【数据结构】堆的概念、结构、模拟实现以及应用

news2025/1/15 22:54:41

        本篇我们来介绍一下数据结构中的堆。

  1.堆的概念及结构

1）堆是一颗完全二叉树。

2）堆又分为大堆和小堆，大堆就是树里面任何一个父节点都大于子节点，所以根节点是最大值；小堆就是树里面任何一个父节点都小于子节点，所以根节点也是最小值。

大堆和小堆只要求了父节点与子结点之间的关系，并没有要求兄弟节点之间的关系。 所以说，小堆不一定是降序，大堆不一定是升序。

2.父节点和子节点的对应关系

假设父节点在数组的下标为i：

左孩子在数组的下标：2*i + 1；右孩子在数组的下标：2*i + 2；

假设子节点在数组中的下标为j：

父节点在数组中的下标：(j - 1) / 2；

 3.小堆的实现

3.1 准备工作

建立一个头文件Heap.h，两个源文件Heap.c和test.c，存放内容如下。

在Heap.h中实现堆的结构。因为堆的底层是数组，所以堆的底层实现和顺序表的一样。

#include <stdio.h>
#include <assert.h>
#include <stdlib.h>

typedef int HpDateType;
typedef struct Heap
{
	HpDateType* a;
	int size;
	int capacity;
}Heap;

3.2 初始化和销毁

在Heap.h中进行函数声明。

void HPInit(Heap* hp);//初始化
void HPDestroy(Heap* hp);//销毁

在Heap.c中进行函数实现。记得包含头文件 #include "Heap.h"

void HPInit(Heap* hp)
{
	assert(hp);
	hp->a = NULL;
	hp->capacity = hp->size = 0;
}
void HPDestroy(Heap* hp)
{
	assert(hp);
	free(hp->a);
	hp->a = NULL;
	hp->capacity = hp->size = 0;
}

3.3 push 插入数据

实现之前我们先来分析一下。

假如我们现在实现一个小堆，在下面的小堆里插入一个10。

 此时已经它既不是大堆也不是小堆，就不是一个堆，所以我们需要将这个10向上调整，让它变成小堆。 如下是逻辑结构上的变化。

物理结构上这个10，应该是插入在数组的结尾。

 我们按照前面说过的父子关系来通过子节点的下标找父节点。

 找到父节点之后，与此时的子节点10对比一下，父节点比子节点10大，两个交换位置。

然后再用同样的方法继续找父节点。

 找到父节点之后，与此时的子节点10对比一下，父节点比子节点10大，两个交换位置。

然后再用同样的方法继续找父节点。 

 找到父节点之后，与此时的子节点10对比一下，父节点比子节点10大，两个交换位置。 

所以插入的数据要和它所有的“亲”祖先比，直到它大与等与自己的父亲，或者自己成了根节点，没有比它更小的数了，就结束。

3.3.1 交换

因为交换函数用的地方很多，包括push，所以我们封装一下交换的代码，以便后续使用。

在Heap.h中进行函数声明。

void Swap(HpDateType* p1, HpDateType* p2);//交换

 在Heap.c中进行函数实现。

void Swap(HpDateType* p1, HpDateType* p2)
{
	HpDateType tmp = *p1;
	*p1 = *p2;
	*p2 = tmp;
}

3.3.1 向上调整

我们将向上调整的代码同样封装成一个函数。

在Heap.h中进行函数声明。

void AdjustUp(HpDateType* x, int child);//向上调整

第一个参数是要调整的数组，第二个参数是这个数在数组中的下标。

在Heap.c中进行函数实现。

void AdjustUp(HpDateType* a, int child)
{
	int parent = (child - 1) / 2;
	while (child >= 0 && a[child] < a[parent])
	{
		Swap(&a[child], &a[parent]); //交换
		child = parent;
		parent = (child - 1) / 2;
	}
}

3.3.3 push

在Heap.h中进行函数声明。

void HPPush(Heap* hp, HpDateType x);//插入

 在Heap.c中进行函数实现。

void HPPush(Heap* hp, HpDateType x)
{
	assert(hp);
	
	if (hp->size == hp->capacity) //空间不够扩容
	{
		int newcapacity = hp->capacity == 0 ? 4 : 2 * hp->capacity;
		HpDateType* tmp = (HpDateType*)realloc(hp->a, newcapacity * sizeof(HpDateType));
		if (tmp)
		{
			perror("malloc fail!");
			return;
		}
		hp->a = tmp;
		hp->capacity = newcapacity;
	}


	hp->a[hp->size] = x;//插入数据
	hp->size++;//更新size
	
	//向上调整
	AdjustUp(hp->a, hp->size - 1);//size-1才是子节点的下标
}

在test.c中对前面实现的所有函数进行测试。

#include "Heap.h"
void test1()
{
	int a[] = { 5,2,4,7,9,1,3,8 };
	Heap hp;
	HPInit(&hp); //初始化
	for (int i = 0; i < sizeof(a) / sizeof(int); i++)
	{
		HPPush(&hp, a[i]); //插入数据
	}
	HPDestroy(&hp);//销毁
}
int main()
{
	test1();
	return 0;
}

运行结果和我们分析的一样。 

3.4 pop 删除数据

堆里面的删除，要求的是删除堆顶的数据，也就是根位置，堆里最小的数。在小堆里，这样删除可以找到第二小的数，再删除，可以找到第三小的数..；在大堆则可以找出最大的数、第二大的数、第三大的数...这样删除才有意义。

分析一下，这里删除的就是数组最开始的数据，直接删除首元素可以吗？ 不可以，因为直接删除的话，父子关系就全乱了。

兄弟变父子，父子变兄弟，也会导致这不是一个堆了。

所以删除的方法就是，将根节点和最后一个叶子节点交换，删除调整后的尾节点，然后采用向下调整的算法重新排序。

这样，我们就把第二小的放到了堆顶，删除之后依旧是一个小堆。

3.4.1 向下调整

我们将向下调整的代码同样封装成一个函数，实现pop时可直接复用。

在Heap.h中进行函数声明。

void AdjustDown(HpDateType* x, int size, int parent);//向下调整

第一个参数是要调整的数组，第二个参数是数组的大小，第三个参数是父节点的下标。

在Heap.c中进行函数实现。

void AdjustDown(HpDateType* x, int size, int parent)
{
	int child = parent * 2 + 1;//假设左孩子小
	
	while (child < size)//大堆
	{
		if (child + 1 < size && x[child] > x[child + 1]) 
		{
			child++;
		}

		if (x[parent] > x[child]) //大堆
		{
			Swap(&x[parent], &x[child]);//交换
			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

3.4.2 pop

在Heap.h中进行函数声明。

void HPPop(Heap* hp); //删除

在Heap.c中进行函数实现。

void HPPop(Heap* hp)
{
	assert(hp);
	assert(hp->size);
	Swap(&hp->a[0], &hp->a[hp->size - 1]);//首尾交换
	hp->size--; //删除末节点
	AdjustDown(hp->a, hp->size, 0); //向下调整
}

在test.c中对前面实现的所有函数进行测试。

void test2()
{
	int a[] = { 3,4,5,8,9,7,6,10 };
	Heap hp;
	HPInit(&hp); //初始化
	for (int i = 0; i < sizeof(a) / sizeof(int); i++)
	{
		HPPush(&hp, a[i]); //插入数据
	}
	for (int i = 0; i < hp.size; i++)
	{
		printf("%d ", hp.a[i]);
	}
	printf("\n");
	HPPop(&hp);
	for (int i = 0; i < hp.size; i++)
	{
		printf("%d ", hp.a[i]);
	}
	printf("\n");
	HPDestroy(&hp);//销毁
}

这个运行结果和我们前面分析的一样。 

3.5 获取根节点数据、判空

在Heap.h中进行函数声明。

HpDateType HPTop(Heap* hp); //获取堆顶数据
bool HPEmpty(Heap* hp);//判空

 在Heap.c中进行函数实现。

HpDateType HPTop(Heap* hp)
{
	assert(hp);
	assert(hp->size);
	return hp->a[0];
}
bool HPEmpty(Heap* hp)
{
	assert(hp);
	return hp->size == 0;
}

在test.c中对前面实现的函数进行测试。

void test3()
{
	int a[] = { 3,4,5,8,9,7,6,10 };
	Heap hp;
	HPInit(&hp); //初始化
	for (int i = 0; i < sizeof(a) / sizeof(int); i++)
	{
		HPPush(&hp, a[i]); //插入数据
	}
	while (!HPEmpty(&hp))
	{
		printf("%d ", HPTop(&hp));//把堆顶元素打印出来
		HPPop(&hp); //删除堆顶数据，此时堆顶为第二小的数 
	}
}

我们可以通过pop和top的配合，按顺序打印出这个堆。

 这里也是更加体现出pop的价值。

4.大堆的实现

前面我们已经实现好了小堆，大堆的实现只要稍微改动两个函数即可。

大堆的向上调整。

void AdjustUp(HpDateType* a, int child)
{
	int parent = (child - 1) / 2;
	//while (child > 0 && a[child] < a[parent])//小堆
	while (child > 0 && a[child] > a[parent])//大堆
	{
		Swap(&a[child], &a[parent]);
		child = parent;
		parent = (child - 1) / 2;
	}
}

大堆的向下调整。

void AdjustDown(HpDateType* x, int size, int parent)
{
	int child = parent * 2 + 1;//假设左孩子小
	
	while (child < size)//大堆
	{
		//if (child + 1 < size && x[child] > x[child + 1]) //小堆
		if (child + 1 < size && x[child] < x[child + 1]) //大堆
		{
			child++;
		}

		//if (x[parent] > x[child]) //小堆
		if (x[parent] < x[child]) //大堆
		{
			Swap(&x[parent], &x[child]);//交换
			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

其他一律不变。

在test.c中测试一下，就用前面的测试样例。

此时，大堆的pop和top结合，就可以将这个堆倒序打印出来。 

5.堆的应用

5.1 top-k问题

找出一段数据最大的前k个，或者最小的前k个。有了堆，我们不需要对整个数据排序，就能做到。

比如，找出数组a最大的前5个。

void test4()
{
	int a[] = { 32,41,55,38,9,71,6,10, 11, 29, 90, 103 };
	Heap hp;
	HPInit(&hp); //初始化
	for (int i = 0; i < sizeof(a) / sizeof(int); i++)
	{
		HPPush(&hp, a[i]); //插入数据
	}
	int k = 0;
	scanf("%d", &k);
	while (k--)
	{
		printf("%d ", HPTop(&hp));
		HPPop(&hp);
	}
	printf("\n");
}

并且效率也是非常高的。假设树的节点是N，pop的时间复杂度最坏的情况都是\log_{2}N。

5.2 建堆

现在我们有一个数组，我们要快速对这个数组建堆，怎么实现？把我们刚刚实现的小堆或者大堆再全部实现一次吗？不是的。我们只需要用到一个函数，就是向上调整，或者向下调整。

int a[] = { 32,41,55,38,9,71,6,10, 11, 29, 90, 103 };
int n = sizeof(a) / sizeof(int);
for (int i = 1; i < n; i++)
{
	AdjustUp(a, i);
}
for (int i = 0; i < n; i++)
{
	printf("%d ", a[i]);
}
printf("\n");

把这个数组a看作是一个完全二叉树，从下标为1的开始，下标为0的就默认已经是堆了。

 这个就是建堆。这里建的是大堆。

5.3 堆排序

堆排序就使用堆的思想来完成排序。

升序：建大堆！

降序：建小堆！

如果降序建大堆，就跟前面实现pop遇到的问题一样了，会导致关系全乱套。所以，降序我们建小堆。

5.3.1 降序-建小堆

这里会用到向上调整建堆，其实是在模拟插入的过程。

建小堆，我们就可以得到最小的数。

然后把首位节点一交换。

 

交换之后，我们把4忽视，假装它不是这个堆里面的数据。然后不包括4在内的其他数，会向下调整，继续调整为小堆。

调整为小堆之后又得到了第二小的数，第二小的数和不包括4在内的尾节点交换，也就是倒数第二个数交换。

重复上面的步骤，最小的数，第二小的数，第三小的数...这个升序就实现了。

堆排序的效率是O(N*\log_{2}N)

代码实现如下。

void HeapSortGreater(int* a, int n)
{
	//降序，建小堆
	for (int i = 1; i < n; i++)//建堆
	{
		AdjustUp(a, i);
	}
	int end = n - 1; //控制“视为堆内”的数据
	while (end > 0)
	{
		Swap(&a[0], &a[end]);//交换
		AdjustDown(a, end, 0);//向下调整为小堆
		end--;
	}
}

我们来测试一下。

int a[] = { 32,41,55,38,9,71,6,10, 11, 29, 90, 103 };
int n = sizeof(a) / sizeof(int);
HeapSortGreater(&a, n);
for (int i = 0; i < n; i++)
{
	printf("%d ", a[i]);
}
printf("\n");

 

 

5.3.2 升序-建大堆

我们还有一种算法，是向下调整建堆。怎么调？如下。

假如这已经是一颗完全二叉树，向下调整的前提是要调整的父节点的左子树和右子树都已经是大堆了，

不是大堆怎么办？对子树进行调整。子树的子树也不是大堆怎么办？...

 所以我们要从后往前调整，倒着调整。

分析一下，所有的叶子节点，就是没有孩子的节点，是不需要调整的。我们要从倒数第一个有孩子的子树，非叶子节点开始调。

 所以我们从5开始调，把5这棵树调成一个大堆。

然后对前一个进行调整，也就是对1开始调，把1这颗子树调成大堆，然后依次往前调整。

我们怎么找到最后一个非叶子节点？

最后一个叶子节点的父节点，就是最后一个非叶子节点。假如最后一个节点的下标是j，它的父节点下标就是(j - 1) / 2。

代码实现如下。

void HeapSortLess(int* a, int n)
{
	//升序，建大堆
	for (int i = (n - 1- 1) / 2; i >= 0; i--)//建堆
	{
		AdjustDown(a, n, i);
	}
	int end = n - 1; //控制“视为堆内”的数据
	while (end > 0)
	{
		Swap(&a[0], &a[end]);//交换
		AdjustDown(a, end, 0);//向下调整为小堆
		end--;
	}
}

 测试一下我们写的代码。

int a[] = { 4, 2, 8, 1, 5, 6, 9, 7, 3, 9, 11 };
int n = sizeof(a) / sizeof(int);
HeapSort2(a, n);
for (int i = 0; i < n; i++)
{
	printf("%d ", a[i]);
}
printf("\n");

 

本次分享就到这里，我们下篇再见~

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