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一、瑞利随机变量及其概率密度函数

在无线通信中，如果信道中存在大量非视距路径而不存在视距路径信号分量，此时，无线信道可以由一个复高斯随机变量W1+jW2表示，其中W1和W2是均值为0，方差为σ2的独立同分布的高斯随机变量。令X表示复高斯随机变量W1+jW2的幅度，有：

则X是一个瑞利随机变量，此时的小尺度衰落称为瑞利衰落，其包络可由瑞利分布概率密度函数（Probability Density Function，PDF）来描述。其PDF为：

关于高斯随机变量及其概率密度函数，可参考《MATLAB生成高斯随机变量及其概率密度函数估计》。
下面给出瑞利随机变量的MATLAB建模，并计算出其PDF的估计值。

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二、仿真代码

代码如下：

clc
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clear all
%% 比较瑞利衰落的估计值和理论值
N = 100000;                                     % 共10万个samples
x = randn(1, N);
y = randn(1, N);
r = sqrt(0.5*(x.^2 + y.^2));                    % 生成瑞利随机变量
step = 0.1; 
range = 0:step:3;                               % 共31个数
h = hist(r, range);                             % 直方图
fr_approx = h/(step*sum(h));                    % 仿真值

% 理论值
fr = (range/0.5).*exp(-range.^2);               % 瑞利随机变量概率密度函数

figure()
plot(range, fr_approx,'ro', range, fr,'b','LineWidth',1.5);
legend('仿真值','理论值');
grid on;
title('瑞利随机变量的概率密度');
xlabel('x');
ylabel('f(x)');

%% 瑞利随机变量的分贝值
rdb = 20*log10(r);                             % 幅度值转换为dB形式
figure();
plot(rdb);
title('瑞利随机变量的分贝值');
xlim([0 1e3]);
grid on;
xlabel('samples');
ylabel('amplitude/dB');

三、仿真结果

PDF如下：

瑞利随机变量如下：

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四、仿真代码的几点补充说明

（1）在生成瑞利随机变量时，设置sigma方=0.5表示高斯分布的方差为0.5，设置为0.5是为了使得瑞利分布的方差=2*sigma方=1。

（2）瑞利分布的方差=2*sigma方=1，则对于瑞利分布而言，有sigma方=0.5，所以在画瑞利分布PDF时，取sigma方=0.5。

（3）hist用法。[counts,centers] = hist(x,xbins) ，该函数完成，基于向量x中的元素创建直方图条形图。x中的元素有序划分入x轴上介于x的最小值和最大值间的nbins(标量)所指定数量的bin中。hist将bin显示为矩形，这样每个矩形的高度就表示bin中的元素数量。如果 xbins 是一个包含等间距值的向量，则 hist 将使用这些值作为直方图中心。返回值counts是一个行向量，指示每个bin中的元素数目。返回值centers也是一个行向量，指示x轴上每个bin中心的位置。

（4）另外，需注意概率和概率密度的区别。

其他

瑞利衰落信道建模，见：
（9）MATLAB瑞利衰落信道仿真2