素数筛法是一种用于高效生成素数的算法。常见的素数筛法包括埃拉托斯特尼筛法（埃氏筛）和欧拉筛（线性筛）。下面我们将详细讲解这两种筛法的思想：
一、 埃拉托斯特尼筛法（埃氏筛）
思想：
埃氏筛的基本思想是从2开始，将每个素数的倍数标记为合数，直到筛完所有小于等于给定范围的数。具体步骤如下：
-
初始化一个布尔数组
isPrime[]，大小为n+1，并将所有元素初始化为true。 -
从2开始遍历到
sqrt(n)，如果当前数i是素数（即isPrime[i]为true），则将其所有倍数标记为合数（即isPrime[j]设为false）。 -
最后，所有
isPrime[i]为true的i即为素数。
时间复杂度：
埃氏筛的时间复杂度为 O(n log log n)。
未优化代码实现：
const int N = 1e7; // 定义空间大小，1e7 约 10MB
int prime[N+1]; // 存放素数，记录 visit[i] = false 的项
bool visit[N+1]; // visit[i] = true 表示 i 被筛掉，不是素数
int E_sieve(int n) { // 埃氏筛法，计算 [2,n] 内的素数
int k = 0; // 统计素数的个数
for(int i = 0; i <= n; i++) visit[i] = false; // 初始化
for(int i = 2; i <= n; i++) { // 从第一个素数 2 开始
if(!visit[i]) { // 如果 i 是素数
prime[++k] = i; // 将 i 存入 prime 数组
for(int j = 2*i; j <= n; j += i) // 筛掉 i 的倍数
visit[j] = true; // 标记为非素数
}
}
return k; // 返回素数的个数
}上述代码有两处可以优化：
（1）用来做筛选的数2、3、5等，最多到sqrt（n）就可以了。例如，求n=100以内的素数，用2、3、5、7筛选就足够了。其原理和试除法一样；非素数k，必定可以被一个小于或等于sqrt（k）的素数整除，被筛掉。这个优化很大，缩短了时间复杂度。
（2）for(int j = 2*i; j <= n; j += i)中的j=2*i优化为j=i*i。例如i=5，2*5,3*5,4*5已经在前面i=2,3,4的时候筛过了。这个优化较小，形如一个正方形的数组矩阵被砍成一个三角形。
优化代码实现：
int E_sieve(int n) {
for(int i = 0; i <= n; i++) visit[i] = false; // 初始化
for(int i = 2; i <= sqrt(n); i++) // 只需筛到 sqrt(n)
if(!visit[i]) // 如果 i 是素数
for(int j = i * i; j <= n; j += i) // 从 i^2 开始筛
visit[j] = true; // 标记为非素数
int k = 0;
for(int i = 2; i <= n; i++)
if(!visit[i]) prime[++k] = i; // 存素数
return k; // 返回素数的个数
}埃氏筛的计算复杂度:
2的倍数被筛掉,计算n/2次；3的倍数被掉，计算n/3次；5的倍数被筛掉，计算n/5次；……；总计算量等于n/2+n/3+n/5+n/7+n/11+…，约为O(n log log n)。其计算量很接近线性的(n)，已经相当好了。
空间复杂度:
代码用到了bool visit[N+1]数组，当N=10^7时约10MB。由于埃氏筛只能用于处理约n=10^7的问题,10MB空间是够用的。
埃氏筛可以计算出[2,n]内的素数，不过更常见的应用场景是计算[L,R]区间内的素数，L、R极大，但R一L较小，此时也可以用埃氏筛。
最终C++代码实现：
#include <iostream> // 引入输入输出流库，用于标准输入输出（如cout）
#include <vector> // 引入向量库，用于动态数组的实现
#include <cmath> // 引入数学库，用于数学函数（如sqrt）
// 定义埃拉托斯特尼筛法函数，参数n表示筛选素数的范围
void sieveOfEratosthenes(int n) {
// 创建一个大小为n+1的布尔向量isPrime，初始值为true，表示所有数默认是素数
std::vector<bool> isPrime(n + 1, true);
// 0和1不是素数，手动设置为false
isPrime[0] = isPrime[1] = false;
// 从2开始遍历到sqrt(n)，因为大于sqrt(n)的数的倍数已经被更小的素数标记过了
for (int i = 2; i <= std::sqrt(n); ++i) {
// 如果当前数i是素数（isPrime[i]为true）
if (isPrime[i]) {
// 从i的平方开始，将i的所有倍数标记为合数（false）
// 因为小于i的倍数已经被更小的素数标记过了
for (int j = i * i; j <= n; j += i) {
isPrime[j] = false;
}
}
}
// 输出所有素数
for (int i = 2; i <= n; ++i) {
// 如果isPrime[i]为true，说明i是素数，输出i
if (isPrime[i]) {
std::cout << i << " ";
}
}
// 输出换行符，使结果更美观
std::cout << std::endl;
}
// 主函数
int main() {
int n = 50; // 定义筛选范围的上限为50
sieveOfEratosthenes(n); // 调用埃拉托斯特尼筛法函数
return 0; // 程序正常结束
}二、 欧拉筛（线性筛）
思想：
欧拉筛是一种改进的筛法，能够在 O(n) 的时间复杂度内筛出所有素数。其核心思想是让每个合数只被其最小的质因数筛掉，从而避免重复标记。具体步骤如下：
-
初始化一个布尔数组
isPrime[]，大小为n+1，并将所有元素初始化为true。 -
初始化一个数组
primes[]用于存储素数。 -
从2开始遍历到
n，如果当前数i是素数，则将其加入primes[]。 -
对于每个素数
primes[j]，如果i * primes[j]超过n则停止；否则将isPrime[i * primes[j]]设为false。如果i能被primes[j]整除，则停止内层循环。
时间复杂度：
欧拉筛的时间复杂度为 O(n)。
C++实现：
#include <iostream>
#include <vector>
void eulerSieve(int n) {
std::vector<bool> isPrime(n + 1, true);
std::vector<int> primes;
for (int i = 2; i <= n; ++i) {
if (isPrime[i]) {
primes.push_back(i);
}
for (int j = 0; j < primes.size() && i * primes[j] <= n; ++j) {
isPrime[i * primes[j]] = false;
if (i % primes[j] == 0) {
break;
}
}
}
// 输出所有素数
for (int prime : primes) {
std::cout << prime << " ";
}
std::cout << std::endl;
}
int main() {
int n = 50;
eulerSieve(n);
return 0;
}总结：
-
埃氏筛：简单易懂，时间复杂度为
O(n log log n)，适合用于较小的范围。 -
欧拉筛：时间复杂度为
O(n)，适合用于较大的范围，且避免了重复标记。
三、 例题讲解
P1835 素数密度 - 洛谷
算法代码：
#include<bits/stdc++.h> // 包含标准库中的所有头文件
using namespace std; // 使用标准命名空间
const int N=1e6+1; // 定义常量 N，表示数组的最大大小
int prime[50000]; // 用于存储素数的数组
bool vis[N+1]; // 用于标记是否为素数的布尔数组
int E_sieve(int n) // 埃氏筛法函数，用于找出小于等于 n 的所有素数
{
for(int i=0;i<=n;i++) // 初始化 vis 数组
{
vis[i]=false; // 将所有元素初始化为 false，表示初始时都认为是素数
}
for(int i=2;i<=sqrt(n);i++) // 从 2 开始筛除非素数
{
if(!vis[i]) // 如果 i 是素数
{
for(int j=i*i;j<=n;j+=i) // 筛除 i 的所有倍数
{
vis[j]=true; // 标记为非素数
}
}
}
int k=0; // 用于统计素数的个数
for(int i=2;i<=n;i++) // 遍历所有数
{
if(!vis[i]) // 如果 i 是素数
{
prime[++k]=i; // 将素数存入 prime 数组
}
}
return k; // 返回素数的个数
}
int main() // 主函数
{
int cnt=E_sieve(50000); // 调用埃氏筛法函数，找出小于等于 50000 的所有素数，并返回素数的个数
int L,R; // 定义区间 [L, R]
cin>>L>>R; // 输入区间 [L, R]
if(L==1) // 如果 L 为 1，将其调整为 2，因为 1 不是素数
{
L=2;
}
memset(vis,0,sizeof(vis)); // 初始化 vis 数组为 0
for(int i=1;i<=cnt;i++) // 遍历所有素数
{
int p=prime[i]; // 获取当前素数
long long start; // 定义筛除的起始位置
if((L+R-1)/p*p>2*p) // 计算起始位置
{
start=(L+p-1)/p*p;
}
else
{
start=2*p;
}
for(long long j=start;j<=R;j+=p) // 筛除当前素数的倍数
{
vis[j-L+1]=true; // 标记为非素数
}
}
int ans=0; // 用于统计区间 [L, R] 内的素数个数
for(int i=1;i<=R-L+1;++i) // 遍历区间 [L, R]
{
if(!vis[i]) // 如果当前数是素数
{
ans++; // 素数个数加 1
}
}
cout<<ans; // 输出区间 [L, R] 内的素数个数
}代码思路
这段代码的主要功能是使用埃氏筛法找出给定区间 [L, R] 内的所有素数，并输出该区间内素数的个数。以下是代码的思路和实现步骤：
1. 包含头文件和定义常量
-
包含标准库头文件
<bits/stdc++.h>，以便使用所有标准库函数。 -
定义常量
N表示数组的最大大小，prime数组用于存储素数，vis数组用于标记是否为素数。
2. 埃氏筛法函数 E_sieve
-
功能：找出小于等于
n的所有素数。 -
实现步骤：
-
初始化
vis数组，将所有元素标记为false，表示初始时所有数都被认为是素数。 -
从 2 开始遍历到
sqrt(n)，筛除非素数：-
如果当前数
i是素数（vis[i] == false），则筛除i的所有倍数（从i*i开始，步长为i）。 -
将筛除的数标记为
true，表示它们是非素数。
-
-
遍历所有数，将未被筛除的数（即素数）存入
prime数组。 -
返回素数的个数。
-
3. 主函数 main
-
功能：计算区间
[L, R]内的素数个数。 -
实现步骤：
-
调用
E_sieve函数，找出小于等于 50000 的所有素数，并返回素数的个数cnt。 -
输入区间
[L, R]。 -
如果
L == 1，将其调整为 2，因为 1 不是素数。 -
初始化
vis数组为 0，用于标记区间[L, R]内的数是否为素数。 -
遍历所有素数
prime[i]：-
计算当前素数
p在区间[L, R]内的起始筛除位置start。 -
从
start开始，筛除p的所有倍数，并将这些数标记为非素数。
-
-
统计区间
[L, R]内未被标记的数（即素数）的个数ans。 -
输出
ans。
-
4. 关键点
-
埃氏筛法：用于高效找出小于等于
n的所有素数。 -
区间筛法：利用埃氏筛法找出的素数，筛除区间
[L, R]内的非素数。 -
起始位置计算：
-
对于每个素数
p，筛除的起始位置为max(p * 2, (L + p - 1) / p * p)。 -
这样可以避免重复筛除已经在之前步骤中处理过的数。
-
5. 代码优化
-
空间优化：使用
vis数组标记区间[L, R]内的数是否为素数，而不是整个范围[1, N]。 -
时间优化：只筛除区间
[L, R]内的数，避免不必要的计算。
代码流程图
-
初始化：
-
定义常量、数组和变量。
-
调用
E_sieve函数，找出小于等于 50000 的所有素数。
-
-
输入区间
[L, R]：-
如果
L == 1，调整为L = 2。
-
-
筛除区间
[L, R]内的非素数：-
遍历所有素数
prime[i]。 -
计算起始位置
start。 -
筛除
p的所有倍数，并标记为非素数。
-
-
统计素数个数：
-
遍历区间
[L, R]，统计未被标记的数的个数。
-
-
输出结果：
-
输出区间
[L, R]内的素数个数。
-
定位的数学思路：（难想咯）
