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前言

本文给出QPSK的理论误符号率与理论误比特率公式，并给出MATLAB代码实现，画出性能曲线。

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一、QPSK系统的平均误码率

QPSK最佳接收的平均误符号率（用Ps表示）由下式给出：

其中，Q(x)为Q函数。
注意：公式中的Eb/N0取线性值。下文代码中需要将分贝值转换为线性值，用于画出性能曲线。

二、QPSK系统的平均误比特率

计算QPSK最佳接收的平均误比特率（用Pb表示）一般有两种方法：

1.根据误码率计算从QPSK符号（四进制）译为比特串的比特错误率。

对于多进制调制而言，若比特到符号的映射采用格雷编码，且假设符号错误只发生在相邻符号之间，这意味着一个错误符号中只包含一个比特错误。由于一个QPSK调制符号包含两个传输比特，所以对于采用格雷编码的QPSK最佳接收，有

2.使用最佳接收的误比特率计算公式。

对于QPSK最佳接收，其平均误比特率也可由下式给出：

其中，erfc(x)为互补误差函数。Q函数与互补误差函数的关系如下：

三、MATLAB代码实现与结果

1.代码实现

QPSK系统的理论误符号率和理论误比特率的MATLAB代码实现如下：

clc
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%% QPSK理论误符号率
EbNodBVec = 0:2:12;                           % Eb/No values to simulate in dB

EbNoLin = 10.^(EbNodBVec/10);                 % converting EbNo from dB to linear scale
q = qfunc(sqrt(2*EbNoLin));

% 误符号率
theorSER = 2 * q .* (1-q/2);                  % Digital Communication

%% QPSK理论误比特率
% 误比特率（由误符号率导出）
theorBER = theorSER./2;                       % Digital Communication

% 误比特率（由理论公式得出）
% theorBER = q;                               % 使用Q函数
% theorBER = 0.5 .* erfc(sqrt(EbNoLin));      % 使用互补误差函数

%% 使用库函数berawgn得到QPSK的误比特率（BER）和误符号率（SER）
M = 4;                                        % 调制阶数Modulation order
[berQPSK, serQPSK] = berawgn(EbNodBVec,'psk',M,'nondiff');

%% 画图对比
figure();
semilogy(EbNodBVec,serQPSK,'o',    EbNodBVec,berQPSK,'*', ...
         EbNodBVec,theorSER,'b-',  EbNodBVec,theorBER,'r-');
legend('Theoretical Symbol error rate',                   'Theoretical Bit error rate', ...
       'Theoretical Symbol error rate(use berawgn)',      'Theoretical Bit error rate(use berawgn)', ...
       'Location','SouthWest');
xlabel('Eb/No (dB)');
ylabel('Error Probability');
title('Symbol and Bit Error Probability - QPSK');
grid on;

2.性能曲线画图

代码运行结果画图如下：

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总结

MATLAB中可以使用berawgn函数得到AWGN信道的误比特率（BER）和误符号率（SER）。为了理解BER和SER的理论计算过程，本文给出了MATLAB代码实现，并通过和berawgn结果对比验证了一致性。

参考资料

1.北邮《通信原理》，周炯磐、庞沁华、续大我、吴伟陵、杨鸿文等
2.Digital Communication，Mehmet Şafak