树状数组+概率论，ABC380G - Another Shuffle Window

news2024/11/17 12:23:03

一、题目

1、题目描述

2、输入输出

2.1输入

2.2输出

3、原题链接

二、解题报告

1、思路分析

2、复杂度

3、代码详解

一、题目

1、题目描述

2、输入输出

2.1输入

2.2输出

3、原题链接

G - Another Shuffle Window

二、解题报告

1、思路分析

不难用树状数组计算全局逆序对tot

我们可以在滑窗过程中维护当前 k-子数组的逆序对数目cur（不计入滑窗内的数和滑窗外的数字构成的逆序对）

对于滑窗的每个时刻，滑窗外元素对逆序对的贡献为 tot - cur

也就是说，每个滑窗，不带滑窗内会有tot - cur个逆序对

每个滑窗这一部分的贡献为 (tot - cur) * (n - k + 1)，因为 n - k + 1个滑窗等概率，所以贡献比例相同，这一部分的答案我们滑窗过程中直接累加

关键在于如何理解滑窗内元素之间的逆序对数目？

我们发现我们只需计算子数组内产生的逆序对，而对于一个数组而言，数组内任意两个数之间构成逆序对的数目为 1 / 2，而 k-数组 pair 的数目为 k * (k - 1) / 2，每个pair 贡献1个逆序对的概率为1/2，根据二项分布的数学期望计算公式：E = np可得，k-数组的逆序对贡献期望为 k * (k - 1) / 4

那么答案就是把两部分加起来，详细看代码

2、复杂度

时间复杂度： O(NlogN)空间复杂度：O(N)

3、代码详解

#include <bits/stdc++.h>

// #define DEBUG

using u32 = unsigned;
using i64 = long long;
using u64 = unsigned long long;

constexpr int inf32 = 1E9 + 7;
constexpr i64 inf64 = 1E18 + 7;

template<class T>
constexpr T power(T a, i64 b) {
    T res = 1;
    for (; b; b /= 2, a *= a) {
        if (b % 2) {
            res *= a;
        }
    }
    return res;
}

constexpr i64 mul(i64 a, i64 b, i64 p) {
    i64 res = a * b - i64(1.L * a * b / p) * p;
    res %= p;
    if (res < 0) {
        res += p;
    }
    return res;
}
template<i64 P>
struct MLong {
    i64 x;
    constexpr MLong() : x{} {}
    constexpr MLong(i64 x) : x{norm(x % getMod())} {}
    
    static i64 Mod;
    constexpr static i64 getMod() {
        if (P > 0) {
            return P;
        } else {
            return Mod;
        }
    }
    constexpr static void setMod(i64 Mod_) {
        Mod = Mod_;
    }
    constexpr i64 norm(i64 x) const {
        if (x < 0) {
            x += getMod();
        }
        if (x >= getMod()) {
            x -= getMod();
        }
        return x;
    }
    constexpr i64 val() const {
        return x;
    }
    explicit constexpr operator i64() const {
        return x;
    }
    constexpr MLong operator-() const {
        MLong res;
        res.x = norm(getMod() - x);
        return res;
    }
    constexpr MLong inv() const {
        assert(x != 0);
        return power(*this, getMod() - 2);
    }
    constexpr MLong &operator*=(MLong rhs) & {
        x = mul(x, rhs.x, getMod());
        return *this;
    }
    constexpr MLong &operator+=(MLong rhs) & {
        x = norm(x + rhs.x);
        return *this;
    }
    constexpr MLong &operator-=(MLong rhs) & {
        x = norm(x - rhs.x);
        return *this;
    }
    constexpr MLong &operator/=(MLong rhs) & {
        return *this *= rhs.inv();
    }
    friend constexpr MLong operator*(MLong lhs, MLong rhs) {
        MLong res = lhs;
        res *= rhs;
        return res;
    }
    friend constexpr MLong operator+(MLong lhs, MLong rhs) {
        MLong res = lhs;
        res += rhs;
        return res;
    }
    friend constexpr MLong operator-(MLong lhs, MLong rhs) {
        MLong res = lhs;
        res -= rhs;
        return res;
    }
    friend constexpr MLong operator/(MLong lhs, MLong rhs) {
        MLong res = lhs;
        res /= rhs;
        return res;
    }
    friend constexpr std::istream &operator>>(std::istream &is, MLong &a) {
        i64 v;
        is >> v;
        a = MLong(v);
        return is;
    }
    friend constexpr std::ostream &operator<<(std::ostream &os, const MLong &a) {
        return os << a.val();
    }
    friend constexpr bool operator==(MLong lhs, MLong rhs) {
        return lhs.val() == rhs.val();
    }
    friend constexpr bool operator!=(MLong lhs, MLong rhs) {
        return lhs.val() != rhs.val();
    }
};

template<>
i64 MLong<0LL>::Mod = i64(1E18) + 9;

template<int P>
struct MInt {
    int x;
    constexpr MInt() : x{} {}
    constexpr MInt(i64 x) : x{norm(x % getMod())} {}
    
    static int Mod;
    constexpr static int getMod() {
        if (P > 0) {
            return P;
        } else {
            return Mod;
        }
    }
    constexpr static void setMod(int Mod_) {
        Mod = Mod_;
    }
    constexpr int norm(int x) const {
        if (x < 0) {
            x += getMod();
        }
        if (x >= getMod()) {
            x -= getMod();
        }
        return x;
    }
    constexpr int val() const {
        return x;
    }
    explicit constexpr operator int() const {
        return x;
    }
    constexpr MInt operator-() const {
        MInt res;
        res.x = norm(getMod() - x);
        return res;
    }
    constexpr MInt inv() const {
        assert(x != 0);
        return power(*this, getMod() - 2);
    }
    constexpr MInt &operator*=(MInt rhs) & {
        x = 1LL * x * rhs.x % getMod();
        return *this;
    }
    constexpr MInt &operator+=(MInt rhs) & {
        x = norm(x + rhs.x);
        return *this;
    }
    constexpr MInt &operator-=(MInt rhs) & {
        x = norm(x - rhs.x);
        return *this;
    }
    constexpr MInt &operator/=(MInt rhs) & {
        return *this *= rhs.inv();
    }
    friend constexpr MInt operator*(MInt lhs, MInt rhs) {
        MInt res = lhs;
        res *= rhs;
        return res;
    }
    friend constexpr MInt operator+(MInt lhs, MInt rhs) {
        MInt res = lhs;
        res += rhs;
        return res;
    }
    friend constexpr MInt operator-(MInt lhs, MInt rhs) {
        MInt res = lhs;
        res -= rhs;
        return res;
    }
    friend constexpr MInt operator/(MInt lhs, MInt rhs) {
        MInt res = lhs;
        res /= rhs;
        return res;
    }
    friend constexpr std::istream &operator>>(std::istream &is, MInt &a) {
        i64 v;
        is >> v;
        a = MInt(v);
        return is;
    }
    friend constexpr std::ostream &operator<<(std::ostream &os, const MInt &a) {
        return os << a.val();
    }
    friend constexpr bool operator==(MInt lhs, MInt rhs) {
        return lhs.val() == rhs.val();
    }
    friend constexpr bool operator!=(MInt lhs, MInt rhs) {
        return lhs.val() != rhs.val();
    }
};

template<>
int MInt<0>::Mod = 998244353;

template<int V, int P>
constexpr MInt<P> CInv = MInt<P>(V).inv();

constexpr int P = 998244353;
using Z = MInt<P>;

template<typename T>
class FenWick {
private:
    int n;
    std::vector<T> tr;
public:
    FenWick(int _n) : n(_n), tr(_n + 1) 
    {}
    FenWick(const std::vector<T> &_init) : FenWick(_init.size()) {
        init(_init);
    }

    void init(const std::vector<T> &_init) {
        for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
            tr[i] += _init[i - 1];
            int j = i + (i & -i);
            if (j <= n)
                tr[j] += tr[i];
        }
    }

    void add(int x, int k) {
        for (; x <= n; x += x & -x) tr[x] += k;
    }

    void add(int l, int r, T k) {
        add(l, k);
        if (r + 1 <= n)
            add(r + 1, -k);
    }

    T query(int x) const {
        T res = T{};
        for (; x; x &= x - 1) { 
            res += tr[x];
        }
        return res;
    }

    T query(int l, int r) const {
        if (l > r) return T{};
        return query(r) - query(l - 1);
    }

    int select(int k) {
        int x = 0;
        T cur{};
        for (int i = 1 << std::__lg(n); i; i /= 2) {
            if (x + i <= n && cur + tr[x + i] < k) {
                x += i;
                cur = cur + tr[x];
            }
        }
        return x + 1;
    }

    void clear() {
        tr.assign(n + 1, T{});
    }
};

void solve() {
    int n, k;
    std::cin >> n >> k;

    std::vector<int> p(n);
    for (int i = 0; i < n; ++ i) {
        std::cin >> p[i];
    }

    FenWick<Z> fen(n);

    Z tot = 0;
    for (int i = n - 1; ~i; -- i) {
        tot += fen.query(p[i]);
        fen.add(p[i], 1);
    }

    fen.clear();
    Z cur = 0;

    for (int i = k - 1; ~i; -- i) {
        cur += fen.query(p[i]);
        fen.add(p[i], 1);
    }

    Z ans = tot - cur;

    for (int i = 0; i + k < n; ++ i) {
        fen.add(p[i], -1);
        cur -= fen.query(p[i]);
        cur += fen.query(p[i + k], n);
        fen.add(p[i + k], 1);
        ans += tot - cur;
    }

    std::cout << (ans * Z(n - k + 1).inv() + Z(4).inv() * Z(k) * Z(k - 1)) << '\n';
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(nullptr);

#ifdef DEBUG
    int START = clock();
    freopen("in.txt", "r", stdin);
    freopen("out.txt", "w", stdout);
#endif
    int t = 1;
    // std::cin >> t;

    while (t --) {
        solve();
    }
#ifdef DEBUG
    std::cerr << "run-time: " << clock() - START << '\n';
#endif
    return 0;
}

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