期望与方差

news2024/12/22 18:50:04

数学期望

数学期望是概率论中的一个重要概念，它描述了一个随机变量的平均值或中心值。数学期望也被称为期望值或均值。它是对随机变量可能取值的加权平均，其中权重是每个可能取值的概率。

离散型随机变量的期望

1.对于离散随机变量 X ，其可能的取值为 x1,x2,…,xn，对应的概率为

，则 X 的数学期望定义为：

其中 xi是随机变量 X 的可能取值，pi是 X取值为 xi的概率。

2.例1

有三个人的体重分别为150、165、180，求体重的期望值。
解：
三个人体重的概率相等，都是1/3，所以期望值：

其实就是求平均体重。

3.例2

学校举行歌唱比赛，假设给一个参赛选手打分，专业评委打分90，老师打分100，学生打分80，专业评委分数权重为0.9，老师权重为0.09，学生权重为0.01，求给该选手的打分期望值。
解：
设随机变量X，其取值分别为打分值：90、100、80，对应的概率为打分权重：0.9、0.09、0.01
所以，X的期望值为：

该题其实就是加权平均值。

4.例3

甲乙两人X、Y生产产品，次品率分别为：

X	0	1	2	3
P	0.3	0.3	0.2	0.2

Y	0	1	2	3
P	0.2	0.5	0.3	0.0

求甲乙谁的次品率高。
解：根据期望值来计算：
甲：

乙：

所以甲的次品率高。

连续型随机变量的期望

1、对于连续随机变量 X ，其概率密度函数为 f(x) ，则 X 的数学期望定义为：

说明：

可以将x理解为随机变量X的取值，f(x)理解为对应的概率。在严格意义上不是正确的，帮助我们理解。

2.例子

假设概率密度函数

求期望值。
解：

随机变量函数的期望

离散型随机变量函数的期望

1.如果 X 是一个离散随机变量，其可能的取值为 x1,x2,…,xn，对应的概率为 P(X=xi)=pi，那么函数 Y=g(X) 的期望值定义为：

说明：

g(xi)：X的取值xi带入函数Y=g(X)得到的新的取值。

计算逻辑：

将X的取值直接带入Y=g(X)函数得出新的取值，然后新值乘以对应的概率，将所有新取值与对应概率乘积相加即可。

2.例子

假设X的概率分布表：

X	0	1	2
P	0.1	0.6	0.3

函数Y=4X+1，求Y的期望。
解：

连续型随机变量函数的期望

1.如果 X 是一个连续随机变量，其概率密度函数为 f(x)，那么函数 Y=g(X)的期望值定义为：

2.例1

假设密度函数

函数Y=4X+1，求Y的期望。
解：直接代入公式

二维离散型随机变量函数的期望

1.如果 (X,Y) 是离散随机变量，其取值集合为 {(xi,yj)} ，对应的概率为

，那么函数 Z=g(X,Y) 的数学期望定义为：

说明：

表示将X、Y的所有取值按照Z=g(X,Y) 计算出新的取值。

2.例2

假设X、Y联合概率分布表：

X\y	0	1	2
1	0.1	0.1	0.2
2	0.2	0.2	0.2

求

的期望。

解：
将X、Y的所有取值按照Z=g(X,Y) 计算出新的取值，乘以对应的概率，然后相加。

二维连续型随机变量函数的期望

1.如果 (X,Y) 是连续随机变量，其联合概率密度函数为 f(x,y)，那么函数 Z=g(X,Y)的数学期望定义为：

这里，g(X,Y) 是 X和 Y的函数。

2.例子

假设X、Y的联合密度函数

求E(XY)

解：直接代入公式

数学期望的性质

常数的期望等于常数，EC=C
E(X+C)=EX+C
E(CX)=C*EX
E(kX+b)=k*EX+b
E(X±Y)=EX+EY (任何时候都成立 ) E(∑CiXi) = ∑CiEXi
X、Y独立，E(XY)=EX*EY

1.例子

假设X、Y独立，X和Y的分布表如下：

X	9	10	11
P	0.3	0.5	0.2

Y	6	7
P	0.4	0.6

求：

解：
先计算EX和EY：

使用性质5计算

使用性质6计算

两个事件Y不能确定是独立的，所以不能使用性质计算，使用定义来做

方差

1.方差是统计学中一个重要的概念，用于衡量随机变量或一组数据的离散程度。它反映了数据点与其平均值之间的偏离程度。方差越大，数据点越分散；方差越小，数据点越集中。

2.对于一个随机变量 X，其方差 Var(X)或DX定义为：

3. $^{\sqrt{DX}}$ 叫做标准差。

4.DX的推导

由E(kX+b)=k*EX+b可将DX进行展开，EX是一个常数

$DX=E[(X-EX)^2]=E(X^2)-2EXEX+(EX^2)=E(X^2)-(EX)^2$

离散型随机变量的方差

1.对于离散型随机变量 X，其方差可以表示为：

4.例子

假设

X	-2	0	2
P	0.4	0.3	0.3

求方差DX。
解：
先求EX：

再求EX^2:

求方差：

连续型随机变量的方差

1.对于连续型随机变量 XX，其方差可以表示为：

2.例子

假设密度函数：

求方差DX。
解：
求EX：

求EX^2:

求DX：

方差的性质

常数的方差： $DC=0$
$D(X+C)=DX$
$D(CX)=C^{^{2}}DX$
$D(kX+b)=k^{^{2}}DX$
X、Y独立, $D(X\pm Y) = DX+DY$
X、Y不独立， $D(X\pm Y)=DX+DY+2Cov(X,Y)$ 是协方差，后边会讲

推导

$D(X\pm Y)=E[(X \pm Y)-E(X \pm Y)]^2=E[(X\pm Y)-(EX \pm EY)]^2=E[(X-EX) \pm (Y-EY)]^2=E[(X-EX)^2+(Y-EY)^2 \pm 2(X-EX)(Y-EY)]=E(X-EX)^2+E(Y-EY)^2 \pm 2E[(X-EX)(Y-EY)]=DX^2+DY^2 \pm 2COV(X,Y)$