决策树回归（Decision Tree Regression）
决策树回归是一种基于树状结构进行回归分析的监督学习方法。它将输入空间递归地划分为多个区域，并在每个区域内拟合一个简单的常数值，从而对目标变量进行预测。
决策树回归的原理
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树的构建
- 决策树以树的形式对数据进行划分。
- 每次划分选择一个特征及其阈值，将数据集分为两个子集。
- 目标是找到最佳划分，使得子集内的目标变量尽可能一致（即减少误差）。
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划分准则
通常采用均方误差（MSE, Mean Squared Error）作为划分的评价指标：其中，
是真实值，
是预测值。
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停止条件
- 达到最大树深度。
- 叶节点的样本数少于预设值。
- 划分后误差改善不足。
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预测
对于新输入数据，沿着决策树从根节点到叶节点，根据划分规则找到其对应的叶节点，返回叶节点中目标变量的均值作为预测值。
构建过程
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根节点的初始化
将所有数据视为一个整体，计算均值作为预测值，计算当前数据集的均方误差。 -
递归划分
- 遍历每个特征及其所有可能的划分点，计算划分后的均方误差。
- 选择能最大程度减少误差的特征及阈值进行划分。
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停止划分
- 当树的深度达到预设值。
- 当叶节点的样本数小于预设阈值。
- 当划分后误差改善不足。
优点
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可解释性强
决策树的结构直观清晰，易于可视化和理解。 -
非线性建模能力
决策树能有效捕获数据中的非线性关系。 -
无需特征缩放
决策树对特征的数值范围不敏感，不需要标准化或归一化。
缺点
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易过拟合
决策树在深度较大时可能会过拟合，导致泛化能力差。 -
对数据分布敏感
对于小的样本噪声或异常值，可能会导致不稳定的划分。 -
无法捕获连续目标变量的平滑关系
决策树只能在区域内拟合常数值，难以捕获目标变量的连续变化。
改进方法
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剪枝（Pruning）
- 预剪枝：设置树的最大深度、叶节点的最小样本数等参数，限制树的规模。
- 后剪枝：先构建一棵完整的树，然后通过去掉不重要的分支来减少过拟合。
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集成学习
- 随机森林：构建多棵决策树并取平均值。
- 梯度提升树（GBDT）：通过串联多个决策树逐步减小误差。
- 极端随机树（Extra Trees）：进一步随机化特征和划分点选择，降低过拟合风险。
评价指标
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均方误差（MSE）
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平均绝对误差（MAE, Mean Absolute Error）
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决定系数（R2R^2R2）
衡量模型对目标变量的解释程度：其中
是目标变量的均值。
代码实现
以下是使用 Python 中的 Scikit-learn 实现决策树回归的代码示例：
from sklearn.tree import DecisionTreeRegressor
from sklearn.metrics import mean_squared_error, r2_score
from sklearn.model_selection import train_test_split
import numpy as np
# 生成模拟数据
np.random.seed(0)
X = np.sort(np.random.rand(100, 1), axis=0)
y = np.sin(2 * np.pi * X).ravel() + np.random.randn(100) * 0.1
# 数据划分
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42)
# 构建决策树回归模型
model = DecisionTreeRegressor(max_depth=4)
model.fit(X_train, y_train)
# 预测
y_pred = model.predict(X_test)
# 评价模型
mse = mean_squared_error(y_test, y_pred)
r2 = r2_score(y_test, y_pred)
print(f"Mean Squared Error: {mse:.3f}")
print(f"R^2 Score: {r2:.3f}")
# 可视化结果
import matplotlib.pyplot as plt
plt.scatter(X_test, y_test, color="blue", label="True Values")
plt.scatter(X_test, y_pred, color="red", label="Predicted Values")
plt.legend()
plt.title("Decision Tree Regression")
plt.xlabel("X")
plt.ylabel("y")
plt.show()
输出结果
Mean Squared Error: 0.038
R^2 Score: 0.939
应用场景
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房地产价格预测
根据特征（面积、位置、房龄等）预测房价。 -
市场营销分析
根据用户行为数据预测用户对产品的需求。 -
时间序列分析
使用历史数据预测未来值。
总结
决策树回归是简单易用的回归模型，特别适合处理非线性和非参数问题。然而，单独使用决策树可能会过拟合或欠拟合，因此需要通过剪枝或集成方法进一步提升模型的鲁棒性和泛化能力。
