非零初始条件系统的传递函数分析

news2025/3/16 5:31:48

非零初始条件系统的传递函数分析

在传递函数的定义中,通常假设系统满足零初始条件。然而在实际应用中,很多系统需要处理非零初始状态。为了探讨这一问题,我们以一个一阶微分方程为例进行分析。

一、一阶系统的分析

考虑以下一阶微分方程:
d x ( t ) d t + a x ( t ) = u ( t ) \frac{dx(t)}{dt} + ax(t) = u(t) dtdx(t)+ax(t)=u(t)

对其两边进行拉普拉斯变换,根据线性微分方程的性质,可得:
L [ d x ( t ) d t + a x ( t ) ] = L [ u ( t ) ] \mathcal{L}\left[\frac{dx(t)}{dt} + ax(t)\right] = \mathcal{L}[u(t)] L[dtdx(t)+ax(t)]=L[u(t)]
展开得到:
s X ( s ) − x ( 0 ) + a X ( s ) = U ( s ) sX(s) - x(0) + aX(s) = U(s) sX(s)x(0)+aX(s)=U(s)

1. 零初始条件的情况

当初始条件 x ( 0 ) = 0 x(0) = 0 x(0)=0时,上式简化为:
s X ( s ) + a X ( s ) = U ( s ) sX(s) + aX(s) = U(s) sX(s)+aX(s)=U(s)
系统的传递函数可定义为:
G ( s ) = X ( s ) U ( s ) = 1 s + a G(s) = \frac{X(s)}{U(s)} = \frac{1}{s + a} G(s)=U(s)X(s)=s+a1

2. 非零初始条件的情况

当初始条件 x ( 0 ) ≠ 0 x(0) \neq 0 x(0)=0时,上式变为:
s X ( s ) + a X ( s ) = U ( s ) + x ( 0 ) sX(s) + aX(s) = U(s) + x(0) sX(s)+aX(s)=U(s)+x(0)

我们定义一个新的系统输入:
U 1 ( s ) = U ( s ) + x ( 0 ) U_1(s) = U(s) + x(0) U1(s)=U(s)+x(0)
代入后可以得到传递函数:
G ( s ) = X ( s ) U 1 ( s ) = 1 s + a G(s) = \frac{X(s)}{U_1(s)} = \frac{1}{s + a} G(s)=U1(s)X(s)=s+a1

可以看出,无论系统是否具有初始条件,其传递函数形式都是一致的。 在非零初始条件的情况下,系统的输入中会多出一个等于初始条件的附加项 x ( 0 ) x(0) x(0)

二、非零初始条件的物理意义

根据上述分析,非零初始条件的拉普拉斯变换为 x ( 0 ) x(0) x(0),其拉普拉斯逆变换为:
L − 1 [ x ( 0 ) ] = x ( 0 ) δ ( t ) \mathcal{L}^{-1}[x(0)] = x(0)\delta(t) L1[x(0)]=x(0)δ(t)

其中, δ ( t ) \delta(t) δ(t)是单位冲激函数,表示在极短的时间内释放一个单位能量。将其乘以系数 x ( 0 ) x(0) x(0)后,可以理解为瞬间施加了 x ( 0 ) x(0) x(0)个单位的能量。对于系统而言,这种瞬间施加的能量不会影响到系统的稳定性或特征分析。

三、系统框图分析

1. 零初始条件系统的框图

→ U ( s ) G ( s ) = 1 s + a → X ( s ) \xrightarrow{U(s)} \boxed{G(s)=\frac{1}{s+a}} \xrightarrow{X(s)} U(s) G(s)=s+a1X(s)

2. 非零初始条件系统的框图

→ U ( s ) → x ( 0 ) G ( s ) = 1 s + a → X ( s ) \begin{array}{c} \xrightarrow{U(s)} \\ \xrightarrow{x(0)} \end{array} \boxed{G(s)=\frac{1}{s+a}} \xrightarrow{X(s)} U(s) x(0) G(s)=s+a1X(s)

四、总结

从上述框图可以看出,无论是否具有初始条件,系统的传递函数形式均相同。非零初始条件仅在输入中引入了一项与初始状态相关的附加能量。对于高阶系统,其非零初始条件的处理思想与一阶系统一致,均可理解为瞬间赋予系统的“能量”。 这种能量的引入不会影响系统的稳定性与特征分析,但在特定分析场景中可能需要单独考虑其影响。

%% 非零初始条件系统响应分析
clc; clear; close all;

%% 系统参数定义
a = 2;          % 系统参数
x0 = 1;         % 非零初始条件
t = 0:0.01:5;   % 时间向量(0到5秒,步长0.01)

%% 创建传递函数模型
s = tf('s');
G = 1/(s + a);  % 系统传递函数

%% 场景1:零初始条件下的阶跃响应
figure;
step(G, t);     % 绘制阶跃响应
title('零初始条件下的阶跃响应');
grid on;

%% 场景2:非零初始条件下的零输入响应(自然响应)
zero_input_response = x0 * exp(-a * t); % 解析解:x0*e^{-at}

figure;
plot(t, zero_input_response, 'LineWidth', 1.5);
title('非零初始条件下的零输入响应 (x(0)=1, u(t)=0)');
xlabel('时间 (秒)');
ylabel('x(t)');
grid on;

%% 场景3:非零初始条件下的阶跃响应(叠加法)
% 计算零状态阶跃响应
[step_response, t_step] = step(G, t);

% 总响应 = 零输入响应 + 零状态响应
total_response_superposition = zero_input_response' + step_response;

% 绘制叠加结果
figure;
plot(t, total_response_superposition, 'LineWidth', 1.5);
title('非零初始条件下的总响应 (叠加法)');
xlabel('时间 (秒)');
ylabel('x(t)');
grid on;

%% 场景4:状态空间模型直接计算(验证一致性)
% 转换为状态空间模型
sys_ss = ss(G); % 系统状态空间表示

% 定义输入信号(阶跃信号)
u = ones(size(t)); % u(t) = 1 的数组

% 计算带初始条件的响应
[total_response_ss, t_ss, x_state] = lsim(sys_ss, u, t, x0);

% 绘制状态空间方法结果
figure;
plot(t_ss, total_response_ss, 'r--', 'LineWidth', 1.5);
title('状态空间法计算的非零初始条件响应');
xlabel('时间 (秒)');
ylabel('x(t)');
grid on;

%% 场景5:方法对比(叠加法 vs 状态空间法)
figure;
hold on;
plot(t, total_response_superposition, 'b', 'LineWidth', 1.5);
plot(t_ss, total_response_ss, 'r--', 'LineWidth', 1);
legend('叠加法', '状态空间法');
title('响应方法对比');
xlabel('时间 (秒)');
ylabel('x(t)');
grid on;
hold off;

% 计算两种方法的最大误差
error = max(abs(total_response_superposition - total_response_ss));
disp(['最大绝对误差: ', num2str(error)]);

%% 场景6:等效输入法(将初始条件视为冲激输入)
% 构造等效输入 u_equiv(t) = u(t) + x0*δ(t)
delta = zeros(size(t));        
delta(1) = x0/(t(2)-t(1));    % 离散冲激近似(强度x0)
u_equiv = u + delta;           % 等效输入信号

% 计算等效输入的零状态响应
equiv_response = lsim(G, u_equiv, t);

% 对比等效输入法与叠加法
figure;
hold on;
plot(t, total_response_superposition, 'b', 'LineWidth', 1.5);
plot(t, equiv_response, 'g--', 'LineWidth', 1);
legend('叠加法', '等效输入法');
title('等效输入法对比');
xlabel('时间 (秒)');
ylabel('x(t)');
grid on;
hold off;

本文来自互联网用户投稿,该文观点仅代表作者本人,不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如若转载,请注明出处:http://www.coloradmin.cn/o/2315809.html

如若内容造成侵权/违法违规/事实不符,请联系多彩编程网进行投诉反馈,一经查实,立即删除!

相关文章

9.贪心算法

简单贪心 1.P10452 货仓选址 - 洛谷 #include<iostream> #include<algorithm> using namespace std;typedef long long LL; const int N 1e510; LL a[N]; LL n;int main() {cin>>n;for(int i 1;i < n;i)cin>>a[i];sort(a1,a1n);//排序 LL sum 0…

大模型训练全流程深度解析

前些天发现了一个巨牛的人工智能学习网站&#xff0c;通俗易懂&#xff0c;风趣幽默&#xff0c;忍不住分享一下给大家。点击跳转到网站。https://www.captainbed.cn/north 文章目录 1. 大模型训练概览1.1 训练流程总览1.2 关键技术指标 2. 数据准备2.1 数据收集与清洗2.2 数据…

每日一题---单词搜索(深搜)

单词搜索 给出一个二维字符数组和一个单词&#xff0c;判断单词是否在数组中出现&#xff0c; 单词由相邻单元格的字母连接而成&#xff0c;相邻单元指的是上下左右相邻。同一单元格的字母不能多次使用。 数据范围&#xff1a; 0 < 行长度 < 100 0 < 列长度 <…

插入排序c++

插入排序的时间复杂度为O&#xff08;N^2&#xff09;&#xff0c;和冒泡排序的时间复杂度相同&#xff0c;但是在某些情况下插入排序会更优。 插入排序的原理是&#xff1a;第1次在0~0范围内排序&#xff0c;第2次在0~1范围内排序&#xff0c;第3次在0~2范围内排序……相当于…

Swagger 从 .NET 9 中删除:有哪些替代方案

微软已经放弃了对 .NET 9 中 Swagger UI 包 Swashbuckle 的支持。他们声称该项目“不再由社区所有者积极维护”并且“问题尚未得到解决”。 这意味着当您使用 .NET 9 模板创建 Web API 时&#xff0c;您将不再拥有 UI 来测试您的 API 端点。 我们将调查是否可以在 .NET 9 中使用…

嵌入式八股ARM篇

前言 ARM篇主要介绍一下寄存器和中断机制,至于汇编这一块…还请大家感兴趣自行学习 1.寄存器 R0 - R3 R4 - R11 寄存器 R0 - R3一般用作函数传参 R4 - R11用来保存程序运算的中间结果或函数的局部变量 在函数调用过程中 注意在发生异常的时候 cortex-M0架构会自动将R0-R3压入…

使用DeepSeek和墨刀AI,写PRD文档、画原型图的思路、过程及方法

使用DeepSeek和墨刀AI&#xff0c;写PRD文档、画原型图的思路、过程及方法 现在PRD文档要如何写更高效、更清晰、更完整&#xff1f; 还是按以前的思路写PRD&#xff0c;就还是以前的样子。 现在AI这么强大&#xff0c;产品经理如何使用DeepSeek写PRD文档&#xff0c;产品经…

【VUE2】第五期——VueCli创建项目、Vuex多组件共享数据、json-server——模拟服务端api

黑马程序员视频地址&#xff1a;091-vuex的基本认知_哔哩哔哩_bilibilihttps://www.bilibili.com/video/BV1HV4y1a7n4?vd_source0a2d366696f87e241adc64419bf12cab&spm_id_from333.788.videopod.episodes&p91 目录 1 VueCli 自定义创建项目 2 Eslint代码规范 2.1 规…

rpmlib(SetVersions) is needed by can-uilts-v2019.00.0-alt1.aarch64

在我在Linux中安装离线CAN工具时&#xff0c;出现了一个问题&#xff0c; rootwanghuo:~# rpm -ivh can-uilts-v2019.00.0-alt1.aarch64.rpm error: Failed dependencies:rpmlib(SetVersions) is needed by can-uilts-v2019.00.0-alt1.aarch64 意思是尝试安装 can-uilts-v20…

CNN 稠密任务经典结构

FCN UNet FPN FCNUNETFPNpadding无&#xff08;逐渐变小&#xff09; 有&#xff08;左右对称&#xff09;上采样 双线性双线性 最近邻跳跃链接 相加 Cropcat 1x1卷积相加 三个网络差不多&#xff0c;UNet名字最直观&#xff0c;后续流传…

算法刷题整理合集(二)

本篇博客旨在记录自已的算法刷题练习成长&#xff0c;里面注有详细的代码注释以及和个人的思路想法&#xff0c;希望可以给同道之人些许帮助。本人也是算法小白&#xff0c;水平有限&#xff0c;如果文章中有什么错误或遗漏之处&#xff0c;望各位可以在评论区指正出来&#xf…

STM32配套程序接线图

1 工程模板 2 LED闪烁 3LED流水灯 4蜂鸣器 5按键控制LED 6光敏传感器控制蜂鸣器 7OLED显示屏 8对射式红外传感器计次 9旋转编码器计次 10 定时器定时中断 11定时器外部时钟 12PWM驱动LED呼吸灯 13 PWM驱动舵机 14 PWM驱动直流电机 15输入捕获模式测频率 16PWMI模式测频率占空…

Houdini学习笔记

1. Houdini中一次只能显示一个物体 如果要都显示 需要 merge 节点 粉色的是 以参考显示 2.对任意一个节点按F1 可以弹出houdini官方文档 3. 恢复视角 Space H,居中 Space G 居中选中物体

仿Ant Design Vue风格自定义浏览器滚动条样式

仿Ant Design Vue风格自定义浏览器滚动条样式 问题原因 浏览器默认的滚动条样式很丑&#xff0c;无法满足需求&#xff0c;需要自定义滚动条样式&#xff0c;参考ant-design-vue的样式 css修改滚动相关属性可查阅官方文档 选择器介绍 ::webkit-scrollbar&#xff1a;滚动条…

单元测试、系统测试、集成测试、回归测试的步骤、优点、缺点、注意点梳理说明

单元测试、系统测试、集成测试、回归测试的梳理说明 单元测试 步骤&#xff1a; 编写测试用例&#xff0c;覆盖代码的各个分支和边界条件。使用测试框架&#xff08;如JUnit、NUnit&#xff09;执行测试。检查测试结果&#xff0c;确保代码按预期运行。修复发现的缺陷并重新测…

网络安全反渗透 网络安全攻防渗透

网络渗透防范主要从两个方面来进行防范&#xff0c;一方面是从思想意识上进行防范&#xff0c;另一方面就是从技术方面来进行防范。 1.从思想意识上防范渗透 网络攻击与网络安全防御是正反两个方面&#xff0c;纵观容易出现网络安全事故或者事件的公司和个人&#xff0c;在这些…

《GitHub网路访问不稳定:解决办法》:此文为AI自动生成

《GitHub网路访问不稳定&#xff1a;解决办法》&#xff1a;此文为AI自动生成 GitHub 网路访问不稳定初现 在当今数字化时代&#xff0c;软件开发行业蓬勃发展&#xff0c;GitHub 作为全球最大的代码托管平台&#xff0c;已然成为无数开发者不可或缺的 “宝库”。它不仅汇聚了…

G-Star 公益行 | 温暖相约 3.30 上海「开源×AI 赋能公益」Meetup

你是否曾想过&#xff0c;在这个数字化浪潮席卷的时代&#xff0c;公益组织如何突破技术瓶颈&#xff1f;当 AI 成为热门话题&#xff0c;它能为公益事业带来怎样的温度&#xff1f;开源的力量&#xff0c;如何让每一份善意都拥有无限可能&#xff1f; G-Star 公益行&#xff…

docker pull 镜像问题

问题一&#xff1a;pull镜像报错:time out 分析&#xff1a;源问题&#xff0c;网络不稳定&#xff0c;更换加速源&#xff0c;地址&#xff1a;/etc/docker/daemon.json 解决&#xff1a;更换地址&#xff0c;如下&#xff0c;然后敲&#xff1a;docker daemon-reload &&…

STAR Decomposition 一种针对极端事件的信号分解方法 论文精读加复现

STAR 分解&#x1f680; 在时序预测任务中&#xff0c;为了情绪化信号的各种成分&#xff0c;例如趋势信息季节信息等往往都需要对信号进行分解。目前熟知的分解方式有很多种&#xff0c;经验模态分解 EMD 变分模态分解 VMD &#xff0c;还有 集合经验模态分解 EEMD&#xff0c…