2014年国赛高教杯数学建模
D题 储药柜的设计
储药柜的结构类似于书橱，通常由若干个横向隔板和竖向隔板将储药柜分割成若干个储药槽(如图1所示)。为保证药品分拣的准确率，防止发药错误，一个储药槽内只能摆放同一种药品。药品在储药槽中的排列方式如图2所示。药品从后端放入，从前端取出。一个实际储药柜中药品的摆放情况如图3所示。
为保证药品在储药槽内顺利出入，要求药盒与两侧竖向隔板之间、与上下两层横向隔板之间应留2mm的间隙，同时还要求药盒在储药槽内推送过程中不会出现并排重叠、侧翻或水平旋转。在忽略横向和竖向隔板厚度的情况下，建立数学模型，给出下面几个问题的解决方案。
1. 药房内的盒装药品种类繁多，药盒尺寸规格差异较大，附件1中给出了一些药盒的规格。请利用附件1的数据，给出竖向隔板间距类型最少的储药柜设计方案，包括类型的数量和每种类型所对应的药盒规格。
2. 药盒与两侧竖向隔板之间的间隙超出2mm的部分可视为宽度冗余。增加竖向隔板的间距类型数量可以有效地减少宽度冗余，但会增加储药柜的加工成本，同时降低了储药槽的适应能力。设计时希望总宽度冗余尽可能小，同时也希望间距的类型数量尽可能少。仍利用附件1的数据，给出合理的竖向隔板间距类型的数量以及每种类型对应的药品编号。
3. 考虑补药的便利性，储药柜的宽度不超过2.5m、高度不超过2m，传送装置占用的高度为0.5m，即储药柜的最大允许有效高度为1.5m。药盒与两层横向隔板之间的间隙超出2mm的部分可视为高度冗余，平面冗余＝高度冗余×宽度冗余。在问题2计算结果的基础上，确定储药柜横向隔板间距的类型数量，使得储药柜的总平面冗余量尽可能地小，且横向隔板间距的类型数量也尽可能地少。
4. 附件2给出了每一种药品编号对应的最大日需求量。在储药槽的长度为1.5m、每天仅集中补药一次的情况下，请计算每一种药品需要的储药槽个数。为保证药房储药满足需求，根据问题3中单个储药柜的规格，计算最少需要多少个储药柜。
整体求解过程概述(摘要)
本文针对自动补药药柜的设计进行研究。
针对问题一，在只考虑储药柜竖向隔板的最小间距种类，在满足安全送药的四个条件，即侧间距2mm,无并排，无侧翻，无水平旋转下，建立单目标优化模型，并设计区间无重叠聚类算法，实现最少间距种类的求解，由程序得到最少四类列宽的分类，分别为
19mm，34mm，46mm，58mm
针对问题二，我们将总宽度冗余，与列间距类型数量作为目标，建立双目标规划模型。基于分层求解多目标规划模型方法，我们在问题一得到的4个不同类型的基础上，首先建立冗余权重模型，首先计算出各中药盒宽度在原始4种分类基础上的加权冗余，并按照其加权冗余累积贡献率排序，根据累积贡献率，我们讨论了90%和95%下，根据列宽优化算法，计算出新的列宽分类，经过加权冗余度和列宽类数的分析，我们确定在新增3类情况下的最优解。列宽分别为19mm，22mm，34mm，37mm，46mm，47mm，58mm并且给出相应的药盒编号。
针对问题三，我们将平面总冗余度，与行间距类型最小作为目标，在以药柜给定规格为约束条件下，建立双目标规划模型。在问题二的基础上，我们通过对分布分析法，先按照比列均衡的思想确定药柜一行放置76个药槽，在此基础上为了尽量减少平面冗余，我们按照高相近归类方法，得到药柜至少需要26行，并且计算出高大致需要以下9类。
34mm，41mm，47mm，54mm，60mm，72mm，85mm，101mm，125mm
针对问题四，在药槽长度1.5米的条件下，我们首先计算出每一种药盒在药槽长度方向上能的个数。因此确定同一种要需要的药槽数量。又因为每天仅集中补药一次，所以设计的储药槽个数一次性能放药盒的个数大于该需求量的最大值才能满足。
模型假设：
1.假设每次从后端放入的药品都正立平稳放入；
2.假设药盒水平旋转时中心点在一条直线上；
3.假设药盒旋转角度超过90°时才为水平旋转；
4.假设每个药槽都有药盒放入；
5.假设一天中仅有的一次药品补给是在药店下班前或者下班后一次性补给完成；
问题重述：
药柜的结构与书柜相似，若干个横向隔板和竖向隔板将储药柜分割成若干个储药槽，横向隔板决定所放药品的高度，竖向隔板决定所放药品的宽度，为了方便使用和保证药品分拣的准确率，防止发药错误，一个储药槽内只能摆放同一种药品，要求药盒与两侧竖向隔板之间、与上下两层横向隔板之间应留2mm的间隙，同时还要求药盒在储药槽内推送过程中不会出现并排重叠、侧翻或水平旋转。为了更好的在实际中运用，在忽略横向和竖向隔板厚度的情况下，建立数学优化模型，给出下面几个问题的解决方案。
问题一：因为药盒尺寸规格差异较大，根据提供的数据，设计药柜的竖向隔板间距类型最小种类数的数量和每种类型所对应的药盒规格。
问题二：宽度冗余是药盒与两侧竖向隔板之间的间隙超出2mm的部分，当适当增加竖向隔板间距类型的数量可以减少宽度冗余，但增加竖向隔板间距类型会增加储药柜的加工成本，通过对问题一中的最佳设计求解方案，设计出合理的竖向隔板间距类型数量以及每种类型对应的药盒编号，使得总宽度冗余尽可能小，同时也希望间距的类型数量尽可能少。
问题三：为了考虑拿药的方便性和补药的便利性，储药柜的尺寸要具有合理性和可行性，规定储药柜的宽度不超过2.5m，高度不超过2m，储药柜允许的最大有效高度为1.5m。药盒与两层横向隔板之间的间隙超过2mm的部分叫做高度冗余，可以得出平面冗余=高度冗余×宽度冗余，在问题二中计算结果的基础上，确定储药柜横向隔板间距的类型数量，使得储药柜的总平面余量尽可能地小，且横向隔板间距的类型数量也尽可能地少。
问题四：由附件2可得每一种药品编号对应的最大日需求量。已知储药槽的宽度不超过2.5m，有效高度不超过1.5m，长度为1.5m，每天补药仅一次，请计算每一种药品需要的储药槽个数。为了保证药房储药满足需求，计算稀少需要多少个储药柜。
模型的建立与求解整体论文缩略图
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程序代码：
function [t,g]=gaodu(A) %%%按照76列一行的节点计算
H=A(:,3);
B=sort(H,'ascend');
g=B(76:76:1919)+2;
for i=1:25
t(i)=sum(A(:,3)<=g(i)-2);
end
for i=2:25
t(25+2-i)=t(25+2-i)-t(25+1-i);
end
function t=gfl(C)%%%%高分类程序
[m,n]=size(C);
t=0;
i=2;
while i<=99
p=1;
a=zeros(7,1);
while p==1|i>99
a=a+C(1:7,i);
bb=sum(a.*C(1:7,1));
if sum(a.*C(1:7,1))<=2500
i=i+1;
else
t=t+1;
g(t)=C(8,i-1);
p=0;
end
end
end
function w=lv(x)
%UNTITLED7 Summary of this function goes here
% Detailed explanation goes here
for i=1:47;
w(i)=x(i,1)./sum(x(:,1))
end
end
function B = jryl( A )
%UNTITLED5 Summary of this function goes here
% Detailed explanation goes here
[m,n]=size(A);
for i=1:m
if A(i,1)<=15&A(i,1)>=10
B(i,2)=(19-A(i,1)-4)*A(i,3);
B(i,1)=A(i,1);
elseif A(i,1)<=27&A(i,1)>=16
B(i,2)=(31-A(i,1)-4)*A(i,3);
B(i,1)=A(i,1);
elseif A(i,1)<=35&A(i,1)>=28
B(i,2)=(39-A(i,1)-4)*A(i,3);
B(i,1)=A(i,1);
elseif A(i,1)<=45&A(i,1)>=36
B(i,2)=(49-A(i,1)-4)*A(i,3);
B(i,1)=A(i,1);
elseif A(i,1)<=56&A(i,1)>=46
B(i,2)=(60-A(i,1)-4)*A(i,3);
B(i,1)=A(i,1);
end
end
end
