本卷考查内容:高中课程内容及拓展。
本卷考查形式:书面作答(客观题18小题+解答题4题)。
卷首语:中科大少年班、创新班每年大规模招录在数理成绩优异的中学学生。其中初试数学题在高考基础上略有拓展,难度又低于联赛一试,考法灵活,需要考生极其深刻的洞察力和问题分析能力。本卷仿往年真题卷而命制,但不拘泥于形式,希望在考生的备考过程中起到良好作用。
一、填空题(共18小题)
1、设
x
=
202
5
2025
x=2025^{2025}
x=20252025,则
lg
lg
lg
x
lg
x
−
lg
lg
x
lg
lg
x
\lg\lg\lg x^{\lg x}-\lg\lg x^{\lg\lg x}
lglglgxlgx−lglgxlglgx+
lg
x
lg
lg
lg
x
−
x
lg
lg
lg
lg
x
=
\lg x^{\lg\lg\lg x}-x^{\lg\lg\lg\lg x}=
lgxlglglgx−xlglglglgx=___.
【答案】0
2、不等式
m
i
n
{
sin
x
,
cos
x
}
<
m
i
n
{
1
−
sin
x
,
1
−
cos
x
}
min\lbrace\sin x,\cos x \rbrace\lt min\lbrace1-\sin x,1-\cos x\rbrace
min{sinx,cosx}<min{1−sinx,1−cosx} 的解集为___.
【答案】
{
x
∣
−
3
π
2
+
2
k
π
<
x
<
2
k
π
,
k
∈
Z
}
\lbrace x|-\frac{3\pi}{2}+2k\pi\lt x\lt 2k\pi,k\in Z\rbrace
{x∣−23π+2kπ<x<2kπ,k∈Z}
3、点
P
P
P 在
x
x
x 轴上运动,已知点
A
(
0
,
1
)
、
B
(
1
,
−
2
)
、
C
(
4
,
3
)
A(0,1)、B(1,-2)、C(4,3)
A(0,1)、B(1,−2)、C(4,3),则
∣
P
A
∣
+
∣
P
B
∣
+
∣
P
C
∣
\left|PA\right|+\left|PB\right|+\left|PC\right|
∣PA∣+∣PB∣+∣PC∣ 的最小值为___.
【答案】
2
+
4
2
2+4\sqrt{2}
2+42
4、已知圆锥的表面积为
π
\pi
π,则其体积的最大值为____.
【答案】
2
12
π
\frac{\sqrt{2}}{12}\pi
122π
5、设
A
,
B
A,B
A,B 是随机事件,则
∣
P
(
A
B
)
−
P
(
A
)
P
(
B
)
∣
\left|P(AB)-P(A)P(B)\right|
∣P(AB)−P(A)P(B)∣ 的最大值为___.
【答案】
1
4
\frac{1}{4}
41
6、设
A
,
B
A,B
A,B 是随机事件且
P
(
A
∣
B
)
+
P
(
B
∣
C
)
+
P
(
C
∣
A
)
=
1
P(A|B)+P(B|C)+P(C|A)=1
P(A∣B)+P(B∣C)+P(C∣A)=1,则
P
(
A
)
+
P
(
B
)
+
P
(
C
)
P(A)+P(B)+P(C)
P(A)+P(B)+P(C) 的取值范围为___.
【答案】
(
0
,
2
)
(0,2)
(0,2)
7、已知点
A
(
−
1
,
0
)
,
B
(
1
,
0
)
,
C
(
0
,
1
)
A(-1,0),B(1,0),C(0,1)
A(−1,0),B(1,0),C(0,1),直线
y
=
k
x
+
b
(
k
>
0
)
y=kx+b(k\gt0)
y=kx+b(k>0)将
△
A
B
C
\triangle{ABC}
△ABC 分割为面积相等的两部分,则
b
b
b 的取值范围为___.
【答案】
(
1
−
2
2
,
1
2
)
(1-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{1}{2})
(1−22,21)
8、已知实数
0
<
b
<
1
0\lt b\lt 1
0<b<1,
0
<
a
<
π
4
0\lt a\lt \frac{\pi}{4}
0<a<4π,
x
=
(
sin
a
)
log
b
sin
a
x=(\sin a)^{\log_{b}{\sin a}}
x=(sina)logbsina,
y
=
(
cos
a
)
log
b
cos
a
y=(\cos a)^{\log_{b}{\cos a}}
y=(cosa)logbcosa,
z
=
(
sin
a
)
log
b
cos
a
z=(\sin a)^{\log_{b}{\cos a}}
z=(sina)logbcosa,
w
=
(
cos
a
)
log
b
sin
a
w=(\cos a)^{\log_{b}{\sin a}}
w=(cosa)logbsina,试比较
x
,
y
,
z
,
w
x,y,z,w
x,y,z,w 的大小关系:___.
【答案】
x
<
z
=
w
<
y
x\lt z=w\lt y
x<z=w<y
9、把一根绳子随机分成三段,则这三段能构成三角形的概率是___.
【答案】
1
4
\frac{1}{4}
41
10、一个正方体的展开图共有___种.(旋转、翻转后全等的图形视作一种)
【答案】11
11、若方程
sin
(
a
cos
x
)
=
cos
(
b
sin
x
)
\sin(a\cos x)=\cos(b\sin x)
sin(acosx)=cos(bsinx) 无实根,则
a
2
+
b
2
a^2+b^2
a2+b2 的取值范围为___.
【答案】
[
0
,
π
2
4
)
[0,\frac{\pi^{2}}{4})
[0,4π2)
12、设
a
1
,
a
2
,
⋯
,
a
2025
a_1,a_2,\cdots,a_{2025}
a1,a2,⋯,a2025 和
b
1
,
b
2
,
⋯
,
b
2025
b_1,b_2,\cdots,b_{2025}
b1,b2,⋯,b2025 是4050个不等实数,则两函数
y
=
∣
x
−
a
1
∣
+
∣
x
−
a
2
∣
+
⋯
+
∣
x
−
a
2025
∣
y=\left|x-a_1\right|+\left|x-a_2\right|+\cdots+\left|x-a_{2025}\right|
y=∣x−a1∣+∣x−a2∣+⋯+∣x−a2025∣ 与
y
=
∣
x
−
b
1
∣
+
∣
x
−
b
2
∣
+
⋯
+
∣
x
−
b
2025
∣
y=\left|x-b_1\right|+\left|x-b_2\right|+\cdots+\left|x-b_{2025}\right|
y=∣x−b1∣+∣x−b2∣+⋯+∣x−b2025∣ 的图象至多有___个公共点。
【答案】2025
13、半径为 1 的小球在棱长为
4
6
4\sqrt{6}
46 的四面体容器内自由关东,则小球不可能接触到的容器内壁的面积为___.
【答案】
72
3
72\sqrt{3}
723
14、点
A
,
B
,
C
(
A
≠
B
≠
C
)
A,B,C(A\ne B\ne C)
A,B,C(A=B=C) 在抛物线
y
=
x
2
y=x^{2}
y=x2 上,
R
R
R 为
△
A
B
C
\triangle{ABC}
△ABC 的外接圆半径,则
R
R
R 的取值范围为___.
【答案】
(
1
2
,
+
∞
)
(\frac{1}{2},+\infty)
(21,+∞)
15、已知函数
f
:
R
+
⟶
R
+
f:R_{+}\longrightarrow R_{+}
f:R+⟶R+ 单调,且对任意
x
,
y
∈
R
+
x,y\in R_{+}
x,y∈R+,
x
f
(
y
)
−
y
f
(
x
)
≥
(
x
2
−
y
2
)
f
(
x
)
f
(
y
)
xf(y)-yf(x)\geq(x^2-y^2)f(x)f(y)
xf(y)−yf(x)≥(x2−y2)f(x)f(y),则
f
(
1
×
2
)
+
f
(
2
×
3
)
+
⋯
+
f
(
2024
×
2025
)
f(1\times2)+f(2\times3)+\cdots+f(2024\times2025)
f(1×2)+f(2×3)+⋯+f(2024×2025) 的值为____.
【答案】
2024
2025
\frac{2024}{2025}
20252024
16、设集合
A
、
B
、
C
A、B、C
A、B、C 满足
A
∪
B
∪
C
=
{
1
,
2
,
⋯
,
2025
}
A\cup B\cup C=\lbrace1,2,\cdots,2025\rbrace
A∪B∪C={1,2,⋯,2025},则满足条件的有序集合对
(
A
,
B
,
C
)
(A,B,C)
(A,B,C) 共有___对。
【答案】
7
2025
7^{2025}
72025
17、设
a
a
a 为空间内一平面,一个棱长为 1 的正方体在
a
a
a 上的投影为
S
S
S,则
S
S
S 的最大值为___.
【答案】
3
\sqrt{3}
3
18、一次变换可以调换字母串中相邻两个字母额顺序,譬如一次变换:
A
B
⟶
B
A
,
A
B
C
⟶
A
C
B
AB\longrightarrow BA,ABC\longrightarrow ACB
AB⟶BA,ABC⟶ACB,则要将
A
B
C
D
E
F
G
ABCDEFG
ABCDEFG 变成
G
F
E
D
C
B
A
GFEDCBA
GFEDCBA 至少需要___次变换。
【答案】21
二、解答题(共4题)
19、已知
sin
x
+
sin
y
+
sin
z
s
i
n
(
x
+
y
+
z
)
=
cos
x
+
cos
y
+
cos
z
cos
(
x
+
y
+
z
)
=
a
\frac{\sin x+\sin y+\sin z}{sin(x+y+z)}=\frac{\cos x+\cos y+\cos z}{\cos(x+y+z)}=a
sin(x+y+z)sinx+siny+sinz=cos(x+y+z)cosx+cosy+cosz=a,证明:
cos
(
x
+
y
)
+
cos
(
y
+
z
)
cos
(
z
+
x
)
=
a
\cos(x+y)+\cos(y+z)\cos(z+x)=a
cos(x+y)+cos(y+z)cos(z+x)=a.
20、设函数:
f
:
R
⟶
R
+
f:R\longrightarrow R_{+}
f:R⟶R+ 单调递增,证明:存在
x
o
∈
R
x_o\in R
xo∈R,使得
f
(
x
0
+
1
f
(
x
0
)
)
<
2
f
(
x
0
)
f(x_0+\frac{1}{f(x_0)})\lt2f(x_0)
f(x0+f(x0)1)<2f(x0).
21、设
{
a
,
b
}
\lbrace a,b \rbrace
{a,b} 和
{
c
,
d
}
\lbrace c,d \rbrace
{c,d} 分别是两个矩形的长与宽,且
a
<
c
<
d
<
b
a\lt c \lt d\lt b
a<c<d<b,证明:第一个矩形能放入第二个矩形当且仅当
(
b
c
−
a
d
)
2
+
(
b
d
−
a
c
)
2
≥
(
b
2
−
a
2
)
2
(bc-ad)^2+(bd-ac)^2\geq(b^2-a^2)^2
(bc−ad)2+(bd−ac)2≥(b2−a2)2.
22、点
D
,
E
,
f
D,E,f
D,E,f 分别在
△
A
B
C
\triangle{ABC}
△ABC 的边
B
C
,
C
A
,
A
B
BC,CA,AB
BC,CA,AB 上,记
△
A
F
E
、
△
B
D
F
、
△
C
E
D
、
△
D
E
F
\triangle{AFE}、\triangle{BDF}、\triangle{CED}、\triangle{DEF}
△AFE、△BDF、△CED、△DEF 的面积分别为
α
、
β
、
γ
、
δ
\alpha、\beta、\gamma、\delta
α、β、γ、δ,证明:
m
i
n
{
α
,
β
,
γ
}
<
δ
min\lbrace \alpha,\beta,\gamma\rbrace\lt\delta
min{α,β,γ}<δ
P.S.该试卷的试题和答案均来自网络,博主仅作收录,题目与答案请自行甄别。「2025.3.16 18:32」