多源 BFS 算法详解：从原理到实现，高效解决多源最短路问题

news2025/2/23 9:02:33

多源 BFS 是一种解决 边权为 1 的多源最短路问题 的高效算法。其核心思想是将所有源点视为一个“超级源点”，通过一次 BFS 遍历即可计算所有节点到最近源点的最短距离。以下从原理、实现和代码示例三个方面深入讲解：

一、原理分析

1. 单源 BFS vs 多源 BFS

2. 正确性证明

3. 时间复杂度

二、C++ 实现步骤

1. 初始化

2. BFS 扩展

三、代码示例

四、代码解释

初始化阶段

BFS 扩展阶段

五、应用场景

六、注意事项

一、原理分析

1. 单源 BFS vs 多源 BFS

单源 BFS：从单一源点出发，逐层扩展，记录每个节点到该源点的最短距离。
多源 BFS：将多个源点 同时加入队列，作为 BFS 的初始层。每个节点被首次访问时，记录的是到最近源点的最短距离。

2. 正确性证明

BFS 的逐层扩展特性保证：当某个节点被首次访问时，其路径长度即为最短距离。
所有源点同时作为初始层，相当于它们处于“第 0 层”，后续扩展的层数即为到最近源点的距离。

3. 时间复杂度

与单源 BFS 相同，时间复杂度为 O(N)（假设共 N 个节点），每个节点和边仅被处理一次。

二、C++ 实现步骤

以二维网格为例，假设 grid 表示网格，其中 1 为源点，0 为可通行节点。目标是计算每个节点到最近源点的距离。

1. 初始化

队列：将所有源点坐标加入队列。
距离数组：源点距离初始化为 0，其他节点初始化为 -1（表示未访问）。

2. BFS 扩展

从队列中取出节点，检查其四个方向（上、下、左、右）。
若相邻节点未被访问过，更新其距离并加入队列。

三、代码示例

#include <vector>
#include <queue>
using namespace std;

vector<vector<int>> multiSourceBFS(vector<vector<int>>& grid) {
    int rows = grid.size();
    int cols = grid[0].size();
    queue<pair<int, int>> q;
    vector<vector<int>> dist(rows, vector<int>(cols, -1));

    // 初始化：将所有源点加入队列，并设置距离为 0
    for (int i = 0; i < rows; i++) {
        for (int j = 0; j < cols; j++) {
            if (grid[i][j] == 1) {
                q.push({i, j});
                dist[i][j] = 0;
            }
        }
    }

    // 四个移动方向：上、下、左、右
    vector<pair<int, int>> dirs = {{-1, 0}, {1, 0}, {0, -1}, {0, 1}};

    while (!q.empty()) {
        auto [x, y] = q.front();
        q.pop();

        for (auto [dx, dy] : dirs) {
            int nx = x + dx;
            int ny = y + dy;

            // 检查边界和是否已访问
            if (nx >= 0 && nx < rows && ny >= 0 && ny < cols && dist[nx][ny] == -1) {
                dist[nx][ny] = dist[x][y] + 1;
                q.push({nx, ny});
            }
        }
    }

    return dist;
}

四、代码解释

初始化阶段
- 遍历网格，将所有源点（值为 1）的坐标加入队列，并设置其距离为 0。
- 其他节点的距离初始化为 -1，表示未访问。
BFS 扩展阶段
- 从队列中取出节点，检查四个方向的相邻节点。
- 若相邻节点在网格内且未被访问，更新其距离为当前节点距离 +1，并将其加入队列。