给你一个下标从 1 开始的整数数组 numbers ，该数组已按 非递减顺序排列  ，请你从数组中找出满足相加之和等于目标数 target 的两个数。如果设这两个数分别是 numbers[index1] 和 numbers[index2] ，则 1 <= index1 < index2 <= numbers.length 。

以长度为 2 的整数数组 [index1, index2] 的形式返回这两个整数的下标 index1 和 index2。

你可以假设每个输入 只对应唯一的答案 ，而且你 不可以 重复使用相同的元素。

你所设计的解决方案必须只使用常量级的额外空间。

示例 1：

输入：numbers = [2,7,11,15], target = 9
输出：[1,2]
解释：2 与 7 之和等于目标数 9 。因此 index1 = 1, index2 = 2 。返回 [1, 2] 。

示例 2：

输入：numbers = [2,3,4], target = 6
输出：[1,3]
解释：2 与 4 之和等于目标数 6 。因此 index1 = 1, index2 = 3 。返回 [1, 3] 。

示例 3：

输入：numbers = [-1,0], target = -1
输出：[1,2]
解释：-1 与 0 之和等于目标数 -1 。因此 index1 = 1, index2 = 2 。返回 [1, 2] 。

提示：

• 2 <= numbers.length <= 3 * 104
• -1000 <= numbers[i] <= 1000
• numbers 按 非递减顺序 排列
• -1000 <= target <= 1000
• 仅存在一个有效答案

---

步骤1：问题分析

这是一个经典的双指针问题。给定一个已按非递减顺序排列的数组 numbers，从中找到两个数，使得它们的和等于指定的目标值 target。该问题的输入输出和限制条件如下：

• 输入：
  • 一个整数数组 numbers，长度范围为 [2, 3*10^4]。
  • 一个整数 target，表示两个数的目标和。
• 输出：
  • 返回两个整数的下标 [index1, index2]，满足 numbers[index1] + numbers[index2] = target 且 1 <= index1 < index2 <= numbers.length。
• 限制条件：
  • 只存在唯一解。
  • 数组已按非递减顺序排列。
  • 需要常量级的额外空间。

边界条件包括：

• numbers 数组只有两个元素。
• 数组中可能有负数。

步骤2：解题思路

由于数组已排序，且每个元素仅使用一次，因此最优解法是 双指针法，能够在 O(n) 时间复杂度内解决，并符合常量空间要求。

具体算法思路

1. 初始化双指针：

   • 定义 left 指针指向数组开头，right 指针指向数组末尾。

2. 双指针遍历：

   • 计算 left 和 right 指针所指元素的和。
   • 若和等于目标值 target，返回 [left+1, right+1]（题目要求索引从 1 开始）。
   • 若和小于 target，增加 left 指针以增大和。
   • 若和大于 target，减小 right 指针以减小和。

3. 终止条件：

   • 当找到满足条件的两个数时退出循环，返回它们的索引。

算法复杂度分析

• 时间复杂度：O(n)，因为只需遍历数组一次。
• 空间复杂度：O(1)，只用到固定数量的指针和变量。

这种双指针方法能在常量空间内快速定位目标值，因此是最优解。

步骤3：C++代码实现

步骤4：启发与算法优化

1. 启发：排序数组的特点可以简化许多查找问题。在本题中，我们利用了双指针技术，使得时间复杂度降到 O(n)，并且仅用 O(1) 的空间。
2. 优化思路：如果数组未排序，可先排序，再使用双指针方法，时间复杂度为 O(n log n)，适用于较大的数据集。
3. 效率提升：这种方法特别适用于数据规模大且已排序的查找类问题，避免了 O(n^2) 的复杂度。

步骤5：实际应用

应用场景：此算法在金融行业的配对交易策略中有广泛应用。例如，在证券市场中，配对交易策略要求找到成对的股票，使得在满足一定条件下购买一支股票并卖出另一支。

实际应用示例：

假设有一组股票的收益预期值已按从低到高排序，交易员希望找到两支股票组合，其收益和达到某个指定目标收益。利用该算法可以高效地确定满足条件的股票对，而无需穷举所有组合。在实现上，将收益预期作为 numbers，目标收益作为 target，借助双指针法即可找到合适的股票对，快速执行配对交易。