网安数学基础-同余关系

news2024/12/23 10:31:18

文章目录

  • 参考
  • 等价关系
    • 实例
  • 同余
    • 同余和等价
    • 同余的运算
  • 乘法逆元
  • 一次同余方程
    • 消去律
  • 剩余类
  • 中国剩余定理
  • 欧拉函数
  • 欧拉定理 费马小定理

参考

【一口气学完】密码学的数学基础2，《同余关系》，一小时学完

等价关系

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三角形里的全等关系

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等价关系定义
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下面这个也是等价关系定义，感觉更好理解一些
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实例

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同余

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同余，r1-r2=0所以会整除
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同余和等价

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同余的运算

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这个注意要在相同模数下可以
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乘法逆元

模运算下最后的结果必然是一个整数

化简除法后，由于模运算下最后的结果必然是一个整数所以2的-1词法也需要转换为整数
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不同模数，相同数的乘法逆元不一样
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相关运算性质

随时可以模，但最后一定要模到比模数小

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1的乘法逆元总是自己，不管模数是什么

不一定总是有乘法逆元在这里插入图片描述
注意3的证明
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利用扩展欧几里得算法求乘法逆元
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一次同余方程

3与6不是互素，没有3的逆元，所以除3不能转换为乘3的逆元
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用另一个方式来看，同时除3没有对模数做除法
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所以模数也要除

如果要除的数是与模数互素，就可以直接除
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同时除必须只能除与模数互素的
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消去律

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例题

这里 3/5 mod2等价于3乘5mod2的乘法逆元
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有解的条件
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剩余类

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剩余类计算

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剩余类中的乘法逆元
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中国剩余定理

n1到nm两两互素，才有解x
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存在乘法逆元ti
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由于其他nj是ni*的因子，所以模为0

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实例
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最后233模105，解是23

双射

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欧拉函数

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欧拉函数性质

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下面定理中前提是p是素数
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例题
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欧拉定理 费马小定理

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欧拉定理

这里a和n必须互素
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有乘法逆元的剩余类乘一个任意整数的依然是一个有乘法逆元的剩余类
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先要判断3和8的是否互素
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如果模数为素数可以得到下面
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这个时候a不需要与模数互素了，只需要a是剩余类里的
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除m，模数要除最大公因数
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例题

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已经有9了，所以就是6/最大公因数
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