伯努利分布（Bernoulli distribution）的两次成功之间间隔次数的分布

news2024/10/17 23:26:49

伯努利分布（Bernoulli distribution）是一种特殊的二项式分布，即0-1分布。百科上已经说明了这种分布，即 $P(x=k)=p^k(1-p)^{1-k}$ ，其中 $k \in \{0,1\}$ 。其数学期望为 $p$ ，方差为 $p(1-p)$ 。详细说明见0—1分布_百度百科

本文进一步说明对于这类分布的事件，两次出现1之间的间隔的分布。

对于泊松过程，两次事件之间的概率符合指数分布。概率论基础 - 14 - 指数分布-腾讯云开发者社区-腾讯云

但对于符合伯努利分布的事件，例如抛硬币实验，在一次抛出正面后，下一次抛出正面前抛出了反面的次数的分布也符合指数分布，但和泊松过程的指数分布不完全相同。

概率分布

假定伯努利分布的事件成功出现概率是 $p$ ，则在两次成功的实验之间，有 $g$ 次不成功的概率为

$P(g)={p}(1-p)^g$

提示：一次不成功的概率是 $1-p$ ，所以 $g$ 次不成功，之后一次成功的概率就如上式所示。

期望值

对于这个分布，其期望值为

$E(g)=0p(1-p)+1p(1-p)^1+2p(1-p)^2+...+kp(1-p)^k$

$=p(1-p)+p(1-p)^2+p(1-p)^2+...+(1-p)^k+(1-p)^k+...+(1-p)^k+...$ $={p(1-p)\over 1-(1-p)}+{p(1-p)^2\over 1-(1-p)}+...+{p(1-p)^k\over 1-(1-p)}+...$

$={p\over 1-(1-p)}((1-p)+(1-p)^2+...)={1-p\over 1-(1-p)}={1-p\over p}$ （1）

方差

计算方差前，先计算

$E(g^2)=\sum_{g=0}^{+\infty}p(1-p)^gg^2=1^2p(1-p)+2^2p(1-p)^2+3^2p(1-p)^3+...$

$=p(1-p){1\over 1-(1-p)}+(2^2-1)p(1-p)^2{1\over 1-(1-p)}+(3^2-(2^2-1)-1)p(1-p)^3{1\over 1-(1-p)}+(4^2-(3^2-(2^2-1)-1)-(2^2-1)-1)p(1-p)^4{1\over 1-(1-p)}+...$

系数比较复杂。但发现规律，它符合1，3，5，7，也就是说第 $k$ 项是 $2k-1$

下面用数学归纳法证明一下

已知 $k=1$ 时系数是 $1$

$k=k_0$ 时，若系数是 $k_0-1$

那么 $k=k_0+1$ 时，系数为 $(k_0+1)^2-(2k_0-1)-(2k_0-3)-(2k_0-5)-...-1$

$=(k_0+1)^2-{(1+2k_0-1)k_0\over 2}=(k_0+1)^2-k_0^2=2k_0+1=2(k_0+1)-1$ ，符合规律。

所以 $E(g^2)=p(1-p){1\over 1-(1-p)}+3p(1-p)^2{1\over 1-(1-p)}+5p(1-p)^3{1\over 1-(1-p)}+...$ （2）

$=(1-p)+3(1-p)^2+5(1-p)^3+...$

$={1-p\over1-(1-p)}+(3-1){(1-p)^2\over 1-(1-p)}+(5-(3-1)-1){(1-p)^3\over 1-(1-p)}+(7-(5-(3-1)-1)-(3-1)-1){(1-p)^4\over 1-(1-p)}$

系数还是复杂。但发现规律，除了第一项，其它项的系数均为2。

下面用数学归纳法证明一下

已知 $k=2$ 时系数是 $2$

$k=k_0$ 时，若系数是 $2$

那么 $k=k_0+1$ 时，系数为 $2(k_0+1)-1-2(k_0-1)-1=2$ ，符合规律

（说明，前面说过式（2）中系数符合 $2k-1$ 。另外，从 $k=2$ 到 $k=k_0$ ，共有 $k_0-1$ 个 $2$ ）

所以 $E(g^2)={1-p+2(1-p)^2+2(1-p)^3+...\over 1-(1-p)}={1-p+2{(1-p)^2\over 1-(1-p)}\over 1-(1-p)}$

$={1-p+2{(1-p)^2\over p}\over p}={p^2-3p+2\over p^2}$ （3）

根据式（1）和式（3）

$Var(g)=E(g^2)-E^2(g)$

$={p^2-3p+2\over p^2}-({1-p\over p})^2={1-p\over p^2}$

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伯努利分布（Bernoulli distribution）的两次成功之间间隔次数的分布

概率分布

期望值

方差

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