Kronecker 积，也称为 克罗内克积，是矩阵代数中的一种特殊运算，它将两个矩阵组合成一个更大的矩阵。克罗内克积广泛应用于线性代数、量子计算、张量代数等领域。
定义
对于两个矩阵 A A A 和 B B B，其中 A A A 是 m × n m \times n m×n 维的矩阵， B B B 是 p × q p \times q p×q 维的矩阵，它们的 克罗内克积 A ⊗ B A \otimes B A⊗B 是一个 m p × n q mp \times nq mp×nq 维的大矩阵。
如果
A
=
(
a
11
a
12
a
21
a
22
)
A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}
A=(a11a21a12a22)
是一个
2
×
2
2 \times 2
2×2 矩阵，且
B
=
(
b
11
b
12
b
21
b
22
)
B = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix}
B=(b11b21b12b22)
是一个
2
×
2
2 \times 2
2×2 矩阵，那么
A
⊗
B
A \otimes B
A⊗B 是：
A
⊗
B
=
(
a
11
B
a
12
B
a
21
B
a
22
B
)
=
(
a
11
b
11
a
11
b
12
a
12
b
11
a
12
b
12
a
11
b
21
a
11
b
22
a
12
b
21
a
12
b
22
a
21
b
11
a
21
b
12
a
22
b
11
a
22
b
12
a
21
b
21
a
21
b
22
a
22
b
21
a
22
b
22
)
A \otimes B = \begin{pmatrix} a_{11} B & a_{12} B \\ a_{21} B & a_{22} B \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} b_{11} & a_{11} b_{12} & a_{12} b_{11} & a_{12} b_{12} \\ a_{11} b_{21} & a_{11} b_{22} & a_{12} b_{21} & a_{12} b_{22} \\ a_{21} b_{11} & a_{21} b_{12} & a_{22} b_{11} & a_{22} b_{12} \\ a_{21} b_{21} & a_{21} b_{22} & a_{22} b_{21} & a_{22} b_{22} \end{pmatrix}
A⊗B=(a11Ba21Ba12Ba22B)=
a11b11a11b21a21b11a21b21a11b12a11b22a21b12a21b22a12b11a12b21a22b11a22b21a12b12a12b22a22b12a22b22
解释
- 每个 A A A 矩阵的元素都会乘以 B B B 矩阵，生成一个对应大小的子矩阵，最后组合成一个更大的矩阵。
- 克罗内克积的结果维度是 ( m × p ) × ( n × q ) (m \times p) \times (n \times q) (m×p)×(n×q)，所以维度快速增加。
应用场景
- 量子计算：克罗内克积常用于描述多体量子态和量子操作的张量积形式。
- 信号处理：在图像和视频处理中，Kronecker 积用于构建滤波器和分析高维数据。
- 系统与控制理论：在多变量系统中，Kronecker 积用于描述系统间的交互。
代码示例
在 MATLAB 中，使用 kron 函数计算克罗内克积：
A = [1 2; 3 4];
B = [0 5; 6 7];
C = kron(A, B);
