平衡二叉搜索树之 AVL 树的模拟实现【C++】

news2024/10/6 2:50:20

文章目录

  • AVL树的简单介绍
  • 全部的实现代码放在了文章末尾
  • 准备工作
    • 包含头文件
    • 类的成员变量
  • 构造函数和拷贝构造
  • swap和赋值运算符重载
  • 析构函数
  • find
  • insert[重要]
    • 当parent的平衡因子为1/-1时，如何向上更新祖先节点的平衡因子呢？
    • 怎么旋转？
      • 左单旋
      • 右单旋
      • 左右双旋
      • 右左双旋
    • 旋转的平衡因子更新
      • 左单旋和右单旋
      • 左右双旋和右左双旋
  • empty
  • size
  • 中序遍历
  • 全部代码

AVL树的简单介绍

我上一篇文章提到的普通二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。

AVL树就可以解决上述问题，让搜索树的查找效率在任何情况下都能稳定是O(logN)

AVL树解决上述问题的方法是：
保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1
这样就能保证树中的节点分布接近满二叉树，高度非常接近logN【N为树中节点的个数】，进而让一次查找的效率为O(logN)

为什么是保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1，而不是保证左右子树高度一样呢？
其实很简单：
因为在一些情况下绝对不可能做到左右子树高度一样，例如：
在这里插入图片描述
此时无论如何改变树的形态，都不可能做到每个结点的左右子树高度相等

综上：
一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：

  1. 它的左右子树都是AVL树
  2. 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1

全部的实现代码放在了文章末尾

准备工作

创建两个文件，一个头文件AVLTree.hpp，一个源文件test.cpp

【因为模板的声明和定义不能分处于不同的文件中，所以把成员函数的声明和定义放在了同一个文件AVLTree.hpp中】

  1. AVLTee.hpp：存放包含的头文件，命名空间的定义，成员函数和命名空间中的函数的定义

  2. test.cpp：存放main函数，以及测试代码

包含头文件

  • iostream：用于输入输出
  • cmath:提供数学函数

类的成员变量

实现AVL树最主要的就是保证树中节点的左右子树高度差不超过1

而维护这一条件的方法并不是唯一的，我使用的是平衡因子来维护

平衡因子时每个节点都有的，它的值就是这个节点的左右子树高度之差【一般是右子树高度-左子树高度】

在这里插入图片描述

构造函数和拷贝构造

构造函数没什么好说的，默认构造就行了

AVLTree():_root(nullptr)
{}

拷贝构造：
因为节点都是从堆区new出来的，所以要深拷贝

使用递归实现深拷贝：
因为拷贝构造不能有多余的参数，但是递归函数又必须使用参数记录信息
在这里插入图片描述

然后在拷贝构造里面调用一下这个函数就行了

AVLTree(const AVLTree& obj)
{
	根节点的父亲节点是nullptr
	_root = Copy(obj._root,nullptr);
}

swap和赋值运算符重载

交换两颗二叉搜索树的本质就是交换两颗数的资源（数据），而它们的资源都是从堆区申请来的，然后用指针指向这些资源

在这里插入图片描述

并不是把资源存储在了二叉搜索树对象中

所以资源交换很简单，直接交换_root指针的指向即可

void Swap(AVLTree& obj)
{
	std::swap(_root, obj._root);
}

析构函数

使用递归遍历，把所有从堆区申请的节点都释放掉：
因为析构函数不能有多余的参数，但是递归函数又必须使用参数记录信息
所以再封装一个成员函数，专门用来递归释放：
在这里插入图片描述

然后在拷贝构造里面调用一下这个函数就行了

~AVLTree()
{
	Destroy(_root);
	_root = nullptr;
}

find

具体流程：
从根节点开始，将目标值（传入的key）与当前节点的key进行比较。
如果目标值小于当前节点值，则在左子树中继续查找；
如果目标值大于当前节点值，则在右子树中继续查找。

这个过程一直进行，直到找到与目标值或者到达空节点为止。

把上述过程转成代码：
在这里插入图片描述

insert[重要]

AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。

那么AVL树的插入过程可以分为两步：

  1. 先按照二叉搜索树的方式插入新节点

  2. 再调整节点的平衡因子

因为新节点一定是插在叶子节点或者只有一个孩子节点的节点上
所以插入节点后一定会影响新节点的父亲节点的平衡因子，可能会影响祖先节点

插入节点后具体分以下3种情况：

  1. 插入节点的父亲节点（以下简称parent）的平衡因子等于0
    那么就说明插入之前parent的平衡因子一定是1/-1
    所以parent在插入之前是只有一个孩子节点的节点
    即以parent为根的子树插入之前的高度就是2，插入之后高度还是2
    所以插入前后以parent为根的子树的高度没有改变，自然就不会影响parent的祖先的平衡因子
    在这里插入图片描述 所以不需要再向上取跟新祖先节点的平衡因子
    直接插入结束

  2. 插入节点的父亲节点（以下简称parent）的平衡因子等于1/-1
    那么就说明插入之前parent的平衡因子一定是0【如果插入前是2/-2的话，一定早就被旋转了】
    所以parent在插入之前是叶子节点
    即以parent为根的子树插入之前的高度就是1，插入之后高度就变成了2
    所以插入前后以parent为根的子树的高度增加了，自然就会影响parent的祖先的平衡因子
    在这里插入图片描述 所以需要再向上继续更新祖先节点的平衡因子

  3. 插入节点的父亲节点（以下简称parent）的平衡因子等于2/-2 此时parent的左右子树高度差已经超过1，已经违反了AVL树的规则 需要旋转进行处理

在这里插入图片描述

当parent的平衡因子为1/-1时，如何向上更新祖先节点的平衡因子呢？

其实也简单：
就是把原来的parent当做新的cur，把parent的父节点作为新的parent

再判断新的cur是父亲节点的左还是右，据此再更新新的parent的平衡因子
即

cur = parent;
parent = parent->_parent;

因为以之前的parent为根的子树，高度增加了1
右因为平衡因子=右子树高度-左子树高度
所以：
if (cur==parent->_left)
{
	parent->_bf--;
}
else
{
	parent->_bf++;
}

然后，再重复判断一下新的parent的平衡因子的3种情况，进行处理

  1. 新的parent的平衡因子变成了0,插入就结束
  2. 新的parent的平衡因子变成了1/-1,就再重复这个过程，继续向上更新祖先节点的平衡因子
  3. 新的parent的平衡因子变成了2/-2,就旋转

怎么旋转？

旋转分以下4种：

左单旋

所有的需要左单旋的情况，都可以画成下图的抽象图
在这里插入图片描述

具体情况描述：

  1. 插入前paernt的平衡因子为1，并且它的右边（PR）的平衡因子为0

  2. 新插入的节点插在子树c上，并使子树c的高度增加1

  3. 插入后并向上跟新后：paernt的平衡因子变成2，并且它的右边（PR）的平衡因子变成了1

此时就使用左单旋：
把（下图中的）PRL链接在parent的右子树上，再把parent连接在PR的左子树上
把PR作为这颗子树新的根

这样就可以做到：在不违反搜索树规则【所有左子树上的值<根<右子树】的基础上，尽可能地让树平衡

将上述过程转换成代码：
在这里插入图片描述

右单旋

所有的需要右单旋的情况，都可以画成下图的抽象图
在这里插入图片描述
具体情况描述：

  1. 插入前paernt的平衡因子为-1，并且它的左边（PL）的平衡因子为0

  2. 新插入的节点插在子树a上，并使子树a的高度增加1

  3. 插入后并向上跟新后：paernt的平衡因子变成-2，并且它的左边（PL）的平衡因子变成了-1

此时就使用左单旋：
把（下图中的）PLR链接在parent的左子树上，再把parent连接在PL的右子树上
把PL作为这颗子树新的根

这样就可以做到：在不违反搜索树规则【所有左子树上的值<根<右子树】的基础上，尽可能地让树平衡

将上述过程转换成代码：
在这里插入图片描述

左右双旋

所有的需要左右双旋的情况，都可以画成下图的抽象图
在这里插入图片描述

具体情况描述：

  1. 插入前paernt的平衡因子为-1，并且它的左边（PL）的平衡因子为0

  2. 新插入的节点插在子树b或者c上，并使子树b或者c的高度增加1

  3. 插入后并向上跟新后：paernt的平衡因子变成-2，并且它的左边（PL）的平衡因子变成了1

此时使用一次单旋，是解决不了的，旋了之后还是有平衡因子为2/-2的节点

但是如果我们对PL进行左单旋之后，就可以发现可以对parent使用右旋来使树，在不违反搜索树规则【所有左子树上的值<根<右子树】的基础上，尽可能地接近平衡

即

RotateL(parent->_left);
RotateR(parent);

右左双旋

所有的需要右左双旋的情况，都可以画成下图的抽象图
在这里插入图片描述

具体情况描述：

  1. 插入前paernt的平衡因子为1，并且它的右边（PR）的平衡因子为0

  2. 新插入的节点插在子树b或者c上，并使子树b或者c的高度增加1

  3. 插入后并向上跟新后：paernt的平衡因子变成2，并且它的右边（PR）的平衡因子变成了-1

此时使用一次单旋，是解决不了的，旋了之后还是有平衡因子为2/-2的节点

但是如果我们对PR进行右单旋之后，就可以发现可以对parent使用左单旋来使树，在不违反搜索树规则【所有左子树上的值<根<右子树】的基础上，尽可能地接近平衡

即

RotateR(parent->_right);
RotateL(parent);

旋转的平衡因子更新

左单旋和右单旋

因为插入的情况都只有一种，所以平衡因子的更新很简单，看上面画的示意图就行

即
parent和PR(PL)的平衡因子最后都变成0，其他节点的平衡因子没有变化

左右双旋和右左双旋

因为左右双旋和右左双旋的新节点既可以插在子树b上，又可以插在子树c上
而插在这两颗子树上的平衡因子更新是不同的
例
下图是左右双旋新节点插在子树b上的
最后：parent的平衡因子=1，PL的平衡因子=0，PLR的平衡因子=0
在这里插入图片描述
下图是左右双旋新节点插在子树c上的
最后：parent的平衡因子=0，PL的平衡因子=-1，PLR的平衡因子=0
在这里插入图片描述

而且当h=0时，还有一种情况：
下图是左右双旋的h=0的旋转图
最后：parent的平衡因子=0，PL的平衡因子=0，PLR的平衡因子=0

在这里插入图片描述

综上：
左右双旋代码
在这里插入图片描述

右左双旋同理
在这里插入图片描述

empty

bool Empty()
{
    如果_root为空，那么树就是空的
	return _root == nullptr;
}

size

使用递归实现二叉搜索树的节点个数统计：
因为我们经常使用的stl的容器的size都是没有参数的，但是递归函数又必须使用参数记录信息
所以再封装一个成员函数，专门用来递归：
在这里插入图片描述

然后再size里面调用一下就行了

size_t Size()
{
	return _Size(_root);
}

中序遍历

中序遍历的递归函数：
在这里插入图片描述

然后再调用递归函数

void InOrder()
{
	_InOrder(_root);
}

全部代码

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;

template<class T>
struct AVLTreeNode
{
	T _data;
	AVLTreeNode* _parent;
	AVLTreeNode* _left;
	AVLTreeNode* _right;
	int _bf;


	AVLTreeNode(const T& data=T())
		:_data(data),
		_parent(nullptr),
		_left(nullptr),
		_right(nullptr),
		_bf(0)
	{}
};

template<class T>
class AVLTree
{
private:

	typedef AVLTreeNode<T> Node;
	Node* _root = nullptr;


public:
	AVLTree():_root(nullptr)
	{}

	AVLTree(const AVLTree& obj)
	{
		//根节点的父亲节点是nullptr
		_root = Copy(obj._root,nullptr);
	}
	AVLTree& operator=(AVLTree obj)
	{
		this->Swap(obj);
		return *this;
	}
	~AVLTree()
	{
		Destroy(_root);
		_root = nullptr;
	}

	void Swap(AVLTree& obj)
	{
		std::swap(_root, obj._root);
	}

	bool Insert(const T& data)
	{
		if (_root == nullptr)//树为空，则直接新增节点
		{
			//赋值给二叉搜索树的成员变量`_root`指针
			_root = new Node(data);

			return true;//返回true，代表插入成功
		}

		Node* cur = _root;//从根节点开始

		//定义parent来保存cur的父亲节点
		//假设根节点的父亲节点为nullptr
		Node* parent = nullptr;
		while (cur)
		{
			if (cur->_data < data)//目标值`大于`当前节点值，则在`右子树`中继续查找
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_data > data)//目标值'小于'当前节点值，则在'左子树'中继续查找
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else//已经有了一个节点的key与要插入的节点的key相等，就插入失败
			{
				return false;//插入失败返回false
			}
		}

		Node* newnode = new Node(data);//new出新节点

		if (parent->_data > data)//比父亲节点小
		{
			parent->_left = newnode;//就连接到左边

			//平衡因子=右子树高度-左子树高度
			// 
			//所以  左  子树高度增加1，平衡因子  减小1
			parent->_bf--;
		}
		else//比父亲节点大
		{
			parent->_right = newnode;//就连接到右边

			//平衡因子=右子树高度-左子树高度
			// 
			//所以  右  子树高度增加1，平衡因子  增加1
			parent->_bf++;
		}
		//连接父亲节点
		newnode->_parent = parent;


		while (parent->_bf == 1||parent->_bf==-1)
		{
			cur = parent;
			parent = parent->_parent;

			if (parent == nullptr)
				return true;

			if (cur==parent->_left)
			{
				parent->_bf--;
			}
			else
			{
				parent->_bf++;
			}
		}
		if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)//需要旋转
		{
			if (parent->_bf == 2 && parent->_right->_bf == 1)//左单旋
			{
				RotateL(parent);
			}
			else if (parent->_bf == -2 && parent->_left->_bf == -1)//右单旋
			{
				RotateR(parent);
			}
			else if (parent->_bf == 2 && parent->_right->_bf == -1)//右左双旋
			{
				RotateRL(parent);
			}
			else if (parent->_bf == -2 && parent->_left->_bf == 1)//左右双旋
			{
				RotateLR(parent);
			}
		}
		return true;
	}


	Node* Find(const T& data)
	{
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_data < data)
			{
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_data > data)
			{
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return cur;
			}
		}
		return nullptr;
	}
	void InOrder()
	{
		_InOrder(_root);
		cout << endl;
	}
	bool Empty()
	{
		return _root == nullptr;
	}
	size_t Size()
	{
		return _Size(_root);
	}
	size_t Height()
	{
		return _Height(_root);
	}
	bool IsAVLTree()
	{
		bool ret = true;
		_IsAVLTree(_root, ret);
		return ret;
	}
private:
	int _IsAVLTree(const Node* root,bool& ret)
	{
		if (root == nullptr)
			return 0;

		if (ret == false)
			return 0;

		int left = _IsAVLTree(root->_left,ret);

		if (ret == false)
			return 0;
		int right = _IsAVLTree(root->_right,ret);

		if (root->_bf!= right - left)
		{
			cout << "平衡因子异常" << endl;
			ret = false;
			return 0;
		}
		if (abs(right - left) >= 2)
		{
			cout << "左右子树高度差异常" << endl;
			ret = false;
		}
		return left > right ? left + 1 : right + 1;
	}
	size_t _Height(const Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return 0;
		int left = _Height(root->_left);
		int right = _Height(root->_right);

		return left > right ? left + 1 : right + 1;
	}

	// 左单旋
	void RotateL(Node* parent)
	{
		//记录一下PR和PRL
		Node* PR = parent->_right;
		Node* PRL = PR->_left;

		//把PRL链接在parent的右边
		parent->_right = PRL;

		//因为PRL可能为空，为了防止空指针访问，必须判断一下
		if (PRL != nullptr)
		{
			//PRL不为空，就把它的父亲节点变成parent
			PRL->_parent = parent;
		}

		//把parent链接在PR的左边
		PR->_left = parent;

		//更改PR的父亲节点
		PR->_parent = parent->_parent;

		//只有AVL树的根节点的父亲节点为空
		//所以parent是根节点
		if (parent->_parent == nullptr)
		{
			//PR变成了这颗子树的根，替代了原来parent的位置
			//所以得把AVL树的根节点更新一下
			_root = PR;
		}
		else//如果parent不是根节点
		{
			//PR还是要带替parent的位置
			//所以parent在父亲的左，PR就在左
			//parent在父亲的右，PR就在右
			if (parent == parent->_parent->_left)
				parent->_parent->_left = PR;
			else
				parent->_parent->_right = PR;
		}
		//更新一下parent的父亲节点
		parent->_parent = PR;

		//更新平衡因子
		//只有parent和PR的平衡因子改变了
		PR->_bf = 0;
		parent->_bf = 0;
	}





	// 右单旋
	void RotateR(Node* parent)
	{
		//记录一下PL和PLR
		Node* PL = parent->_left;
		Node* PLR = PL->_right;

		//把PLR链接在parent的右边
		parent->_left = PLR;

		//因为PLR可能为空，为了防止空指针访问，必须判断一下
		if (PLR != nullptr)
		{
			//不为空，就把它的父亲节点变成parent
			PLR->_parent = parent;
		}

		//把parent链接在PL的左边
		PL->_right = parent;

		//更新PL的父亲节点
		PL->_parent = parent->_parent;

		//只有AVL树的根节点的父亲节点为空
		//所以parent是根节点
		if (parent->_parent == nullptr)
		{
			//PL变成了这颗子树的根，替代了原来parent的位置
			//所以得把AVL树的根节点更新一下
			_root = PL;
		}
		else//如果parent不是根节点
		{
			//PL还是要带替parent的位置
			//所以parent在父亲的左，PL就在左
			//parent在父亲的右，PL就在右
			if (parent == parent->_parent->_left)
				parent->_parent->_left = PL;
			else
				parent->_parent->_right = PL;
		}
		//更新一下parent的父亲节点
		parent->_parent = PL;

		//更新平衡因子
		//只有parent和PL的平衡因子改变了
		parent->_bf = 0;
		PL->_bf = 0;
	}





	// 右左双旋
	void RotateRL(Node* parent)
	{
		Node* PR = parent->_right;
		Node* PRL = PR->_left;
		int bf = PRL->_bf;

		RotateR(parent->_right);
		RotateL(parent);

		//更新平衡因子
		if (bf == 0)
		{
			parent->_bf = 0;
			PR->_bf = 0;
			PRL->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			parent->_bf = -1;
			PR->_bf = 0;
			PRL->_bf= 0;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			parent->_bf = 0;
			PR->_bf = 1;
			PRL->_bf = 0;
		}
	}



	// 左右双旋
	void RotateLR(Node* parent)
	{
		//保存旋转之前的PL和PLR
		//方便之后直接更新平衡因子
		Node* PL = parent->_left;
		Node* PLR = PL->_right;

		//插在子树b上时，PRL的平衡因子为-1
		//插在子树c上时，PRL的平衡因子为1
		//所以可以通过这个，来判断新节点插在哪里了
		//旋转过程中PRL的平衡因子可能会变，所以要提前保存
		int bf = PLR->_bf;

		//先对PL左旋
		RotateL(parent->_left);
		//再对parent右旋
		RotateR(parent);

		//根据情况，更新平衡因子
		if (bf == 0)//即h==0的情况
		{
			parent->_bf = 0;
			PL->_bf = 0;
			PLR->_bf = 0;
		}
		//插在子树c上时，PRL的平衡因子为1
		else if (bf == 1)
		{
			parent->_bf = 0;
			PL->_bf = -1;
			PLR->_bf = 0;
		}
		//插在子树b上时，PRL的平衡因子为-1
		else if (bf == -1)
		{
			parent->_bf = 1;
			PL->_bf = 0;
			PLR->_bf = 0;
		}
	}




	//因为无法直接获取到父亲节点的地址
	//所以需要传参传进来
	Node* Copy(Node* root, Node* parent)
	{
		//空节点不需要拷贝，直接返回nullptr
		if (root == nullptr)
			return nullptr;

		//从堆区申请空间
		Node* newnode = new Node(root->_data);

		//连接上传入的父亲节点
		newnode->_parent = parent;

		newnode->_bf = root->_bf;

		//递归拷贝左右子树
		newnode->_left = Copy(root->_left,newnode);
		newnode->_right = Copy(root->_right,newnode);

		return newnode;
	}


	void Destroy(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return;
		Destroy(root->_left);
		Destroy(root->_right);

		delete root;
	}

	void _InOrder(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return;

		_InOrder(root->_left);//递归遍历左子树


		cout << root->_data <<"  ";//打印信息（遍历根）

		_InOrder(root->_right);//递归遍历右子树
	}


	size_t _Size(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return 0;
		int left = _Size(root->_left);
		int right = _Size(root->_right);

		return left + right + 1;
	}
};

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注意&#xff1a;只做科普&#xff0c;拒绝利用技术做一些非法事情 科普人&#xff1a;网络安全工程师~DL 科普平台&#xff1a;快手&#xff0c;CSDN&#xff0c;微信公众号&#xff0c;小红书&#xff0c;百度&#xff0c;360 本期文章耗时比较大&#xff0c;如果喜欢&…
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数学题-分糖果-答案解析

数学题-分糖果-答案解析

PDF文档回复:20241005 1[题目描述] 幼儿园有7个小朋友&#xff0c;你是其中之一&#xff0c;有一天你发现无穷多颗糖&#xff0c;最少可以拿16个&#xff0c;最多可以拿23个&#xff0c;你打算拿一些分给小朋友们&#xff0c;分配原则是如果每人(包括你)都可以拿1块糖&#xf…
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快速上手C语言【上】（非常详细！！！）

快速上手C语言【上】（非常详细！！！）

目录 1. 基本数据类型 2. 变量 2.1 定义格式 和 命名规范 2.2 格式化输入和输出&#xff08;scanf 和 printf&#xff09; ​编辑 2.3 作用域和生命周期 3. 常量 4. 字符串转义字符注释 5. 操作符 5.1 双目操作符 5.1.1 算数操作符 5.1.2 移位操作符 5.1.3 位操作符…
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IDEA下“File is read-only”可能原因及“找不到或无法加载主类”问题的解决

IDEA下“File is read-only”可能原因及“找不到或无法加载主类”问题的解决

1.File is read-only”可能原因 写代码时想要修改这个静态变量的值&#xff0c;把这个语句注释掉&#xff0c;发现在这个文件中File is read-only无法编辑修改&#xff0c;于是想去掉这个状态 网上查看的解释大多是在File栏目或File->File Properties下可以找到Make File W…
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Git介绍--github/gitee/gitlab使用

Git介绍--github/gitee/gitlab使用

一、Git的介绍 1.1、学习Git的原因&#xff1a;资源管理 1.2、SCM软件的介绍 软件配置管理(SCM)是指通过执行版本控制、变更控制的规程&#xff0c;以及使用合适的配置管理软件来保证所有配置项的完整性和可跟踪性。配置管理是对工作成果的一种有效保护。 二、版本控制软件 …
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常见的基础系统

常见的基础系统

权限管理系统支付系统搜索系统报表系统API网关系统待定。。。 Java 优质开源系统设计项目 来源&#xff1a;Java 优质开源系统设计项目 | JavaGuide 备注&#xff1a;github和gitee上可以搜索到相关项目
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企业必备：搭建大模型应用平台实操教程

企业必备：搭建大模型应用平台实操教程

最近AI智能体很火&#xff0c;AI智能体平台化产品肯定属于大公司的。但在一些场景下&#xff0c;尤其是对业务数据要求很高的公司&#xff0c;那就只能用私有大模型。不一定完全是为了对外提供服务&#xff0c;对内改造工作流也是需要的。所以 我感觉未来大部分企业都会搞一个…
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软考系统分析师知识点二：经济管理

软考系统分析师知识点二：经济管理

前言 今年报考了11月份的软考高级&#xff1a;系统分析师。 考试时间为&#xff1a;11月9日。 倒计时&#xff1a;35天。 目标&#xff1a;优先应试&#xff0c;其次学习&#xff0c;再次实践。 复习计划第一阶段&#xff1a;扫平基础知识点&#xff0c;仅抽取有用信息&am…
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数字乡村综合解决方案

数字乡村综合解决方案

1. 项目背景与战略 《中共中央、国务院关于实施乡村振兴战略的意见》强调实施数字乡村战略的重要性&#xff0c;旨在通过信息技术和产品服务推动农业农村现代化&#xff0c;实现城乡数字鸿沟的弥合。 2. 数字乡村发展纲要 《数字乡村发展战略纲要》明确了全面建成数字乡村的…
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颍川陈氏始祖陈寔逆势崛起的原由（二）有贵人相助

颍川陈氏始祖陈寔逆势崛起的原由（二）有贵人相助

园子说颍川 陈寔崛起之初&#xff0c;有两个贵人发挥了关键作用。 第一个就是许县县令邓邵&#xff0c;如果不是他推荐青年陈寔去太学读书&#xff0c;陈寔可能一辈子就要待在许县县衙当小吏了。关于他的记载不详&#xff0c;光这一件事就让他名垂青史&#xff0c;帮助一个穷…
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为Floorp浏览器添加搜索引擎及搜索栏相关设置. 2024-10-05

为Floorp浏览器添加搜索引擎及搜索栏相关设置. 2024-10-05

Floorp浏览器开源项目地址: https://github.com/floorp-Projects/floorp/ 1.第一步 为Floorp浏览器添加搜索栏 (1.工具栏空白处 次键选择 定制工具栏 (2. 把 搜索框 拖动至工具栏 2.添加搜索引擎 以添加 搜狗搜索 为例 (1.访问 搜索引擎网址 搜狗搜索引擎 - 上网从搜狗开始 (2…
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【AIGC】ChatGPT提示词Prompt助力自媒体内容创作升级

【AIGC】ChatGPT提示词Prompt助力自媒体内容创作升级

博客主页&#xff1a; [小ᶻZ࿆] 本文专栏: AIGC | ChatGPT 文章目录 &#x1f4af;前言&#x1f4af;高效仿写专家级文章提示词使用方法 &#x1f4af;CSDN博主账号分析提示词使用方法 &#x1f4af;自媒体爆款文案优化助手提示词使用方法 &#x1f4af;小结 &#x1f4af…
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王者农药更新版

王者农药更新版

一、启动文件配置 二、GPIO使用 2.1基本步骤 1.配置GPIO&#xff0c;所以RCC开启APB2时钟 2.GPIO初始化&#xff08;结构体&#xff09; 3.给GPIO引脚设置高/低电平&#xff08;WriteBit&#xff09; 2.2Led循环点亮&#xff08;GPIO输出&#xff09; 1.RCC开启APB2时钟。…
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