机器学习—实现多元线性回归

本节顺延机器学习--线性回归中的内容，进一步讨论多元函数的回归问题

$$y^{\prime }=h(x)+w^{\top }\bullet x+b$$
$\text{其中,}{w}^{\mathrm{T}}\cdot x{\text{就是}}_{W_1{X}_1}+w_2{X}_2+w_3{X}_3+\cdots +w_N{X}_N$

进一步按题目简化：
$$y^{\prime }=h(x)=w_0{x}_0+w_1{x}_1+w_2{x}_2+w_3{x}_3$$
其中$w_0{x}_0$为引入的偏置b

import numpy as np #导入NumPy数学工具箱
import pandas as pd #导入Pandas数据处理工具箱
#读入数据并显示前面几行的内容，确保已经成功的读入数据
#示例代码是在Kaggle中数据集中读入文件，如果在本机中需要指定具体本地路径
# 如，当数据集和代码文件位于相同本地目录，路径
#名应为'./advertising.csv'，或直接放'advertising.csv'亦可
df_ads = pd.read_csv('/kaggle/input/online-store-sales-forecast-data/advertising.csv')
df_ads.head()

X = np.array(df_ads) # 构建特征集，含全部特征
X = np.delete(X, [3], axis = 1) # 删除掉标签
y = np.array(df_ads.sales) #构建标签集，销售金额
print ("张量X的阶:",X.ndim)
print ("张量X的形状:", X.shape)
print (X)

需要x和y都为2D向量

y = y.reshape(-1,1) #通过reshape函数把向量转换为矩阵，-1就是len(y),返回样本个数
print ("张量y的形状:", y.shape)

将数据集进行80%（训练集）和20%（验证集）的分割

# 将数据集进行80%（训练集）和20%（验证集）的分割
from sklearn.model_selection import train_test_split
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, 
                                   test_size=0.2, random_state=0)

定义归一化函数 ，进行数据 压缩

def scaler(train, test): # 定义归一化函数 ，进行数据压缩    
    # 数据的压缩
    min = train.min(axis=0) # 训练集最小值
    max = train.max(axis=0) # 训练集最大值
    gap = max - min # 最大值和最小值的差
    train -= min # 所有数据减最小值
    train /= gap # 所有数据除以大小值差
    test -= min #把训练集最小值应用于测试集
    test /= gap #把训练集大小值差应用于测试集
    return train, test # 返回压缩后的数据

def min_max_gap(train): # 计算训练集最大，最小值以及他们的差，用于后面反归一化过程
    min = train.min(axis=0) # 训练集最小值
    max = train.max(axis=0) # 训练集最大值
    gap = max - min # 最大值和最小值的差
    return min, max, gap
    
y_min, y_max, y_gap = min_max_gap(y_train)

X_train_original = X_train.copy() # 保留一份训练集数据副本，用于对要预测数据归一化

X_train,X_test = scaler(X_train,X_test) # 对特征归一化
y_train,y_test = scaler(y_train,y_test) # 对标签也归一化

x0_train = np.ones((len(X_train),1)) # 构造X_train长度的全1数组配合对Bias的点积
X_train = np.append(x0_train, X_train, axis=1) #把X增加一系列的1
x0_test = np.ones((len(X_test),1)) # 构造X_test长度的全1数组配合对Bias的点积
X_test = np.append(x0_test, X_test, axis=1) #把X增加一系列的1
print ("张量X的形状:", X_train.shape)
print (X_train)

通过向量化来实现损失函数

def loss_function(X, y, W): # 手工定义一个MSE均方误差函数,W此时是一个向量
    y_hat = X.dot(W.T) # 点积运算 h(x)=w_0*x_0 + w_1*x_1 + w_2*x_2 + w_3*x_3    
    loss = y_hat.reshape((len(y_hat),1))-y # 中间过程,求出当前W和真值的差异
    cost = np.sum(loss**2)/(2*len(X)) # 这是平方求和过程, 均方误差函数的代码实现
    return cost # 返回当前模型的均方误差值

$$w=w-\frac{\alpha }{2N}\sum _{i=1}^N(y^{(i)}-(w\bullet x^{(i)}))\bullet x^{(i)}$$

封装进一个梯度下降函数：

def gradient_descent(X, y, W, lr, iterations): # 定义梯度下降函数
    l_history = np.zeros(iterations) # 初始化记录梯度下降过程中损失的数组
    W_history = np.zeros((iterations,len(W))) # 初始化权重数组 
    for iter in range(iterations): # 进行梯度下降的迭代，就是下多少级台阶
        y_hat = X.dot(W.T) # 这个是向量化运行实现的假设函数   
        loss = y_hat.reshape((len(y_hat),1))-y # 中间过程, y_hat和y真值的差
        derivative_W = X.T.dot(loss)/len(X) #求出多项式的梯度向量
        derivative_W = derivative_W.reshape(len(W)) 
        W = W - lr*derivative_W # 结合下降速率更新权重
        l_history[iter] = loss_function(X, y, W) # 损失的历史记录 
        W_history[iter] = W # 梯度下降过程中权重的历史记录
    return l_history, W_history # 返回梯度下降过程数据

初始化权重并训练机器

#首先确定参数的初始值
iterations = 300; # 迭代300次
alpha = 0.15; #学习速率设为0.15
weight = np.array([0.5,1,1,1]) # 权重向量，w[0] = bias
#计算一下初始值的损失
print ('当前损失：',loss_function(X_train, y_train, weight))

当前损失： 0.8039183733604858

构建线性回归模型

# 定义线性回归模型
def linear_regression(X, y, weight, alpha, iterations): 
    loss_history, weight_history = gradient_descent(X, y, 
                                                    weight, 
                                                    alpha, iterations)
    print("训练最终损失:", loss_history[-1]) # 打印最终损失
    y_pred = X.dot(weight_history[-1]) # 进行预测
    traning_acc = 100 - np.mean(np.abs(y_pred - y))*100 # 计算准确率
    print("线性回归训练准确率: {:.2f}%".format(traning_acc))  # 打印准确率
    return loss_history, weight_history # 返回训练历史记录

# 调用刚才定义的线性回归模型
loss_history, weight_history = linear_regression(X_train, y_train,
                           weight, alpha, iterations) #训练机器

训练最终损失: 0.002506723466186024
线性回归训练准确率: 75.67%

print("权重历史记录：", weight_history)
print("损失历史记录：", loss_history)

预测的数据

X_plan = [250,50,50] # 要预测的X特征数据
X_train,X_plan = scaler(X_train_original,X_plan) # 对预测数据也要归一化缩放
X_plan = np.append([1], X_plan ) # 加一个哑特征X0 = 1
y_plan = np.dot(weight_history[-1],X_plan) # [-1] 即模型收敛时的权重
# 对预测结果要做反向缩放，才能得到与原始广告费用对应的预测值
y_value = y_plan*y_gap + y_min # y_gap是当前y_train中最大值和最小值的差，y_min是最小值
print ("预计商品销售额： ",y_value, "千元") 

预计商品销售额：  [7.42162744] 千元