【学习笔记】一种使用多项式快速计算 sin 和 cos 近似值的方法

一种使用多项式快速计算 `sin` 和 `cos` 近似值的方法

在嵌入式开发、游戏开发或其他需要快速数学计算的领域，sin 和 cos 函数的计算时间可能会影响程序的整体性能。特别是在对时间敏感、精度要求不高的场景中，传统的 sin 和 cos 函数由于依赖复杂的数值方法实现，可能无法满足性能需求。基于此，这里使用基于5次多项式拟合的快速计算 sin 和 cos 近似值方法。

背景

通常情况下，计算正弦和余弦函数时我们会使用 math.h 标准库中的 sin 和 cos 函数。虽然这些函数提供了非常高的精度，但计算代价相对较高。对于一些场景，如实时动画、物理引擎、嵌入式系统等，性能是关键因素，因此我们希望找到更快的近似计算方法。

多项式拟合概述

通过多项式拟合可以对函数进行逼近，以减少复杂运算。这里采用了一个五次多项式：
$P(x) = w_0 + w_1x + w_2x^2 + w_3x^3 + w_4x^4 + w_5x^5$
这个多项式被用来近似计算 sin(x) 和 cos(x)，并在特定区间（0 到 $\frac{\pi}{2}$ ）内有效。

代码分析

以下是多项式拟合的 sin 和 cos 函数实现：

#include <math.h>

#define w0 1.260e-5
#define w1 0.9996
#define w2 0.002307
#define w3 -0.1723
#define w4 0.006044
#define w5 0.005752

// 有效范围 0 - Π/2
double sine(double x) {
    return w0 + x * (w1 + x * (w2 + x * (w3 + x * (w4 + x * w5))));
}

double cose(double x) {
    x = M_PI_2 - x;
    return w0 + x * (w1 + x * (w2 + x * (w3 + x * (w4 + x * w5))));
}

正弦函数拟合 (`sine`)

sine 函数使用五次多项式来逼近 sin(x)。
系数 w0 到 w5 是通过对 sin(x) 函数拟合获得的。
该方法在区间 $\leq x \leq \frac{\pi}{2}$ 内具有较高的精度。

余弦函数拟合 (`cose`)

cose 函数是基于正弦函数的特性 $\cos(x) = \sin(\frac{\pi}{2} - x)$ 来计算的。
通过将 x 转换为 $\frac{\pi}{2} - x$ ，再调用与 sine 类似的多项式近似进行计算。

精度与性能

在代码的 main 函数中，我们对角度范围 $0^\circ$ 到 $90^\circ$ （对应弧度 $0$ 到 $\frac{\pi}{2}$ ）进行正弦和余弦函数的测试，并比较标准库中的 sin 和 cos 与我们多项式近似计算的结果。

for(int i = 0; i <= 90 ; i++) {
    double rad = M_PI / 180 * i;   // 角度转换为弧度
    double y = sin(rad);
    double ay = sine(rad);
    printf("角度 %03d sin = %.6f sine = %.6f 绝对误差 = %.6f\n", i, y, ay, fabs(ay - y));
}

for(int i = 0; i <= 90 ; i++) {
    double rad = M_PI / 180 * i;   // 角度转换为弧度
    double y = cos(rad);
    double ay = cose(rad);
    printf("角度 %03d cos = %.6f cose = %.6f 绝对误差 = %.6f\n", i, y, ay, fabs(ay - y));
}

运行结果如下，sin函数和sine函数计算结果对比：

角度 000 sin = 0.000000 sine = 0.000013 绝对误差 = 0.000013
角度 001 sin = 0.017452 sine = 0.017459 绝对误差 = 0.000006
角度 002 sin = 0.034899 sine = 0.034901 绝对误差 = 0.000001
角度 003 sin = 0.052336 sine = 0.052333 绝对误差 = 0.000003
角度 004 sin = 0.069756 sine = 0.069751 绝对误差 = 0.000006
角度 005 sin = 0.087156 sine = 0.087148 绝对误差 = 0.000008
角度 006 sin = 0.104528 sine = 0.104519 绝对误差 = 0.000010
角度 007 sin = 0.121869 sine = 0.121859 绝对误差 = 0.000011
角度 008 sin = 0.139173 sine = 0.139162 绝对误差 = 0.000011
角度 009 sin = 0.156434 sine = 0.156423 绝对误差 = 0.000012
角度 010 sin = 0.173648 sine = 0.173636 绝对误差 = 0.000012
角度 011 sin = 0.190809 sine = 0.190798 绝对误差 = 0.000011
角度 012 sin = 0.207912 sine = 0.207901 绝对误差 = 0.000011
角度 013 sin = 0.224951 sine = 0.224940 绝对误差 = 0.000011
角度 014 sin = 0.241922 sine = 0.241912 绝对误差 = 0.000010
角度 015 sin = 0.258819 sine = 0.258809 绝对误差 = 0.000010
角度 016 sin = 0.275637 sine = 0.275628 绝对误差 = 0.000009
角度 017 sin = 0.292372 sine = 0.292363 绝对误差 = 0.000009
角度 018 sin = 0.309017 sine = 0.309008 绝对误差 = 0.000009
角度 019 sin = 0.325568 sine = 0.325559 绝对误差 = 0.000009
角度 020 sin = 0.342020 sine = 0.342011 绝对误差 = 0.000009
角度 021 sin = 0.358368 sine = 0.358359 绝对误差 = 0.000009
角度 022 sin = 0.374607 sine = 0.374597 绝对误差 = 0.000010
角度 023 sin = 0.390731 sine = 0.390721 绝对误差 = 0.000010
角度 024 sin = 0.406737 sine = 0.406726 绝对误差 = 0.000011
角度 025 sin = 0.422618 sine = 0.422606 绝对误差 = 0.000012
角度 026 sin = 0.438371 sine = 0.438358 绝对误差 = 0.000013
角度 027 sin = 0.453990 sine = 0.453976 绝对误差 = 0.000014
角度 028 sin = 0.469472 sine = 0.469456 绝对误差 = 0.000015
角度 029 sin = 0.484810 sine = 0.484793 绝对误差 = 0.000017
角度 030 sin = 0.500000 sine = 0.499982 绝对误差 = 0.000018
角度 031 sin = 0.515038 sine = 0.515018 绝对误差 = 0.000020
角度 032 sin = 0.529919 sine = 0.529898 绝对误差 = 0.000021
角度 033 sin = 0.544639 sine = 0.544616 绝对误差 = 0.000023
角度 034 sin = 0.559193 sine = 0.559168 绝对误差 = 0.000025
角度 035 sin = 0.573576 sine = 0.573550 绝对误差 = 0.000027
角度 036 sin = 0.587785 sine = 0.587757 绝对误差 = 0.000028
角度 037 sin = 0.601815 sine = 0.601785 绝对误差 = 0.000030
角度 038 sin = 0.615661 sine = 0.615629 绝对误差 = 0.000032
角度 039 sin = 0.629320 sine = 0.629287 绝对误差 = 0.000034
角度 040 sin = 0.642788 sine = 0.642752 绝对误差 = 0.000035
角度 041 sin = 0.656059 sine = 0.656022 绝对误差 = 0.000037
角度 042 sin = 0.669131 sine = 0.669092 绝对误差 = 0.000039
角度 043 sin = 0.681998 sine = 0.681958 绝对误差 = 0.000040
角度 044 sin = 0.694658 sine = 0.694617 绝对误差 = 0.000042
角度 045 sin = 0.707107 sine = 0.707064 绝对误差 = 0.000043
角度 046 sin = 0.719340 sine = 0.719295 绝对误差 = 0.000044
角度 047 sin = 0.731354 sine = 0.731308 绝对误差 = 0.000046
角度 048 sin = 0.743145 sine = 0.743098 绝对误差 = 0.000047
角度 049 sin = 0.754710 sine = 0.754662 绝对误差 = 0.000048
角度 050 sin = 0.766044 sine = 0.765996 绝对误差 = 0.000049
角度 051 sin = 0.777146 sine = 0.777096 绝对误差 = 0.000050
角度 052 sin = 0.788011 sine = 0.787960 绝对误差 = 0.000051
角度 053 sin = 0.798636 sine = 0.798584 绝对误差 = 0.000052
角度 054 sin = 0.809017 sine = 0.808964 绝对误差 = 0.000053
角度 055 sin = 0.819152 sine = 0.819099 绝对误差 = 0.000053
角度 056 sin = 0.829038 sine = 0.828983 绝对误差 = 0.000054
角度 057 sin = 0.838671 sine = 0.838615 绝对误差 = 0.000055
角度 058 sin = 0.848048 sine = 0.847992 绝对误差 = 0.000056
角度 059 sin = 0.857167 sine = 0.857110 绝对误差 = 0.000057
角度 060 sin = 0.866025 sine = 0.865967 绝对误差 = 0.000058
角度 061 sin = 0.874620 sine = 0.874560 绝对误差 = 0.000059
角度 062 sin = 0.882948 sine = 0.882887 绝对误差 = 0.000060
角度 063 sin = 0.891007 sine = 0.890945 绝对误差 = 0.000062
角度 064 sin = 0.898794 sine = 0.898731 绝对误差 = 0.000063
角度 065 sin = 0.906308 sine = 0.906243 绝对误差 = 0.000065
角度 066 sin = 0.913545 sine = 0.913478 绝对误差 = 0.000067
角度 067 sin = 0.920505 sine = 0.920436 绝对误差 = 0.000069
角度 068 sin = 0.927184 sine = 0.927113 绝对误差 = 0.000071
角度 069 sin = 0.933580 sine = 0.933507 绝对误差 = 0.000074
角度 070 sin = 0.939693 sine = 0.939616 绝对误差 = 0.000076
角度 071 sin = 0.945519 sine = 0.945439 绝对误差 = 0.000079
角度 072 sin = 0.951057 sine = 0.950974 绝对误差 = 0.000082
角度 073 sin = 0.956305 sine = 0.956219 绝对误差 = 0.000086
角度 074 sin = 0.961262 sine = 0.961173 绝对误差 = 0.000089
角度 075 sin = 0.965926 sine = 0.965833 绝对误差 = 0.000093
角度 076 sin = 0.970296 sine = 0.970199 绝对误差 = 0.000096
角度 077 sin = 0.974370 sine = 0.974270 绝对误差 = 0.000100
角度 078 sin = 0.978148 sine = 0.978044 绝对误差 = 0.000104
角度 079 sin = 0.981627 sine = 0.981519 绝对误差 = 0.000108
角度 080 sin = 0.984808 sine = 0.984696 绝对误差 = 0.000112
角度 081 sin = 0.987688 sine = 0.987573 绝对误差 = 0.000115
角度 082 sin = 0.990268 sine = 0.990150 绝对误差 = 0.000118
角度 083 sin = 0.992546 sine = 0.992425 绝对误差 = 0.000121
角度 084 sin = 0.994522 sine = 0.994398 绝对误差 = 0.000124
角度 085 sin = 0.996195 sine = 0.996069 绝对误差 = 0.000126
角度 086 sin = 0.997564 sine = 0.997437 绝对误差 = 0.000127
角度 087 sin = 0.998630 sine = 0.998502 绝对误差 = 0.000128
角度 088 sin = 0.999391 sine = 0.999264 绝对误差 = 0.000127
角度 089 sin = 0.999848 sine = 0.999723 绝对误差 = 0.000125
角度 090 sin = 1.000000 sine = 0.999879 绝对误差 = 0.000121

cos函数和cose函数计算结果对比：

角度 000 cos = 1.000000 cose = 0.999879 绝对误差 = 0.000121
角度 001 cos = 0.999848 cose = 0.999723 绝对误差 = 0.000125
角度 002 cos = 0.999391 cose = 0.999264 绝对误差 = 0.000127
角度 003 cos = 0.998630 cose = 0.998502 绝对误差 = 0.000128
角度 004 cos = 0.997564 cose = 0.997437 绝对误差 = 0.000127
角度 005 cos = 0.996195 cose = 0.996069 绝对误差 = 0.000126
角度 006 cos = 0.994522 cose = 0.994398 绝对误差 = 0.000124
角度 007 cos = 0.992546 cose = 0.992425 绝对误差 = 0.000121
角度 008 cos = 0.990268 cose = 0.990150 绝对误差 = 0.000118
角度 009 cos = 0.987688 cose = 0.987573 绝对误差 = 0.000115
角度 010 cos = 0.984808 cose = 0.984696 绝对误差 = 0.000112
角度 011 cos = 0.981627 cose = 0.981519 绝对误差 = 0.000108
角度 012 cos = 0.978148 cose = 0.978044 绝对误差 = 0.000104
角度 013 cos = 0.974370 cose = 0.974270 绝对误差 = 0.000100
角度 014 cos = 0.970296 cose = 0.970199 绝对误差 = 0.000096
角度 015 cos = 0.965926 cose = 0.965833 绝对误差 = 0.000093
角度 016 cos = 0.961262 cose = 0.961173 绝对误差 = 0.000089
角度 017 cos = 0.956305 cose = 0.956219 绝对误差 = 0.000086
角度 018 cos = 0.951057 cose = 0.950974 绝对误差 = 0.000082
角度 019 cos = 0.945519 cose = 0.945439 绝对误差 = 0.000079
角度 020 cos = 0.939693 cose = 0.939616 绝对误差 = 0.000076
角度 021 cos = 0.933580 cose = 0.933507 绝对误差 = 0.000074
角度 022 cos = 0.927184 cose = 0.927113 绝对误差 = 0.000071
角度 023 cos = 0.920505 cose = 0.920436 绝对误差 = 0.000069
角度 024 cos = 0.913545 cose = 0.913478 绝对误差 = 0.000067
角度 025 cos = 0.906308 cose = 0.906243 绝对误差 = 0.000065
角度 026 cos = 0.898794 cose = 0.898731 绝对误差 = 0.000063
角度 027 cos = 0.891007 cose = 0.890945 绝对误差 = 0.000062
角度 028 cos = 0.882948 cose = 0.882887 绝对误差 = 0.000060
角度 029 cos = 0.874620 cose = 0.874560 绝对误差 = 0.000059
角度 030 cos = 0.866025 cose = 0.865967 绝对误差 = 0.000058
角度 031 cos = 0.857167 cose = 0.857110 绝对误差 = 0.000057
角度 032 cos = 0.848048 cose = 0.847992 绝对误差 = 0.000056
角度 033 cos = 0.838671 cose = 0.838615 绝对误差 = 0.000055
角度 034 cos = 0.829038 cose = 0.828983 绝对误差 = 0.000054
角度 035 cos = 0.819152 cose = 0.819099 绝对误差 = 0.000053
角度 036 cos = 0.809017 cose = 0.808964 绝对误差 = 0.000053
角度 037 cos = 0.798636 cose = 0.798584 绝对误差 = 0.000052
角度 038 cos = 0.788011 cose = 0.787960 绝对误差 = 0.000051
角度 039 cos = 0.777146 cose = 0.777096 绝对误差 = 0.000050
角度 040 cos = 0.766044 cose = 0.765996 绝对误差 = 0.000049
角度 041 cos = 0.754710 cose = 0.754662 绝对误差 = 0.000048
角度 042 cos = 0.743145 cose = 0.743098 绝对误差 = 0.000047
角度 043 cos = 0.731354 cose = 0.731308 绝对误差 = 0.000046
角度 044 cos = 0.719340 cose = 0.719295 绝对误差 = 0.000044
角度 045 cos = 0.707107 cose = 0.707064 绝对误差 = 0.000043
角度 046 cos = 0.694658 cose = 0.694617 绝对误差 = 0.000042
角度 047 cos = 0.681998 cose = 0.681958 绝对误差 = 0.000040
角度 048 cos = 0.669131 cose = 0.669092 绝对误差 = 0.000039
角度 049 cos = 0.656059 cose = 0.656022 绝对误差 = 0.000037
角度 050 cos = 0.642788 cose = 0.642752 绝对误差 = 0.000035
角度 051 cos = 0.629320 cose = 0.629287 绝对误差 = 0.000034
角度 052 cos = 0.615661 cose = 0.615629 绝对误差 = 0.000032
角度 053 cos = 0.601815 cose = 0.601785 绝对误差 = 0.000030
角度 054 cos = 0.587785 cose = 0.587757 绝对误差 = 0.000028
角度 055 cos = 0.573576 cose = 0.573550 绝对误差 = 0.000027
角度 056 cos = 0.559193 cose = 0.559168 绝对误差 = 0.000025
角度 057 cos = 0.544639 cose = 0.544616 绝对误差 = 0.000023
角度 058 cos = 0.529919 cose = 0.529898 绝对误差 = 0.000021
角度 059 cos = 0.515038 cose = 0.515018 绝对误差 = 0.000020
角度 060 cos = 0.500000 cose = 0.499982 绝对误差 = 0.000018
角度 061 cos = 0.484810 cose = 0.484793 绝对误差 = 0.000017
角度 062 cos = 0.469472 cose = 0.469456 绝对误差 = 0.000015
角度 063 cos = 0.453990 cose = 0.453976 绝对误差 = 0.000014
角度 064 cos = 0.438371 cose = 0.438358 绝对误差 = 0.000013
角度 065 cos = 0.422618 cose = 0.422606 绝对误差 = 0.000012
角度 066 cos = 0.406737 cose = 0.406726 绝对误差 = 0.000011
角度 067 cos = 0.390731 cose = 0.390721 绝对误差 = 0.000010
角度 068 cos = 0.374607 cose = 0.374597 绝对误差 = 0.000010
角度 069 cos = 0.358368 cose = 0.358359 绝对误差 = 0.000009
角度 070 cos = 0.342020 cose = 0.342011 绝对误差 = 0.000009
角度 071 cos = 0.325568 cose = 0.325559 绝对误差 = 0.000009
角度 072 cos = 0.309017 cose = 0.309008 绝对误差 = 0.000009
角度 073 cos = 0.292372 cose = 0.292363 绝对误差 = 0.000009
角度 074 cos = 0.275637 cose = 0.275628 绝对误差 = 0.000009
角度 075 cos = 0.258819 cose = 0.258809 绝对误差 = 0.000010
角度 076 cos = 0.241922 cose = 0.241912 绝对误差 = 0.000010
角度 077 cos = 0.224951 cose = 0.224940 绝对误差 = 0.000011
角度 078 cos = 0.207912 cose = 0.207901 绝对误差 = 0.000011
角度 079 cos = 0.190809 cose = 0.190798 绝对误差 = 0.000011
角度 080 cos = 0.173648 cose = 0.173636 绝对误差 = 0.000012
角度 081 cos = 0.156434 cose = 0.156423 绝对误差 = 0.000012
角度 082 cos = 0.139173 cose = 0.139162 绝对误差 = 0.000011
角度 083 cos = 0.121869 cose = 0.121859 绝对误差 = 0.000011
角度 084 cos = 0.104528 cose = 0.104519 绝对误差 = 0.000010
角度 085 cos = 0.087156 cose = 0.087148 绝对误差 = 0.000008
角度 086 cos = 0.069756 cose = 0.069751 绝对误差 = 0.000006
角度 087 cos = 0.052336 cose = 0.052333 绝对误差 = 0.000003
角度 088 cos = 0.034899 cose = 0.034901 绝对误差 = 0.000001
角度 089 cos = 0.017452 cose = 0.017459 绝对误差 = 0.000006
角度 090 cos = 0.000000 cose = 0.000013 绝对误差 = 0.000013

在实际运行中，可以看到最大误差大约在0.000128，对于精度不高的场景下，sine 和 cose 函数提供的结果与标准库函数之间的绝对误差是可以接受的，对于时间要求高而精度要求相对较低的应用非常有用。

在电脑上进行耗时的测试：

fast sin cos 231 microseconds
sin cos 516 microseconds

可以看到耗时减少了55%。但是这个耗时不准确，不同的平台与代码的优化程度不同，耗时也不相同，但是我们可以看出耗时确实大大减少了。

优点与局限

优点：

速度快：与标准库函数相比，这种基于多项式的计算方式避免了复杂的数学运算，如级数展开、迭代方法等，因此执行速度快。
实现简单：多项式的实现相对简单，不需要依赖复杂的外部库或算法。

局限：

有效范围有限：该算法仅在 $\leq x \leq \frac{\pi}{2}$ 的范围内有效。如果要计算超出该范围的值，必须通过三角函数的周期性和对称性进行转换。
精度有限：虽然在实际测试中绝对误差较小，但由于近似计算，在某些对精度要求非常高的应用场景（如高精度物理模拟）中，可能无法满足需求。