在进行向量变换时，直接使用矩阵乘法，计算速度较快。因此，在不同的应用场景中，可以根据具体需求选择合适的表示方法。
ii. 四元数与变换矩阵
Quaterniond是Eigen库中用于表示四元数的类，它有四种常见的构造方式：
-
默认构造函数：Eigen::Quaterniond q1;，此时四元数初始化为单位四元数。
-
从系数构造：Eigen::Quaterniond q2(w, x, y, z);，其中w是实部，x、y、z是虚部。需要注意的是，在Eigen中，四元数的存储顺序是(x, y, z, w)。
-
从旋转矩阵构造：Eigen::Quaterniond q3(rotation_matrix);，可以直接从旋转矩阵初始化四元数。
-
从旋转向量构造：Eigen::Quaterniond q4(rotation_vector);，从旋转向量初始化四元数。
以下是结合Isometry3d实例，演示pretranslate()与rotate()方法链式调用的代码：
#include <iostream>
#include <Eigen/Core>
#include <Eigen/Geometry>
int main() {
// 初始化四元数，绕Z轴旋转45度
Eigen::Quaterniond q(Eigen::AngleAxisd(M_PI / 4, Eigen::Vector3d(0, 0, 1)));
// 初始化平移向量
Eigen::Vector3d t(1, 2, 3);
// 创建等距变换矩阵
Eigen::Isometry3d T = Eigen::Isometry3d::Identity();
// 链式调用pretranslate()和rotate()方法
T.pretranslate(t).rotate(q);
std::cout << "Transformation Matrix:" << std::endl;
std::cout << T.matrix() << std::endl;
return 0;
}
在这段代码中，首先创建了一个四元数表示绕Z轴旋转45度，然后定义了一个平移向量。接着，使用Eigen::Isometry3d::Identity()初始化一个等距变换矩阵。通过链式调用pretranslate()和rotate()方法，将平移和旋转操作组合到变换矩阵中。最后输出变换矩阵。这种链式调用的方式使得代码更加简洁和易读。
c. 坐标变换与复合变换
i. 单次旋转变换实现
在Eigen库中，实现单次旋转变换有两种常见的范式：rotation_vectorv和rotation_matrixv，其中v是待变换的向量。这两种方式本质上都是将向量进行旋转操作，但在实现和使用场景上有所不同。
rotation_vectorv是基于旋转向量的变换方式。旋转向量以轴角的形式表示旋转，它在存储和某些操作上更为紧凑，适合用于插值等操作。而rotation_matrixv则是使用旋转矩阵进行变换，在进行向量变换时，直接使用矩阵乘法，计算速度较快。
以下是一个代码案例，展示了Z轴45度旋转对向量(1,0,0)的影响，并使用transpose()方法对输出进行可视化优化：
#include <iostream>
#include <Eigen/Core>
#include <Eigen/Geometry>
int main() {
// 初始化旋转向量，绕Z轴旋转45度（M_PI/4弧度）
Eigen::AngleAxisd rotation_vector(M_PI / 4, Eigen::Vector3d(0, 0, 1));
// 将旋转向量转换为旋转矩阵
Eigen::Matrix3d rotation_matrix = rotation_vector.matrix();
// 定义待变换的向量
Eigen::Vector3d v(1, 0, 0);
// 使用旋转向量进行变换
Eigen::Vector3d v_rotated_by_vector = rotation_vector * v;
// 使用旋转矩阵进行变换
Eigen::Vector3d v_rotated_by_matrix = rotation_matrix * v;
std::cout << "Original Vector: " << v.transpose() << std::endl;
std::cout << "Rotated by Vector: " << v_rotated_by_vector.transpose() << std::endl;
std::cout << "Rotated by Matrix: " << v_rotated_by_matrix.transpose() << std::endl;
return 0;
}
在上述代码中，首先定义了一个绕Z轴旋转45度的旋转向量，并将其转换为旋转矩阵。然后定义了待变换的向量v，分别使用旋转向量和旋转矩阵对其进行变换。最后使用transpose()方法将向量以行向量的形式输出，方便可视化。
ii. 复合变换矩阵构建
欧式变换矩阵是一种常见的复合变换矩阵，它包含了旋转和平移两种操作。在Eigen库中，Isometry3d类可以用于表示和构建欧式变换矩阵。
欧式变换矩阵的级联原理是将多个变换矩阵依次相乘，从而实现多个变换的组合。在Isometry3d类中，pretranslate()和translate()方法都可以用于设置平移部分，但它们的作用顺序不同。pretranslate()是在当前变换的基础上先进行平移操作，再进行后续的旋转等操作；而translate()则是在当前变换完成后再进行平移操作。
以下是一个演示包含旋转和平移的4x4矩阵构建过程的代码示例：
#include <iostream>
#include 
