什么是逻辑回归？
逻辑回归（Logistic Regression）是一个用于分类问题的统计学模型，尽管名字里有“回归”二字，它其实是用来做分类的，不是做数值预测的。
通俗易懂的理解
我们可以通过一个简单的例子来理解逻辑回归。
例子：判断一个学生是否能通过考试
假设你是一个老师，想要通过学生的学习时间（每周学习的小时数）来预测他们是否能够通过考试（通过或不通过）。为了让问题更简单，我们假设一个学生的学习时间和是否通过考试之间存在某种关系。也就是说，学习时间越多，学生通过考试的几率就越大。
我们可以把这个问题转化为分类问题：
- 学生通过考试：1
- 学生没有通过考试：0
逻辑回归是如何工作的？
逻辑回归通过一个公式来预测一个学生通过考试的概率：
- 假设有一个学生，每周学习了5个小时，逻辑回归模型会根据历史数据计算出他通过考试的概率，输出一个值在0和1之间。如果概率大于0.5，我们认为他通过考试；如果小于0.5，我们认为他没有通过考试。
逻辑回归的核心思想是概率，它预测的是某个事件发生的概率，因此它的输出值是一个介于0到1之间的数字，表示事件发生的可能性。
公式：
逻辑回归的数学公式是：
其中：
- P(y = 1 | x)) 是事件发生的概率（例如学生通过考试的概率）。
- w0, w1 是模型的参数，模型会根据历史数据来学习这些参数。
- x 是输入特征（例如学习时间）。
这个公式是 Sigmoid函数，它会将任何一个输入值映射到0和1之间。
举个具体的例子
假设我们有以下的数据集：
| 学习时间（小时） | 是否通过考试（0或1） |
|---|---|
| 1 | 0 |
| 2 | 0 |
| 3 | 0 |
| 4 | 1 |
| 5 | 1 |
| 6 | 1 |
我们要根据这些数据来训练一个逻辑回归模型，预测一个学生学习5个小时是否能通过考试。
代码示例（Python）
我们可以使用 scikit-learn 库来实现逻辑回归。首先，你需要安装 scikit-learn：
pip install scikit-learn
接下来是代码：
import numpy as np
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib import rcParams
# 设置字体为支持中文的字体
rcParams['font.family'] = 'SimHei'
rcParams['axes.unicode_minus'] = False
# 学习时间（小时）和考试结果（通过或不通过）
X = np.array([[1], [2], [3], [4], [5], [6]]) # 学习时间
y = np.array([0, 0, 0, 1, 1, 1]) # 是否通过考试
# 创建逻辑回归模型
model = LogisticRegression()
# 训练模型
model.fit(X, y)
# 使用模型预测学习5小时的学生通过考试的概率
probability = model.predict_proba([[5]])[0, 1] # 获取通过考试的概率
# 输出概率
print(f"学习5小时的学生通过考试的概率是：{probability:.2f}")
# 可视化数据
plt.scatter(X, y, color='red', label='实际数据')
plt.plot(X, model.predict_proba(X)[:, 1], color='blue', label='逻辑回归预测概率')
plt.xlabel('学习时间（小时）')
plt.ylabel('通过考试（0或1）')
plt.legend()
plt.show()
代码解释：
- 数据准备：X 是学习时间的数据，y 是是否通过考试的标签（0表示不通过，1表示通过）。
- 创建模型：LogisticRegression()创建了一个逻辑回归模型。
- 训练模型：model.fit(X, y) 通过数据 X 和 y 来训练模型。
- 预测：model.predict_proba([[5]])会返回一个数组，表示学习5小时学生通过考试的概率。我们取数组中的第二个值（通过考试的概率，第一个值是未通过的概率）。
- 可视化：我们用红色点表示实际数据，蓝色曲线表示逻辑回归模型预测的概率。
输出示例：
学习5小时的学生通过考试的概率是：0.84
解释结果：
- 经过训练后，模型会输出一个概率值，例如0.84，表示学习5小时的学生有84%的概率通过考试。
- 通过这类概率预测，我们可以做出决策，比如设定一个阈值（比如0.5），如果概率大于0.5，就认为学生通过考试；如果小于0.5，就认为学生没有通过考试。
总结：
- 逻辑回归是一个用于分类的问题，它的输出是一个概率值。
- 它可以帮助我们预测某个事件发生的概率，例如预测学生是否通过考试。
- 逻辑回归的核心是 Sigmoid 函数，它会把预测值压缩到0和1之间。
希望这个例子和代码能帮助你更好地理解逻辑回归！
