lqb_算法

1.蓝桥杯2024年第十五届决赛真题- 蚂蚁开会

题目描述

二维平面上有 n 只蚂蚁，每只蚂蚁有一条线段作为活动范围，第 i 只蚂蚁的活动范围的两个端点为 (uix, uiy),(vix, viy)。现在蚂蚁们考虑在这些线段的交点处设置会议中心。为了尽可能节省经费，它们决定只在所有交点为整点的地方设置会议中心，请问需要设置多少个会议中心？

输入格式

输入共 n + 1 行。第一行为一个正整数 n。后面 n 行，每行 4 个由空格分开的整数表示 uix, uiy, vix, viy。

输出格式

输出共 1 行，一个整数表示答案。

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提示

【样例说明】

所有线段之间共有 3 个不同的交点：(0, 4),(43,43),(2, 2), 其中整点有 2 个：(0, 4),(2, 2)。

【评测用例规模与约定】

对于 20% 的评测用例，保证 0 ≤ uix, uiy, vix, viy ≤ 100。对于 100% 的评测用例，保证 n ≤ 500，0 ≤ uix, uiy, vix, viy ≤ 10000，保证任意蚂蚁的活动范围不会退化成一个点，不保证任意两条线段之间交点数量有限。

AC

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef pair<int,int> PI;
map<PI,int>M; 
map<PI,bool>vis;
int gcd(int a,int b){
    if(b==0) return a;
    else return gcd(b,a%b);
}
int n;
int ans = 0;
int main(){
    cin >> n;
    for(int i = 1 ; i <= n ; i ++){
        int x1,y1,x2,y2;
        cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;
        int g = gcd(abs(x1-x2),abs(y1-y2));
        int ax = (x2-x1)/g;
        int ay = (y2-y1)/g;
        while(x1 != x2 || y1 != y2){
            M[PI(x1,y1)]++;
            if(M[PI(x1,y1)] >= 2 && !vis[PI(x1,y1)]){
                ans ++;
                vis[PI(x1,y1)] = 1;
            }
            x1 += ax;
            y1 += ay;
        }
        M[{x2,y2}]++;
        if(M[PI(x2,y2)] >= 2&& !vis[PI(x2,y2)]){
            ans ++;
            vis[PI(x2,y2)] = 1;
        }
    }
 
    cout << ans <<endl;
    return 0; 
}

2.蓝桥杯2024年第十五届决赛真题-立定跳远

题目描述

在运动会上，小明从数轴的原点开始向正方向立定跳远。项目设置了 n 个检查点 a1, a2, . . . , an 且 ai ≥ ai−1 > 0。小明必须先后跳跃到每个检查点上且只能跳跃到检查点上。同时，小明可以自行再增加 m 个检查点让自己跳得更轻松。

在运动会前，小明制定训练计划让自己单次跳跃的最远距离达到 L，并且学会一个爆发技能可以在运动会时使用一次，使用时可以在该次跳跃时的最远距离变为 2L。小明想知道，L 的最小值是多少可以完成这个项目？

输入格式

输入共 2 行。

第一行为两个正整数 n, m。

第二行为 n 个由空格分开的正整数 a1, a2, . . . , an。

输出格式

输出共 1 行，一个整数表示答案。

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5 3
1 3 5 16 21

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提示

【样例说明】

增加检查点 10, 13, 19，因此每次跳跃距离为 2, 2, 5, 3, 3, 3, 2，在第三次跳跃时使用技能即可。

【评测用例规模与约定】

对于 20% 的评测用例，保证 n ≤ 102，m ≤ 103，ai ≤ 103。

对于 100% 的评测用例，保证 2 ≤ n ≤ 105，m ≤ 108，0 < ai ≤ 108。

AC:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 100010;
int a[N];
int n, m;
bool check(int mid)

{
    int cnt = m;
    for (int i = 1; i < n; i++)
    {
        int t = a[i] - a[i - 1];
        if (mid < t)
        {
            if (t % mid == 0)
            {
                cnt -= (t / mid - 1);
                if (cnt < 0) return false;
            }
            else
            {
                cnt -= (t / mid);
                if (cnt < 0) return false;
            }
        }
    }
    return true;
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 0; i < n; i++) scanf("%d", &a[i]);
    m++;
    int l = 1, r = 1e8 + 1;
    while (l < r)
    {
        int mid = (l + r) >> 1;
        if (check(mid)) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    cout << r;

    return 0;

}

3.蓝桥杯2024年第十五届决赛真题-最小字符串(中等偏下)

题目描述

给定一个长度为 N 且只包含小写字母的字符串 S，和 M 个小写字母c1, c2, . . . , cM。现在你要把 M 个小写字母全部插入到字符串 S 中，每个小写字母都可以插入到任意位置。

请问能得到的字典序最小的字符串是什么？

输入格式

第一行包含两个整数 N 和 M。

第二行包含一个长度为 N 的字符串 S。

第三行包含 M 个小写字母 c1, c2, . . . , cM。

输出格式

输出一个长度为 N + M 的字符串代表答案。

样例输入

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4 3
abbc
cba

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aabbbcc

提示

【评测用例规模与约定】

对于 20% 的评测用例，M = 1。对于 100% 的评测用例，1 ≤ N, M ≤ 105。

AC：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, m;
string s, t, ans;

int main()
{
    cin >> n >> m;
    cin >> s >> t;
    sort(t.begin(), t.end());   //将m字符串进行排序
    int j = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        while (j < m && s[i] > t[j])
        {
            ans += t[j];
            j++;
        }
        ans += s[i];
    }
     
    for (int i = j; i < m; i++)
        ans += t[i];
    cout << ans << endl;

    return 0;

}

4.蓝桥杯2024年第十五届决赛真题-数位翻转(中等)

小明创造了一个函数 f(x) 用来翻转 x 的二进制的数位（无前导 0）。比如f(11) = 13，因为 11 = (1011)2，将其左右翻转后，变为 13 = (1101)2；再比如f(3) = 3，f(0) = 0，f(2) = f(4) = f(8) = 1 等等。

小明随机出了一个长度为 n 的整数数组 {a1, a2, ..., an}，他想知道，在这个数组中选择最多 m 个不相交的区间，将这些区间内的数进行二进制数位翻转（将ai 变为 f(ai)）后，整个数组的和最大是多少？

输入格式

输入共 2 行。

第一行为两个正整数 n, m。

第二行为 n 个由空格分开的整数 a1, a2, ..., an。

输出格式

输出共 1 行，一个整数表示答案。

样例输入

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5 3
11 12 13 14 15

样例输出

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提示

【样例说明 1】只翻转 a1，和为 13 + 12 + 13 + 14 + 15 = 67。

再比如：

【样例输入 2】6 223 8 11 19 16 35

【样例输出 2】134

【样例说明 2】翻转区间 [a3, a4] 和 [a6]，和为 23 + 8 + 13 + 25 + 16 + 49 = 134。

【评测用例规模与约定】

对于 20% 的评测用例，保证 n, m ≤ 20。

对于 100% 的评测用例，保证 n, m ≤ 1000，0 ≤ ai ≤ 109。

AC:

#include#includeusing namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1e3+100;
ll a[maxn];
ll b[maxn];
ll tmp[100000];
ll dp[maxn][maxn][2];//1是这个变化，0是不变化 
ll f(ll x){
    
    ll res = 0;
    while (x > 0) {
        res = (res << 1) | (x & 1);// 将x的最后一位加到res的最后
        x >>= 1;// 将x右移一位
    }
    return res;
}
int main(){
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i>a[i];
        b[i]=f(a[i]);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        dp[i][0][0]=dp[i-1][0][0]+a[i];
        for(int j=1;j<=m;j++){
            dp[i][j][0]=max(dp[i-1][j][0],dp[i-1][j][1])+a[i];
            dp[i][j][1]=max(dp[i-1][j-1][0],dp[i-1][j][1])+b[i];
        }
    }
    ll ans=0;
    for(int j=0;j<=m;j++){
        ans=max(ans,max(dp[n][j][0],dp[n][j][1]));
    }
    cout<<ans<<endl;
}

5.蓝桥杯2022年第十三届省赛真题-统计子矩阵

题目描述

给定一个 N × M 的矩阵 A，请你统计有多少个子矩阵 (最小 1 × 1，最大 N × M) 满足子矩阵中所有数的和不超过给定的整数 K?

输入格式

第一行包含三个整数 N, M 和 K.

之后 N 行每行包含 M 个整数，代表矩阵 A.

输出格式

一个整数代表答案。

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提示

满足条件的子矩阵一共有 19，包含：

大小为 1 × 1 的有 10 个。

大小为 1 × 2 的有 3 个。

大小为 1 × 3 的有 2 个。

大小为 1 × 4 的有 1 个。

大小为 2 × 1 的有 3 个。

对于 30% 的数据，N, M ≤ 20. 对于 70% 的数据，N, M ≤ 100.

对于 100% 的数据，1 ≤ N, M ≤ 500; 0 ≤ Ai j ≤ 1000; 1 ≤ K ≤ 250000000.

AC：

#include<iostream>
using namespace std;
const int N  = 510 , M = 510;
int s[N][M];
long long n , m , k , cnt = 0;  //cnt要为long long，不然会报错
int main()
{
    cin>>n>>m>>k;
    for(int i = 1;i <= n;i ++)
        for(int j = 1;j <= m;j ++)
        {
            cin>>s[i][j];
            s[i][j] += s[i-1][j];   //求列的前缀和
        }
    for(int i1 = 1;i1 <= n;i1 ++)
        for(int i2 = i1;i2 <= n;i2 ++)
            for(int l = 1 , r = 1 , sum = 0;r <= m; r++)
            {//左右边界及当前子矩阵总和
                sum += s[i2][r] - s[i1 - 1][r]; //向右累加
                while(sum > k)
                {//超出k则从左边开始缩减
                    sum -= s[i2][l] - s[i1 - 1][l];
                    l++;
                }
                cnt += r - l + 1;    //以left为起始，依次扩一列作为一个子矩阵
            }
    cout<<cnt<<endl;
    return 0;
}

6. 蓝桥杯2022年第十三届省赛真题-积木画

题目描述

小明最近迷上了积木画，有这么两种类型的积木，分别为 I 型（大小为 2 个单位面积）和 L 型（大小为 3 个单位面积）：

蓝桥杯2022年第十三届省赛真题积木画1

同时，小明有一块面积大小为 2 × N 的画布，画布由 2 × N 个 1 × 1 区域构成。小明需要用以上两种积木将画布拼满，他想知道总共有多少种不同的方式？积木可以任意旋转，且画布的方向固定。

输入格式

输入一个整数 N，表示画布大小。

输出格式

输出一个整数表示答案。由于答案可能很大，所以输出其对 1000000007 取模后的值。

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提示

五种情况如下图所示，颜色只是为了标识不同的积木：

蓝桥杯2022年第十三届省赛真题积木画2

对于所有测试用例，1 ≤ N ≤ 10000000.

解题思路:

思路：a[i][0]:i列积木的堆法，a[i][1]：i列多一块小方格的堆法。

如：

或者

不管这三块是怎么放的，都叫a[3][0].
如果在此基础上右边多一个小方格就叫a[3][1]，注意小方格可以在第四列上一行也可以在第四列下一行（不好找图就不给了，自行想象）

给出动态规划方程：

a[i][0]=(a[i-2][0]+a[i-2][1]+a[i-1][0])%mod;
a[i][1]=(a[i-1][0]*2+a[i-1][1])%mod;

画布大小为i的排法，即a[i][0]的值：

先考虑少一块I型积木的排法，即a[i-1][0],这时加上一块I型积木就行了，
再考虑少一块L型积木的排法，即a[i-2][1],这时加上一块L型积木就行了,
考虑少两块I型积木的排法，即a[i-2][0]，加上两块I型积木，注意，两块必需横着加进去，如果是竖着加，就相当于第一种类型排法了，重复了。
涉及缺更多积木时，会发现无论怎么排，排法都会和上述情况重复,也就是说，以上三种情况涵盖了a[i][0]的所有排法。

所以有：

a[i][0]=(a[i-2][0]+a[i-2][1]+a[i-1][0])%mod;

a[i][1]的排法，大家可以自行画图写出来。

写出初始状态：


a[1][0]=1,a[2][0]=2,a[1][1]=2,a[2][1]=4;

给出完整代码：


#include<stdio.h>
#define mod 1000000007
long int a[10000001][2];
int main()
{
int n;
a[1][0]=1,a[2][0]=2,a[1][1]=2,a[2][1]=4;
scanf("%d",&n);
if(n==1)printf("1");
else if(n==2)printf("2");
else {
for(int i=3;i<=n;i++){
a[i][0]=(a[i-2][0]+a[i-2][1]+a[i-1][0])%mod;
a[i][1]=(a[i-1][0]*2+a[i-1][1])%mod;
}
printf("%ld",a[n][0]%mod);
}

return 0;
}