文章目录
- 线性规划
- 最优基可行解
- 一、原理
- 二、定义
- 三、定理
- 四、性质
- 五、公式
- 六、计算
- 七、例子
- 八、例题
- 基变量和非基变量在线性规划的求解过程中的作用
- 一、基变量与非基变量的定义
- 二、用基变量和非基变量表示约束方程组
- 三、示例
- 参考文献
线性规划
最优基可行解
最优基可行解是线性规划中的一个核心概念，它指的是使目标函数取得最优值（最大或最小）的基可行解。以下是对最优基可行解的原理、定义、定理、性质、公式、计算、例子和例题的详细阐述：
一、原理
最优基可行解的原理基于线性规划问题的几何特性和目标函数的优化性质。在线性规划问题中，可行域是一个凸集，而目标函数是定义在这个凸集上的线性函数。根据凸集的性质，线性函数的极值（最大或最小）必然在凸集的顶点上取得。因此，最优基可行解就是对应于这些顶点的基可行解，它使目标函数取得最优值。
二、定义
最优基可行解是线性规划问题中满足所有约束条件（包括等式约束和不等式约束）且使目标函数取得最优值（最大或最小）的基可行解。它是基可行解集合中的一个特殊元素，具有使目标函数最优的性质。
三、定理
-
定理一：最优解的存在性
- 内容：若线性规划问题的可行域非空且有界，则必存在最优解，且最优解中至少有一个是基可行解。
- 解释：这个定理保证了在可行域非空且有界的情况下，线性规划问题必有最优解，且我们可以通过搜索基可行解来找到它。
-
定理二：最优解的唯一性
- 内容：若线性规划问题的目标函数在可行域上是严格凸的（或严格凹的），则最优解唯一。
- 解释：这个定理说明了在目标函数具有严格凸性或严格凹性的情况下，线性规划问题的最优解是唯一的。
四、性质
- 最优性：最优基可行解使目标函数取得最优值。
- 唯一性或无穷多性：在目标函数严格凸（或严格凹）的情况下，最优基可行解唯一；否则，可能存在无穷多个最优基可行解。
- 顶点性：最优基可行解对应于可行域的顶点。
五、公式
在线性规划问题中，通常使用以下标准形式来描述问题：
- 最小化目标函数：min Z = c^T * x
- 约束条件：Ax = b, x ≥ 0
其中，c是目标函数的系数向量，A是约束条件的系数矩阵，b是约束条件的常数向量，x是决策变量向量。
最优基可行解满足上述约束条件，并使目标函数Z取得最小值。
六、计算
计算最优基可行解通常使用单纯形法或内点法等优化算法。以下以单纯形法为例简要说明计算过程：
- 选择初始基可行解：从可行域的顶点中选择一个作为初始基可行解。
- 检验最优性：计算当前基可行解的目标函数值，并检验是否满足最优性条件。
- 选择进入基和离开基的变量：根据一定的规则（如最小比值规则）选择进入基和离开基的变量。
- 更新基可行解：通过初等行变换更新基矩阵和基变量，得到新的基可行解。
- 重复步骤2-4：直到找到最优基可行解或判断问题无界/无可行解。
七、例子
假设有以下线性规划问题：
- 最小化目标函数：min Z = 2x1 + 3x2
- 约束条件：x1 + 2x2 ≤ 8, 2x1 + x2 ≤ 10, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
通过单纯形法求解，可以得到一个最优基可行解，例如x1 = 2, x2 = 3，此时目标函数取得最小值Z = 22 + 33 = 13。
八、例题
例题：求解以下线性规划问题，并找出最优基可行解。
- 最小化目标函数：min Z = 3x1 + 2x2
- 约束条件：x1 + 2x2 ≤ 14, 4x1 + x2 ≤ 16, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
解题步骤：
- 将问题转化为标准形式：通过引入松弛变量将不等式约束转化为等式约束。
- 选择初始基可行解：从可行域的顶点中选择一个作为初始基可行解。
- 建立单纯形表：列出初始单纯形表，包括基变量、非基变量、目标函数系数和常数项等。
- 进行单纯形迭代：根据最小比值规则选择进入基和离开基的变量，并更新单纯形表。
- 重复迭代：直到找到最优基可行解或判断问题无界/无可行解。
答案：通过单纯形法求解，可以得到最优基可行解为x1 = 4, x2 = 3（松弛变量取值为0），此时目标函数取得最小值Z = 34 + 23 = 18。
基变量和非基变量在线性规划的求解过程中的作用
一、基变量与非基变量的定义
-
基变量：
- 在线性规划的约束方程组中，选定一个m阶非奇异子矩阵B（称为基矩阵）后，与基矩阵B对应的变量称为基变量。
- 基变量的个数等于约束方程的个数m，且它们在求解过程中被赋予具体的数值。
-
非基变量：
- 除了基变量之外的变量称为非基变量。
- 非基变量在求解过程中通常被设为0（在初始基可行解中），但在后续的迭代中可能会变为基变量。
二、用基变量和非基变量表示约束方程组
设线性规划的约束方程组为：
{ a 11 x 1 + a 12 x 2 + ⋯ + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + ⋯ + a 2 n x n = b 2 ⋮ a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ⋯ + a m n x n = b m x i ≥ 0 , ( i = 1 , 2 , … , n ) \begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m \\ x_i \geq 0, \quad (i = 1, 2, \ldots, n) \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2⋮am1x1+am2x2+⋯+amnxn=bmxi≥0,(i=1,2,…,n)
其中， A = ( a i j ) m × n A = (a_{ij})_{m \times n} A=(aij)m×n 是约束方程的系数矩阵， b = ( b 1 , b 2 , … , b m ) T b = (b_1, b_2, \ldots, b_m)^T b=(b1,b2,…,bm)T 是常数向量， x = ( x 1 , x 2 , … , x n ) T x = (x_1, x_2, \ldots, x_n)^T x=(x1,x2,…,xn)T 是决策变量向量。
选定一个基矩阵B后，我们可以将约束方程组重新排列，使得基变量位于等式的前m个位置，非基变量位于等式的后n-m个位置（这里假设n>m，即决策变量的个数大于约束方程的个数）。这样，约束方程组可以表示为：
( B N ) ( x B x N ) = b \begin{pmatrix} B & N \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_B \\ x_N \\ \end{pmatrix} = b (BN)(xBxN)=b
其中，B是基矩阵，N是非基矩阵（由A中未被选为基矩阵的列组成）， x B x_B xB是基变量向量， x N x_N xN是非基变量向量。
在初始基可行解中，我们通常设非基变量 x N = 0 x_N = 0 xN=0，然后通过求解方程组 B x B = b Bx_B = b BxB=b来得到基变量 x B x_B xB的值。这样，我们就得到了一个满足所有约束条件的基可行解。
在后续的迭代中，我们可能会根据优化目标选择进入基和离开基的变量，通过初等行变换更新基矩阵B和非基矩阵N，以及基变量 x B x_B xB和非基变量 x N x_N xN的值，从而逐步逼近最优解。
三、示例
假设有以下线性规划问题：
最小化目标函数： m i n Z = 3 x 1 + 2 x 2 + x 3 min Z = 3x_1 + 2x_2 + x_3 minZ=3x1+2x2+x3
约束条件：
{
x
1
+
2
x
2
+
x
3
=
8
2
x
1
+
x
2
+
3
x
3
=
10
x
1
,
x
2
,
x
3
≥
0
\begin{cases} x_1 + 2x_2 + x_3 = 8 \\ 2x_1 + x_2 + 3x_3 = 10 \\ x_1, x_2, x_3 \geq 0 \\ \end{cases}
⎩
⎨
⎧x1+2x2+x3=82x1+x2+3x3=10x1,x2,x3≥0
选定基矩阵为 B = ( 1 2 2 1 ) B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} B=(1221)（对应 x 1 x_1 x1和 x 2 x_2 x2为基变量），则非基矩阵为 N = ( 1 3 ) N = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} N=(13)（对应 x 3 x_3 x3为非基变量）。
初始基可行解中，设非基变量 x 3 = 0 x_3 = 0 x3=0，则通过求解方程组
( 1 2 2 1 ) ( x 1 x 2 ) = ( 8 10 ) \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\x_2 \\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 10 \\ \end{pmatrix} (1221)(x1x2)=(810)
得到基变量 x 1 x_1 x1和 x 2 x_2 x2的值。然后，根据优化目标进行迭代，直到找到最优解。
参考文献
- 文心一言
