预扣预缴、年度汇算清缴与年终奖的个税计算

1. 税率表

月度税率表：

级数	月度应纳税所得额	税率（%）	速算扣除数
1	$(0, 3000]$	$3$	$0$
2	$(3000, 12000]$	$10$	$210$
3	$(12000, 25000]$	$20$	$1410$
4	$(25000, 35000]$	$25$	$2660$
5	$(35000, 55000]$	$30$	$4410$
6	$(55000, 80000]$	$35$	$7160$
7	$(80000,+\infty)$	$45$	$15160$

年度税率表：

级数	全年应纳税所得额	税率（%）	速算扣除数
1	$(0, 36000]$	$3$	$0$
2	$(36000, 144000]$	$10$	$2520$
3	$(144000, 300000]$	$20$	$16920$
4	$(300000, 420000]$	$25$	$31920$
5	$(420000, 660000]$	$30$	$52920$
6	$(660000, 960000]$	$35$	$85920$
7	$(960000,+\infty)$	$45$	$181920$

2. 年度汇算清缴

计算公式：

$\begin{aligned} \textcolor{red}{应纳税所得额} &\textcolor{red}{= 综合所得 - 免征 - 专项扣除 - 专项附加扣除 - 其他扣除}\\ \textcolor{red}{应纳税额} &\textcolor{red}{= 应纳税所得额 \times 税率 - 速算扣除数} \end{aligned}$

其中：

$\times 80\% + 稿酬 \times 80\% \times 70\% + 特许权使用费 \times 80\%$

此外：

免征：60000/年。
专项扣除：即社保公积金。
专项附加扣除：包括子女教育，继续教育，大病医疗，住房租金在内的七项。
其他扣除：暂不考虑此项。

假设小明是个上班族，收入来源只有工资薪金，每月均为 $18000$ 元，每月还需缴纳社保公积金 $4000$ 元，由于小明还有一个子女正在接受教育，因此每月还可享受 $2000$ 元的专项附加扣除，所以全年的应纳税所得额为

$18000\cdot 12-4000\cdot 12-2000\cdot 12-60000=84000元$

查年度税率表知适用税率为 $10\%$ ，故应纳税额为

$84000\cdot 0.1 - 2520=5880元$

清缴时，根据先前预扣预缴的金额进行多退少补即可。

📝 劳务报酬、稿酬和特许权使用费只有在年度汇算清缴时才会和工资薪金合并在一起计算，平时的预扣预缴均是独立计算的。

3. 预扣预缴

预扣预缴并不是每个月独立计算的，而是采取累计预扣法，使用的税率表是年度税率表。

计算公式如下：

$\begin{aligned} \textcolor{red}{第 n 个月的应纳税额} &\textcolor{red}{= 第n个月的累计应纳税额 - 第n - 1个月的累计应纳税额} \\ \textcolor{red}{第n个月的累计应纳税额} &\textcolor{red}{= 第n个月的累计应纳税所得额 \times 税率 - 速算扣除数}\\ \textcolor{red}{累计应纳税所得额} &\textcolor{red}{= 累计收入 - 累计免征 - 累计专项扣除-累计专项附加扣除-累计其他扣除} \end{aligned}$

第 $n$ 个月的累计应纳税所得额为负值时，暂不退税。纳税年度终了后仍为负值时，由纳税人通过办理综合所得年度汇算清缴，税款多退少补。

⚠️ 预扣预缴环节，综合所得中的四项是分开计算的，所以这里的累计收入指的是「累计工资薪金」或是「累计其他连续劳务报酬」。

依然采用之前小明的例子，现在来计算每个月应当预扣预缴多少税：

月份	累计收入	累计社保公积金	累计专项附加扣除	累计免征	累计应纳税所得额	累计应纳税额	已缴税额	本月应纳税额
01	$18000$	$4000$	$2000$	$5000$	$7000$	$7000×3\%=210$	$0$	$210$
02	$36000$	$8000$	$4000$	$10000$	$14000$	$14000×3\%=420$	$210$	$210$
03	$54000$	$12000$	$6000$	$15000$	$21000$	$21000×3\%=630$	$420$	$210$
04	$72000$	$16000$	$8000$	$20000$	$28000$	$28000×3\%=840$	$630$	$210$
05	$90000$	$20000$	$10000$	$25000$	$35000$	$35000×3\%=1050$	$840$	$210$
06	$108000$	$24000$	$12000$	$30000$	$42000$	$42000×10\%-2520=1680$	$1050$	$630$
07	$126000$	$28000$	$14000$	$35000$	$49000$	$49000×10\%-2520=2380$	$1680$	$700$
08	$144000$	$32000$	$16000$	$40000$	$56000$	$56000×10\%-2520=3080$	$2380$	$700$
09	$162000$	$36000$	$18000$	$45000$	$63000$	$63000×10\%-2520=3780$	$3080$	$700$
10	$180000$	$40000$	$20000$	$50000$	$70000$	$70000×10\%-2520=4480$	$3780$	$700$
11	$198000$	$44000$	$22000$	$55000$	$77000$	$77000×10\%-2520=5180$	$4480$	$700$
12	$216000$	$48000$	$24000$	$60000$	$84000$	$84000×10\%-2520=5880$	$5180$	$700$
合计	-	-	-	-	-	-	-	$5880$

可以发现，小明的全年预缴税额与通过年度汇算清缴计算出的应纳税额完全一致，因此无需进行退税或补税。

需要注意的是，累计并不一定从 $1$ 月开始计算。由于不同公司之间独立进行税款预扣，新任职公司无法获知员工在上一家公司的累计收入和已预扣预缴税额，因此只能重新开始累计。这种情况下，若小明在年度中途跳槽，其预扣预缴税额可能与年度最终应纳税额存在差异，导致年度汇算清缴时出现退税或补税的情况。

例如，小明在 $1$ 月至 $6$ 月期间任职于A公司， $7$ 月至 $12$ 月期间任职于B公司。小明在A公司期间的累计应纳税所得额为 $\cdot (18000 - 4000 - 2000 - 5000) = 42000$ 元，累计应纳税额为 $42000 \cdot 0.1 - 2520 = 1680$ 元。由于B公司的预扣预缴是独立进行的（即同样从头开始累计），小明在B公司的累计应纳税额也为 $1680$ 元。因此，他全年的预扣预缴税额为 $1680 \cdot 2 = 3360$ 元，故小明需要补缴 $5880 - 3360 = 2520$ 元的税款。这一补税的原因在于小明跳槽后，在两个公司均适用较低的税率（3%），导致全年的实际税负较低，从而在汇算清缴时需补缴差额。

再例如，如果小明没有跳槽，但在这一年内额外获得了一笔价值 $10000$ 元的劳务报酬，那么这笔劳务报酬需按照 $10000 \cdot 0.8 \cdot 0.2 = 1600$ 元计算纳税。因此，他全年的预扣预缴税款为 $5880 + 1600 = 7480$ 元。年度汇算清缴时，小明的全年应纳税所得额为 $\cdot 0.8 = 92000$ 元，对应的应纳税额为 $92000 \cdot 0.1 - 2520 = 6680$ 元，故小明应退税 $7480 - 6680 = 800$ 元。

由此可见，如果一个人的收入来源仅为工资薪金，并且每月的工资薪金和各类扣除项目保持稳定且未发生跳槽情况，那么在年度汇算清缴时，该纳税人通常无需进行退税或补税。

接下来，我们从数学的角度进行进一步分析。为便于讨论，假设纳税人符合上述理想条件。设该纳税人的每月工资为 $s$ ，缴纳的社保公积金为 $p$ ，专项附加扣除为 $a$ 。根据年度税率表，全年的应纳税所得额对应的税率为 $r$ ，速算扣除数为 $q$ ，则全年的应纳税额为：

$\begin{aligned} &(s \cdot 12 - p \cdot 12 - a \cdot 12 - 60000) \cdot r - q \\ =& 12 \cdot (s - p - a - 5000) \cdot r - q \\ =& 12 \cdot \left[(s - p - a - 5000) \cdot r - \frac{q}{12}\right] \end{aligned}$

观察表达式中的 $\cdot r - \frac{q}{12}$ 这一项，可以看出它实际上就是按照月度税率表计算的月度应纳税额，这也进一步验证了月度税率表的适用范围和速算扣除数均是年度税率表的 $1/12$ 。

在使用月度税率表进行计算时，每个月都是独立计算的，不涉及累计计算，因此每个月得出的预扣预缴税款是相同的。以小明为例，我们可以算出小明每个月的预扣预缴税款为 $7000 \cdot 0.1 - 210 = 490$ 元，这与实际预扣预缴的情况并不一致。然而，注意到 $490 \cdot 12 = 5880$ 元，最终的全年结果仍是正确的。这表明，按照月度税率表计算的结果可以视为对真实情况的一种加权平均，即：

$\frac{210 \cdot 5 + 630 + 700 \cdot 6}{12} = \frac{5}{12} \cdot 210 + \frac{1}{12} \cdot 630 + \frac{1}{2} \cdot 700$

3.1 预扣预缴的代码实现

根据公式可知，在使用累计预扣法计算第 $n$ 个月的个税时，需要借助第 $n - 1$ 个月的信息。这启示我们可以通过递归的方式来完成计算（当然，使用递推也可以，但递归更易于理解）。

注意到税率表是单调递增的，我们可以二分出来相应的税率和速算扣除数，并使用备忘录来避免重复计算。

📝 也可以先进行预处理，这样每次查询的复杂度都是 $O (1)$ 。然而，如果一年有 $100000$ 个月，而纳税人只需要查询第一个月的纳税情况，此时预处理将导致不必要的等待时间。

from bisect import bisect_left

# 税率表的上限值
upper_bounds = [36000, 144000, 300000, 420000, 660000, 960000, float('inf')]

# 税率和速算扣除数列表
tax_rates = [
    (0.03, 0),
    (0.1, 2520),
    (0.2, 16920),
    (0.25, 31920),
    (0.3, 52920),
    (0.35, 85920),
    (0.45, 181920)
]

memo = {}

# 计算第 n 个月的个税
def calculate_tax(n, s, p, a):
    if n in memo:
        return memo[n]

    # 第 n 个月的累计应纳税所得额
    accumulate_taxable_income = n * (s - p - a - 5000)

    idx = bisect_left(upper_bounds, accumulate_taxable_income)
    tax_rate, deduction = tax_rates[idx]

    # 第 n 个月的累计应纳税额
    accumulate_tax = accumulate_taxable_income * tax_rate - deduction

    if n == 1:
        previous_tax = 0
    else:
        # 递归计算前 n-1 个月的累计税额
        previous_tax = calculate_tax(n - 1, s, p, a)[0]

    # 第 n 个月的应纳税额 = 第 n 个月的累计应纳税额 - 第 n-1 个月的累计应纳税额
    current_tax = accumulate_tax - previous_tax

    # 保存 (第 n 个月的累计应纳税额, 第 n-1 个月的累计应纳税额, 第 n 个月的应纳税额)
    memo[n] = (accumulate_tax, previous_tax, current_tax)

    return memo[n]


if __name__ == '__main__':
    memo.clear()

    for i in range(1, 13):
        result = calculate_tax(i, 18000, 4000, 2000)
        print(f"第{i}个月: 累计应纳税额={result[0]}, 已缴税额={result[1]}, 本月应纳税额={result[2]}")

输出：

第1个月: 累计应纳税额=210.0, 已缴税额=0, 本月应纳税额=210.0
第2个月: 累计应纳税额=420.0, 已缴税额=210.0, 本月应纳税额=210.0
第3个月: 累计应纳税额=630.0, 已缴税额=420.0, 本月应纳税额=210.0
第4个月: 累计应纳税额=840.0, 已缴税额=630.0, 本月应纳税额=210.0
第5个月: 累计应纳税额=1050.0, 已缴税额=840.0, 本月应纳税额=210.0
第6个月: 累计应纳税额=1680.0, 已缴税额=1050.0, 本月应纳税额=630.0
第7个月: 累计应纳税额=2380.0, 已缴税额=1680.0, 本月应纳税额=700.0
第8个月: 累计应纳税额=3080.0, 已缴税额=2380.0, 本月应纳税额=700.0
第9个月: 累计应纳税额=3780.0, 已缴税额=3080.0, 本月应纳税额=700.0
第10个月: 累计应纳税额=4480.0, 已缴税额=3780.0, 本月应纳税额=700.0
第11个月: 累计应纳税额=5180.0, 已缴税额=4480.0, 本月应纳税额=700.0
第12个月: 累计应纳税额=5880.0, 已缴税额=5180.0, 本月应纳税额=700.0

3.2 全年应纳税额与全年收入的关系

现假设不考虑专项附加扣除，且社保公积金占工资的比例为 $22\%$ ，我们来绘制全年应纳税额与全年收入之间的关系曲线。

此时，全年应纳税所得额的计算公式为：

$\cdot 12 - 0.22\cdot s \cdot 12 - 0 \cdot 12 - 60000=0.78\cdot 12s-60000$

令 $s = 12 s$ ，此时 $s$ 代表年收入，全年应纳税额 $T$ 与 $s$ 的关系为

$\begin{aligned} T(s)=(0.78\cdot s-60000)\cdot r(s)-q(s)=0.78\cdot r(s)\cdot s-60000\cdot r(s)-q(s) \triangleq ks+b \end{aligned}$

其中 $k=0.78\cdot r(s)$ ， $b=-60000\cdot r(s)-q(s)$ ，显然 $T (s)$ 是一个分段函数。

from bisect import bisect_left
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

upper_bounds = [36000, 144000, 300000, 420000, 660000, 960000, float('inf')]

tax_rates = [
    (0.03, 0),
    (0.1, 2520),
    (0.2, 16920),
    (0.25, 31920),
    (0.3, 52920),
    (0.35, 85920),
    (0.45, 181920)
]

# s是年收入
def calculate_year_tax(s):
    year_taxable_income = 0.78 * s - 60000
    if year_taxable_income <= 0:
        return 0
    idx = bisect_left(upper_bounds, year_taxable_income)
    tax_rate, deduction = tax_rates[idx]
    year_tax = year_taxable_income * tax_rate - deduction
    return year_tax

income_range = np.linspace(0, 1200000, 1200000)
taxes = [calculate_year_tax(s) for s in income_range]

income_range_in_wan = income_range / 10000
taxes_in_wan = np.array(taxes) / 10000

plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(income_range_in_wan, taxes_in_wan, label="Tax Payable", color='b')
plt.title("Annual Tax Payable vs. Annual Income")
plt.xlabel("Annual Income (10,000 Yuan)")
plt.ylabel("Annual Tax Payable (10,000 Yuan)")
plt.grid(True)
plt.legend()

# 标记一些关键点
x_points = [20, 40, 60, 80, 100, 120]
y_points = [calculate_year_tax(x * 10000) / 10000 for x in x_points]

for x, y in zip(x_points, y_points):
    plt.scatter(x, y, color='red')
    plt.text(x, y, f'({x},{y:.2f})', fontsize=9, verticalalignment='bottom', horizontalalignment='right')

plt.show()

基于以上结果，我们可以进一步计算：

级数	年收入范围 (元)	$T (s)$	社保公积金	实际到手	实际到手占比（取区间平均值估计）
1	$(76923.08, 123076.92]$	$T = 0.0234 s - 1800$	$0.22 s$	$0.7566 s + 1800$	$0.7566+1800\cdot \frac{2}{76923.08+123076.92}=0.7746$
2	$(123076.92, 261538.46]$	$T = 0.078 s - 8520$	$0.22 s$	$0.702 s + 8520$	$0.702+8520\cdot \frac{2}{123076.92+261538.46}=0.7463$
3	$(261538.46, 461538.46]$	$T = 0.156 s - 28920$	$0.22 s$	$0.624 s + 28920$	$0.624+28920\cdot \frac{2}{261538.46+461538.46}=0.7040$
4	$(461538.46, 615384.62]$	$T = 0.195 s - 46920$	$0.22 s$	$0.585 s + 46920$	$0.585+46920\cdot \frac{2}{461538.46+615384.62}=0.6721$
5	$(615384.62, 923076.92]$	$T = 0.234 s - 70920$	$0.22 s$	$0.546 s + 70920$	$0.546+70920\cdot \frac{2}{615384.62+923076.92}=0.6382$
6	$(923076.92, 1307692.31]$	$T = 0.273 s - 106920$	$0.22 s$	$0.507 s + 106920$	$0.507+106920\cdot \frac{2}{923076.92+1307692.31}=0.6019$
7	$+\infty)$	$T = 0.351 s - 208920$	$0.22 s$	$0.429 s + 208920$	$0.429+208920\cdot \frac{2}{1307692.31+1.5\cdot1307692.31}=0.5131$

大部分人的年收入位于第 $1, 2$ 级，实际到手大概在 $75\%$ 左右，少部分高新技术从业者可以达到 $3$ 级，此时到手只有 $70\%$ 。

⚠️ 再强调一遍，本节所讨论的年收入是指年薪，因为我们只考虑了工资薪金。

4. 年终奖

假设年终奖发了 $x$ 元，如何计算年终奖的个税呢？

一种直观的想法是将这 $x$ 元均摊到12个月上，然后根据 $\frac{x}{12}$ 查月度税率表，得到相应的税率 $r_{x/12}$ 和速算扣除数 $q_{x/12}$ 。随后，每个月的应纳税额可以表示为 $\frac{x}{12} \cdot r_{x/12} - q_{x/12}$ （注意，年终奖无需减去免征额）。将这12个月的应纳税额累加后，即可得到年终奖应缴纳的个税：

$12 \cdot \left( \frac{x}{12} \cdot r_{x/12} - q_{x/12} \right) = x \cdot r_{x/12} - 12 \cdot q_{x/12}$

例如，小明本年度获得了 $60000$ 元的年终奖，计算得出 $60000/12 = 5000$ 。根据月度税率表，适用的税率为 $10\%$ 。因此，每个月的应纳税额为 $5000 \cdot 0.1-210 = 290$ 元，年终奖的个税为 $290 \cdot 12 = 3480$ 元。

注意到 $r_{x/12}=r_x$ 且 $12\cdot q_{x/12}=q_x$ ，此时年终奖个税的计算公式变为 $x\cdot r_x-q_x$ ，即我们无需预先均摊到每个月上，而是直接使用 $x$ 去查年度税率表，然后去计算个税。 $60000$ 对应的税率为 $10\%$ ，因此年终奖的个税为 $60000\cdot 0.1-2520=3480$ 元。

绘制年终奖个税与年终奖的关系曲线：

from bisect import bisect_left
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

upper_bounds = [36000, 144000, 300000, 420000, 660000, 960000, float('inf')]

tax_rates = [
    (0.03, 0),
    (0.1, 2520),
    (0.2, 16920),
    (0.25, 31920),
    (0.3, 52920),
    (0.35, 85920),
    (0.45, 181920)
]

def calculate_bonus_tax(bonus):
    idx = bisect_left(upper_bounds, bonus)
    tax_rate, deduction = tax_rates[idx]
    return bonus * tax_rate - deduction

bonus_range_in_wan = np.arange(0, 1200000, 1)
taxes_in_wan = np.array([calculate_bonus_tax(bonus) / 10000 for bonus in bonus_range_in_wan])

plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(bonus_range_in_wan / 10000, taxes_in_wan, label="Bonus Tax Payable", color='blue')

plt.title("Bonus Tax Payable vs. Bonus Amount")
plt.xlabel("Bonus Amount (10,000 Yuan)")
plt.ylabel("Bonus Tax Payable (10,000 Yuan)")
plt.grid(True)
plt.legend()

plt.show()

可以看出，曲线呈现出一个正常的上升趋势，随着年终奖的增加，个税也呈现出单调递增的趋势。

但！是！官方计算年终奖个税的公式实际上是：

$\cdot r_{x/12} - q_{x/12} = x \cdot r_x - \frac{q_x}{12}$

从月度税率表的角度来看，本应减去12个月的速算扣除数，但实际只减了一个；从年度税率表的角度来看，速算扣除数被缩减为原来的 $\frac{1}{12}$ 。这种计算方式不仅会导致年终奖个税增加，还会产生所谓的 「年终奖盲区」，即年终奖多发一块钱，可能会导致多交几千块钱的税！

假设小明的年终奖为 $36000$ 元，查年度税率表可知适用的税率为 $3\%$ ，因此年终奖个税为 $36000 \cdot 0.03 - \frac{0}{12} = 1080$ 元。如果小明的年终奖增加到 $36001$ 元，此时适用的税率就上升到 $10\%$ ，相应的年终奖个税变为 $36001 \cdot 0.1 - \frac{2520}{12} = 3390.1$ 元。多发了一块钱，却导致需要多交 $3390.1 - 1080 = 2310.1$ 元的税！

这还不够极端，如果小明的年终奖为 $960000$ 元，此时年终奖个税为 $960000 \cdot 0.35 - \frac{85920}{12} = 328840$ 元。然而，如果年终奖多发一块钱，个税将变为 $960001 \cdot 0.45 - \frac{181920}{12} = 416840.45$ 元。仅多发一块钱，却需要多交 $416840.45 - 328840 = 88000.45$ 元的税！

重新绘制年终奖个税与年终奖的关系曲线，同时绘制扣税后实际到手金额与年终奖的关系曲线：

from bisect import bisect_left
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

upper_bounds = [36000, 144000, 300000, 420000, 660000, 960000, float('inf')]
tax_rates = [
    (0.03, 0),
    (0.1, 2520),
    (0.2, 16920),
    (0.25, 31920),
    (0.3, 52920),
    (0.35, 85920),
    (0.45, 181920)
]

def calculate_bonus_tax(bonus):
    idx = bisect_left(upper_bounds, bonus)
    tax_rate, deduction = tax_rates[idx]
    return bonus * tax_rate - deduction // 12  # 仅需简单改动

bonus_range_in_wan = np.arange(0, 1200000, 1)

taxes_in_wan = np.array([calculate_bonus_tax(bonus) / 10000 for bonus in bonus_range_in_wan])
after_tax_in_wan = np.array([(bonus - calculate_bonus_tax(bonus)) / 10000 for bonus in bonus_range_in_wan])

fig, axs = plt.subplots(1, 2, figsize=(16, 6))

axs[0].plot(bonus_range_in_wan / 10000, taxes_in_wan, label="Bonus Tax Payable", color='blue')
axs[0].set_title("Bonus Tax Payable vs. Bonus Amount")
axs[0].set_xlabel("Bonus Amount (10,000 Yuan)")
axs[0].set_ylabel("Bonus Tax Payable (10,000 Yuan)")
axs[0].grid(True)
axs[0].legend()

axs[1].plot(bonus_range_in_wan / 10000, after_tax_in_wan, label="Bonus After Tax", color='green')
axs[1].set_title("Bonus After Tax vs. Bonus Amount")
axs[1].set_xlabel("Bonus Amount (10,000 Yuan)")
axs[1].set_ylabel("Bonus After Tax (10,000 Yuan)")
axs[1].grid(True)
axs[1].legend()

plt.tight_layout()
plt.show()

在这里插入图片描述

右图中的红线（手动绘制）就是我们之前提到的「年终奖盲区」，如果年终奖不幸落入了这些区间内，那还不如不发。

现在我们可以计算出这些盲区：

for i, left in enumerate(upper_bounds):
    if i == 6:
        break
    baseline = left - calculate_bonus_tax(left)
    right = left + 1
    while right - calculate_bonus_tax(right) < baseline:
        right += 1
    print(f"盲区 {i + 1}: [{left}, {right}]")

输出：

盲区 1: [36000, 38567]
盲区 2: [144000, 160500]
盲区 3: [300000, 318334]
盲区 4: [420000, 447500]
盲区 5: [660000, 706539]
盲区 6: [960000, 1120000]

从盲区6可以看出，96w的年终奖和112w的年终奖到手居然是一样的，这也进一步凸显了「年终奖盲区」的严重性。