【算法】—— 前缀和

一、区间求和问题

给定一个长度为n的序列a，有m次查询，每次查询输出一个连续区间的和。

使用暴力做法求解是将每次查询都遍历该区间求和

//暴力做法

import java.util.Scanner;


public class Test {
    public static void main(String[] args){
        Scanner scan = new Scanner(System.in);
        int n = scan.nextInt();
        int m = scan.nextInt();
        int[] a = new int[100010];
        for(int i = 1;i<=n;i++){
            a[i] = scan.nextInt();
        }
        for(int i = 0;i<=m;i++){
            int l = scan.nextInt(),r = scan.nextInt(),sum=0;
            for(int j = l;j<=r;j++){
                sum+=a[j];
            }
            System.out.println(sum);
        }
    }
}

可以看到，最坏情况下，时间复杂度为 O(nm) ，这种区间求和问题就可以使用前缀和来优化

前缀和实现原理：

核心思想：

在一个新的数组上的每个元素都存储 原数组开始位置 到 新数组元素位置 之和，最后通过减法来实现快速计算

原理解释：

创建一个新的数组 s ,其中每个元素 s[i] 表示原数组从开始位置到位置 i 元素之和，即

当我们需要查询 [2,3] 时，就是计算 a[2] + a[3] , 对于数组 s 来说只需要将 s[3] - s[1]

这一步的时间复杂度为 O(1）

通过上述计算可以得到公式

在创建时新数组时还可以通过迭代计算每个 s[i]

可以得到公式：

这里注意 s[1] == a[1] 但是在循环里要写成 s[1] = s[0] + a[1] ,才不会下标越界，所以数组下标都由1开始。

代码演示：

import java.util.Scanner;

public class Test {
    public static void main(String[] args){
        Scanner scan = new Scanner(System.in);
        int[] a = new int[100010];
        int[] s = new int[100010];
        int n = scan.nextInt();
        int m = scan.nextInt();
        s[0] = 0;
        for(int i = 1;i<=n;i++){
            a[i] = scan.nextInt();
            s[i] = s[i-1]+a[i];
        }
        for(int i = 1;i<=m;i++){
            int l = scan.nextInt();
            int r = scan.nextInt();
            System.out.println(s[r] - s[l-1]);
        }
    }
}

这样时间复杂度就来到了 O(n+m) 。

理解了一维前缀和，我们将问题上升一个维度，来到

二维前缀和：

给定一个 n*m 大小的矩阵 A，给定 q 组查询，每次查询给定两个坐标，需要输出坐标1到坐标2的所有值

暴力做法：

import java.util.Scanner;

public class Test {
    public static void main(String[] args){
        Scanner scan = new Scanner(System.in);
        int[][] a = new int[100][100];
        int n = scan.nextInt();
        int m = scan.nextInt();
        int q = scan.nextInt();
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=m;j++){
                a[i][j] = scan.nextInt();
            }
        }
        for(int i=1;i<=q;i++){
            int sum = 0;
            int x1= scan.nextInt(),y1= scan.nextInt(),x2= scan.nextInt(),y2= scan.nextInt();
            for(int j=x1;j<=x2;j++){
                for(int k=y1;k<=y2;k++){
                    sum+=a[j][k];
                }
            }
            System.out.println(sum);
        }
    }
}

中间的部分有一个三重循环，时间复杂度来到了 O(n * m * q)

依旧使用前缀和的思想来完成，在二维数组上的每个元素都要存储从开始位置的和

在二维前缀和数组中，求（x，y）就是求从（1,1）开始到（x，y）的所有和

对（x，y）做进一步拆分,会发现由四个部分组成

先是当前点本身 a(x,y):

s[x][y-1]:

s[x-1][y]:

s[x-1][y-1]:

因为s[x-1][y-1]被加了两次,所以需要减去一次

综上可以得到前缀和计算公式:

s[x][y] = a[x][y] + s[x-1][y] + s[x][y-1] - s[x-1][y-1] + ;

现在起点不从(1,1)开始,计算两点表示的子矩阵的和

就可以让（x2,y2）减去两边的长方形（x2,y1-1）和 (x1-1,y2) ，因为 (x-1,y-1) 被减去两次，所以需要加上一次，得到公式：

$\sum _{i=x1}^{x2}\sum _{j=y1}^{y2}A{_{i,j}}^{}$

$= a[x2][y2] - a[x2][y1-1] - a[x1-1][y2] + a[x1-1][y1-1]$

代码演示：

import java.util.Scanner;

public class Test {
    public static void main(String[] args){
        Scanner scan = new Scanner(System.in);
        int N = 1010;
        int[][] a = new int[N][N];
        int[][] s = new int[N][N];
        int n = scan.nextInt();
        int m = scan.nextInt();
        int q = scan.nextInt();
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=m;j++){
                a[i][j] = scan.nextInt();
                //构建前缀和数组
                s[i][j] = a[i][j] + s[i-1][j] + s[i][j-1] - s[i-1][j-1];
            }
        }
        for(int i=1;i<=q;i++){
            int x1 = scan.nextInt(),y1 = scan.nextInt(),x2 = scan.nextInt(),y2 = scan.nextInt();
            int sum = s[x2][y2] - s[x2][y1-1] - s[x1-1][y2] + s[x1-1][y1-1];
            System.out.println(sum);
        }
    }
}

时间复杂度变为O(n*m+q)

二、区间修改问题

给定一个长度为n的序列a，有m组操作，每次操作将某一个连续区间 [ l ~ r ] 的元素都加上，最后输出操作结束后的数组a。

暴力做法为写一个循环，每次修改 [ l ~ r ] 的值，重复m次

import java.util.Scanner;

public class Test {
    public static void main(String[] args){
        Scanner scan = new Scanner(System.in);
        int[] a = new int[100010];
        int n = scan.nextInt();
        int m = scan.nextInt();
        for(int i = 1;i<=n;i++){
            a[i] = scan.nextInt();
        }
        for(int i = 1;i<=m;i++){
            int l = scan.nextInt();
            int r = scan.nextInt();
            int d = scan.nextInt();
            for(int j = l;j<=r;j++){
                a[j] += d;
            }
        }
        for(int i=1;i<=n;i++){
            System.out.print(a[i] + " ");
        }
    }
}

时间复杂度为 O(nm)，这种区间求和问题就可以使用差分来优化

差分实现原理：

核心思想：通过计算原数组中每个元素之间的差让元素和元素之间产生联系，再利用差不断复原出原数组。期间对差进行加减就会影响这个差之后的所有的元素

定义一个差分数组 b ，求出每一个元素之间的差

对数组b 求前缀和得到新数组c

这里就可以得到一个结论，差分数组求前缀和就可以得到原数组

当我们对 b[1] + 1 后

b[1] 之后的元素都会 +1

当我们对 b[3] - 1 后

b[3] -1 之后的元素也都 -1 和如果原来的+1相呼应就可以得到修改前的元素，最后可以得到结论：

对差分数组 b[l]+d , b[r+1]-d ，求解前缀和后，就可以得到修改后的数组c

代码演示

import java.util.Scanner;

public class Test {
    public static void main(String[] args){
        Scanner scan = new Scanner(System.in);
        int[] a = new int[100010];
        int[] b = new int[100010];
        int[] c = new int[100010];
        int n = scan.nextInt();
        int m = scan.nextInt();
        for(int i = 1;i<=n;i++){
            a[i] = scan.nextInt();
            b[i] = a[i] - a[i-1];
        }
        for(int i = 1;i<=m;i++){
            int l = scan.nextInt(),r = scan.nextInt(),d = scan.nextInt();
               b[l] += d;
               b[r+1] -= d;
        }
        for(int i = 1;i<=n;i++){
            c[i] = c[i-1] + b[i];
        }
        for(int i = 1;i<=n;i++){
            System.out.print(c[i]+" ");
        }
    }
}

时间复杂度 O(n+m)

差分数组的常见性质：

如果差分数组 b 除了 b[1] 以外所有值均为 0 ，则说明数组 a 的值全部都一样

差分数组还可以解决

归1问题：

一个数组 a 中共包含 n 个数，问最少多少次操作可以让 a 数组所有数都变成 1 。

操作的内容可以任选一个区间，使得区间内所有值 -1 ，数据保证一定有解

假设有一个数组【1,3,5,2,7,1】

3 变成 1 需要进行 3-1 次操作

5 变成 1 需要 4 次操作，因为 5 > 3 所以可以跟着 3 一起进行 2 次，所以只要 5-3 次

2 < 5 可以跟着 5 进行 1 次后就不用再进行，可以忽略不计

7 > 2 需要进行 7-2 次操作

综上可以得出看出，每一个数需要的操作次数可以通过减去前一个数来求出，当减去前一个数<0时，就可以忽略不计，求出每一个元素之间的差，刚好是差分数组所实现的内容，因为是归1，而第一项（a[0]）是 0 ,a[1] 的操作次数会多一次，所以最后结果还需要 -1 。

代码演示：

public class Test {
    public static void main(String[] args){
        Scanner scan = new Scanner(System.in);
        int[] a = new int[100010];
        int[] b = new int[100010];
        int n = scan.nextInt();
        int sum = 0;
        for(int i = 1;i<=n;i++){
            a[i] = scan.nextInt();
            b[i] = a[i] - a[i-1];
            if(b[i]>=0){
                sum += b[i];
            }
        }
        System.out.println(sum-1);
    }
}

二维差分：

给定一个 n*m 大小的矩阵 A，给定 q 组修改，每次查询给定两个坐标，需要修改坐标1到坐标2的所有值，最后打印修改完成的数组

暴力做法：

import java.util.Scanner;

public class Test {
    public static void main(String[] args){
        Scanner scan = new Scanner(System.in);
        int N = 1010;
        int[][] a = new int[N][N];
        int[][] s = new int[N][N];
        int n = scan.nextInt();
        int m = scan.nextInt();
        int q = scan.nextInt();
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=m;j++){
                a[i][j] = scan.nextInt();
            }
        }
        for(int i=1;i<=q;i++){
            int x1 = scan.nextInt(),y1 = scan.nextInt(),x2 = scan.nextInt(),y2 = scan.nextInt(),d= scan.nextInt();
            for(int j=x1;j<=x2;j++){
                for(int k=y1;k<=y2;k++){
                    a[j][k] += d;
                }
            }
        }
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=m;j++){
                System.out.print(a[i][j]+" ");
            }
            System.out.println();
        }
    }
}

时间复杂度为 O(n*m*q)

接下来用差分思想进行优化

首先是用差让各个元素之间产生联系，这里减去上方和左方的格子

如果只是减去左方格子就变回了一维差分

（x,y-1）和（x-1,y）也是通过减去上方和左方的格子得来

这里会发现（x-1,y-1）被多减了一次，所以计算（x，y）时还需要再加上（x-1,y-1）

通过上图描述可得公式：

差分数组 b[x][y] = a[x][y] - a[x][y-1] - a[x-1][y] + a[x-1][y-1];

有了差分数组，就可以对元素进行修改

当对差分数组修改后，所有后续有关联的元素都会发生改变

当希望只在 (x1,x2) 和 (x2,y2) 之间进行修改，就需要对其他点进行修改

对于边上的两点(x2+1,y1)、（x1，y2+1）减少 d ，对于重复减的点（x2+1，y2+1）加上 d

对点修改完后，再通过前缀和对数组复原

代码演示：

import java.util.Scanner;

public class Test {
    public static void main(String[] args){
        Scanner scan = new Scanner(System.in);
        int N = 1010;
        int[][] a = new int[N][N];
        int[][] b = new int[N][N];
        int n = scan.nextInt();
        int m = scan.nextInt();
        int q = scan.nextInt();
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=m;j++){
                a[i][j] = scan.nextInt();
                b[i][j] = a[i][j] - a[i-1][j] - a[i][j-1] + a[i-1][j-1] ;
            }
        }
        for(int i=1;i<=q;i++){
            int x1=scan.nextInt(),y1=scan.nextInt(),x2=scan.nextInt(),y2=scan.nextInt(),d=scan.nextInt();
            b[x1][y1]+=d;
            b[x2+1][y1]-=d;
            b[x1][y2+1]-=d;
            b[x2+1][y2+1]+=d;
        }
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=m;j++){
                b[i][j]=b[i][j]+b[i-1][j]+b[i][j-1]-b[i-1][j-1];
                System.out.print(b[i][j]+" ");
            }
            System.out.println();
        }
    }
}

时间复杂度为 O(n*m+q)