根基：gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)

先举个例子吧，gcd(16,6)=gcd(6,4)=gcd(4,2)=gcd(2,0)=2

学习这个定理的时候我想了几个问题.

第一个问题：为什么求出的就一定是他们两个数的公约数？

这个问题很简单我们只需要通过几何来计较即可，从横向来看两个2可以组成一个4，而从纵向来看一个4和一个2可以组成一个6（2可以组成纵向长度），而4又可以由2组成，所以2可以组成6，而16由2个6和1个4组成，所以2可以组成横向长度.

第二个问题：问什么求出来的就一定是最大的公约数呢？

gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)，这个公式是欧几里得算法的根基，只要证明了这个公式，我们就可以证明一定是最大公约数，还是上面的例子gcd(6,16)=gcd(6,16 mod 6)=gcd(6,4)，我们可以通过下图即可证明.

 

我个人认为寻找最大公约数是一个动态的过程，首先16和6中有可能最大的公约数为6，则进行比较，但是16 mod 6 =4 显然不是，之后我们会将6除以2的得数3进行验证（除6之外最有可能的最大公约数），之后16 mod 3 =1，也不是之后便是6除以3=2了，16 mod 2 =0，得出最终结果.

而我们要证明的是gcd(6,16)=gcd(6,16 mod 6)=gcd(6,4) 也就是证明，gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)，由上图我们可知无论最有可能的最大公约数如何变化（上图为6，3，2），最终解释权始终在4的手上，因为无论最有可能的最大公约数如何变化他都是6个公约数，6和16中的6始终可以mod尽，关键在于4能不能和那个公约数mod尽，所以以此类推可以证明：gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)，以及一定是最大公约数.